Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer $C_{1}=3$ alle Zahlen dieser Form bis $C_{99}$ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich $C_{53}$ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle $C_{n}$ bis $n=200$ zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für $n=141$.

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass $C_{141}$ eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von $C_{1}$ und $C_{141}$ alle Cullen-Zahlen von $C_{1}$ bis $C_{1000}$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass $C_{4713},C_{5795},C_{6611}$ und $C_{18\;\!496}$ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen $C_{n}$ mit $n\leq 30\;\!000$ zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen $C_{n}$ für folgende $n$ bekannt:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (Folge A005849 in OEIS)

Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit $C_{6\;\!679\;\!881}=6\;\!679\;\!881\cdot 2^{6\;\!679\;\!881}+1$, sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis $n<13\;\!705\;\!481$ gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob $n$ und $C_{n}$ gleichzeitig prim sein darf.

Eigenschaften von Cullen-Zahlen

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form $p=2n-1$, wobei $p$ eine Primzahl der Form $p=8k\pm 3$ sein muss. Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn $p$ eine ungerade Primzahl ist, $p$ ein Teiler von $C_{m(k)}$ sein muss mit $m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k$ für $k\geq 0$.

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl $p$ teilt die Cullen-Zahl $C_{\frac {p+1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=-1$ ist.

Die Primzahl $p$ teilt die Cullen-Zahl $C_{\frac {3p-1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$ ist.

Verallgemeinerte Cullen-Zahlen

Zahlen der Form $n\cdot b^{n}+1$ mit $n+2>b$ bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.

Die kleinsten $n$, für die $n\cdot b^{n}+1$ prim ist, sind für aufsteigendes $b$ = 1, 2, …:

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … (Folge A240234 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von $b$ zwischen 1 und 30. Diese $n$ wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für $n$ die Bedingung $n+2>b$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl $n\cdot b^{n}+1$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

b	n, sodass n・bn + 1 prim ist	untersucht bis	OEIS-Folge
1	alle Primzahlen minus 1, d. h.: 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, …	alle Primzahlen	Folge A006093 in OEIS
2	1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, …	13705481	Folge A005849 in OEIS
3	2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, …	1200000	Folge A006552 in OEIS
4	(1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, …	250000	Folge A007646 in OEIS
5	1242, 18390, …	379575
6	(1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, …	200000	Folge A242176 in OEIS
7	34, 1980, 9898, …	255681	Folge A242177 in OEIS
8	(5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, …	166666	Folge A242178 in OEIS
9	(2), 12382, 27608, 31330, 117852, …	222431	Folge A265013 in OEIS
10	(1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, …	270026	Folge A007647 in OEIS
11	10, …	600000
12	(1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, …	254519	Folge A242196 in OEIS
13	…	1000000
14	(3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, …	246922	Folge A242197 in OEIS
15	(8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, …	136149	Folge A242198 in OEIS
16	(1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, …	125000	Folge A242199 in OEIS
17	19650, 236418, …	281261
18	(1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, …	203597	Folge A007648 in OEIS
19	6460, …	305777
20	(3), 6207, 8076, 22356, 151456, …	219976	Folge A338412 in OEIS
21	(2, 8), 26, 67100, …	274099
22	(1, 15), 189, 814, 19909, 72207, …	137649
23	4330, 89350, …	177567
24	(2, 8), 368, …	134188
25	2805222, …	500000
26	117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, …	147626
27	(2), 56, 23454, …, 259738, …	215413
28	(1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, …	200618
29	…	500000
30	(1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, …	101757

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist $2\;\!525\;\!532\cdot 73^{2\;\!525\;\!532}+1$. Sie hat 4 705 888 Stellen und wurde am 28. August 2021 von Tom Greer, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.

Siehe auch

• Woodall-Zahl

Literatur

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks

• Cullen Numbers
• Woodall Numbers