Diskussion:Belegung (Mathematik)

Tut mir leid, der Artikel war mein erster Versuch, das Festzuhalten. Ich habe den Begriff der Variablenbelegung für die Definition der Schaltfunktion gebraucht. Da noch nichts da stand, habe ich gedacht, irgendwas ist vermutlich besser als gar nichts. Nun ja, war wohl'n Griff ins Klo...

Ich versuch es erstmal hier, vielleicht kann man es ja Teile davon irgendwie verwerten. Ich sehe ein das es schwieriger ist, als ich zunächst angenommen habe, diese Dinge unabhängig von meinem persönlichen Background zu erklären. Aber versuchen wirs mal.

In der theoretischen Informatik (das ist der Berreich mit dem ich mich ein bißchen auskenne, ich nehme aber an, das man den Begriffso oder ähnlich auch in der Logik verwendet) wird der Begriff der Variablenbelegung vor allem dann benutzt, wenn man Variablen selbst als Objekte zum Beispiel als Atome einer formalen Sprache betrachtet.

Ein Blödes Beispiel: Angenommen wir wollen Syntax und Semantik der Aussagenlogischen Formeln definieren. Sei also $AP=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ eine Menge atomarer Aussagen. Wir definieren Die Sprache der aussagenlogischen Formeln $L$ als die Menge aller Formeln, die nach den folgenden Regeln gebildet werden können:

• $true$ ist eine Formel
• jede atomare Aussage $a_{i}$ ist eine Formel
• Wenn $\Phi _{1},\Phi _{2}$ und $\Phi$ Formeln sind, dann auch $(\neg \Phi )$ und $(\Phi _{1}\wedge \Phi _{2})$
• nichts sonst ist eine Formel.

Ok, damit hat man den Syntax festgenagelt (andere Operatoren wie $\vee$ oder $\leftrightarrow$lassen sich abbleiten). Wir wissen damit, das ein Wort wie z.B. $\Phi _{Ausgehen}=\neg (a_{1}\wedge (a_{2}\vee a_{3}))$ eine aussagenlogische Formel über die atomaren Aussagen $a_{1},a_{2},a_{3}$ ist. Aber was ist die Semantik?

Hierfür kann man den Begriff der Variablenbelegung gut gebrauchen. Man kann ja die atomaren Aussagen als Variablen auffassen. Dann wäre z.B. $Var=AP=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}$ und $Dom(Var)=\{0,1\}$ Eine Belegung von $Var$ ist dann eine Abbildung, die jeder der Atomaren Aussagen entweder 1 oder 0 zuweißt, jenachdem, ob diese zutreffend sind oder nicht.

z.B. könnte $a_{1}$ für die Aussage "Es regnet." stehen, $a_{2}$ für "Mein Schirm ist kapput." und $a_{3}$ für "Ich besitze keinen Schirm." Eine Belegung für $Var$, die meinen augenblicklichen Status quo beschriebe, wäre

$\eta _{lu}:Var\to \{0,1\},\eta _{lu}(a_{1})=0,\eta _{lu}(a_{2})=0,\eta _{lu}(a_{3})=1$

Für die oben formulierte Formelsprache läßt sich nun leicht eine Semantik bezüglich des Wahrheitsgehaltes der in der Sprache verwendeten, atomaren Aussagen festlegen. Diese Semantik beschreiben wir durch eine "erfüllt"-Relation $\models \subseteq Eval(Var)\times L$. Wir schreiben $\eta \models \Phi$ als Abkürzung für$\langle \eta ,\Phi \rangle \in \models$ und meinen damit, daß die Belegung $\eta$ die Aussagenlogische Formel $\Phi$ efüllt. Genauer:

Sei $a_{i}\in Var$ und seien $\Phi _{1},\Phi _{2},\Phi$ Formeln wie oben, dann gilt für alle Belegungen $\eta \in Eval(Var)$

• $\eta$ erfüllt $true$, in Zeichen: $\eta \models true$.
• $\eta \models a_{i}$ gdw. $\eta (a_{i})=1$
• $\eta \models (\neg \Phi )$ gdw. $\eta \not \models \Phi$
• $\eta \models (\Phi _{1}\wedge \Phi _{2})$ gdw. $\eta \models \Phi _{1}$ und $\eta \models \Phi _{2}$

(Die Semantik für $\vee$, etc ließe sich analog herleiten.)

Man überzeugt sich leicht davon, daß diese Semantik genau mit unserer intuitiven Leseart übereinstimmt. Z.B. gilt $\eta _{lu}\models \Phi _{Ausgehen}$. Steht also die Formel $\Phi _{Ausgehen}$ für die Frage, ob man heute Abend noch etwas unternehmen sollte, und $\eta _{lu}$ für die Augenblicklich geltenden Bedingungen, dann ist unmittelbar einsichtig, daß ich aufhören sollte, meine Zeit am Rechner zu vergeuden :-)

So. Das wäre zumindest *ein* Beispiel, wofür man Belegungen braucht. Gibt es andere Vorschläge/Definitionen? --lu 22:21, 17. Feb 2006 (CET)

Schreib das nicht auf die Diskussionsseite, sondern in den Artikel. --Mkill 03:44, 18. Mär 2006 (CET)

"Totale" Belegung?

Ich stieß auf diesen Eintrag auf der Suche nach einer Definition für eine "totale Belegung". In meinem schlechten Logikskript taucht es immer wieder auf, bloß nicht einmal eine Definition davon. Vielleicht kann das noch jemand mit reinnehmen, der bescheid weiß. Danke.

Eine Definition dazu habe ich ebenfalls auf die Schnelle nicht finden können. Das naheliegenste scheint mir zu sein, eine totale Belegung als eine Belegung zu sein, die tatsächlich jeder Variablen einen Wert zuweißt, im Gegensatz zu einer partiellen Belegung (ich nenne das jetzt mal so), die bewußt einige Variablen unbelegt läßt. Zumindest wäre das konsistent mit der Definition der Partiellen Funktion. Würde das in deinem Kontext Sinn ergeben? --lu 13:07, 28. Feb 2006 (CET)

Hier widersprichst du dir in meinen Augen selbst: nach deinen Worten ist eine Belegung eine Abbildung, und Abbildungen weisen jedem Element des Definitionsbereiches einen Wert zu. Ich bin Mathematiker, und ich kannte das Wort Belegung als präzise definierten Begriff bisher nicht. Umgangssprachlich wird es, glaube ich, mal für die Abbildung, mal für die Werte einzelner Variablen (=Teilmenge des Definitionsbereiches) verwendet.

Logik

Wie aus der obigen Diskussion richtig hervorgeht, ist der Begriff "Belegung" nicht nur in der Mathematik wie beschrieben belegt (Achtung Regress ;-) sondern allgemein in der Logik (soweit ich weiß jedenfalls). Sollte man das nicht mal im Lemma ändern und im Artikel entsprechend vermerken? --Jazzman KuKa 20:04, 30. Jan. 2008 (CET)