Diskussion:Bergson-Samuelson-Wohlfahrtsfunktion

Definition

Der Artikel und insbesondere die mathematische Darstellung sind sehr gut. Die Definition sollte meines Erachtens vom Oberbegriff ausgehen und direkt das charakteristische Element herausstellen, nämlich die Unabhängigkeit der sozialen Wohlfahrt von anderen Faktoren als individuellen Präferenzen (individualistische soziale Wohlfahrtsfunktion). (nicht signierter Beitrag von Wirtschaftsverbesserer (Diskussion | Beiträge) 18:30, 12. Feb. 2017 (CET))

@Pajz: Da du den Artikel bisher im "Alleingang" bearbeitet hast, hoffe ich, dass du mit den Änderungen einverstanden bist. Ansonsten können wir gern diskutieren, ich bin nicht dogmatisch.--Wirtschaftsverbesserer (Diskussion) 19:09, 12. Feb. 2017 (CET)

Vergleichbarkeit

Ich finde auch, dass der Eintrag sehr gut und vor allem kompakt ist. Er sollte noch darauf hinweisen, dass es für die Ableitung einer Sozialen Wohlfahrtsfunktion notwendig ist die individuellen Nutzen kardinal zu vergleichen. Damit reicht es nicht mehr wenn, wie im ersen Absatz steht, die Nutzenfunktionen die Präferenzordungen der Individuen wiedergeben, vielmehr muss der Nutzen des einen mit jenem des anderen Individums im Zahlenwert vergleichbar sein. Die soziale Wohlfahrtsbewertung hängt davon ab welche der potentiell unendlich vielen Nutenzfunktionen man für die Abbildung der Präferenzen der jeweiligen Individuen verwendet. Daher wär noch ein Verweis auf Arrows Unmöglickeitstheorem notwendig. Ich schreib das zunächst mal in die Diskussion weil ich nicht gleich mit Änderungen am Eintrag ins Haus fallen will, sobald mir eine brauchbare und schlanke Variante eingefallen ist wie man das unterbringen kann schreib ichs rein, davor schau ich aber nochmal ob's hier keinen groben Einwand oder bessere Ideen gibt. --SeppZucker (Diskussion) 11:01, 14. Apr. 2017 (CEST)

SeppZucker, hm, verstehe ich jetzt gerade nicht. Du meinst, eine Bergson-Samuelson-SWF kann man nur konstruieren, wenn die Individualnutzen auf einer Kardinalskala vergleichbar sind? Das scheint mir nicht zu stimmen. Die Klasse der Bergson-Samuelson-SWFs ist ja so groß, dass z.B. auch die Maximin-SWF erfasst ist. Aber da reicht bspw. ordinale (Voll)vergleichbarkeit: Wenn ich jeden Nutzen mit identischem streng monotonem $f$ modifiziere, dann gilt für die neue SWF ${\hat {W}}^{M}$:

${\hat {W}}^{M}(\mathbf {x} )=\min\{f(u_{1}(\mathbf {x} )),\ldots ,f(u_{n}(\mathbf {x} )\}=f(\min\{u_{1}(\mathbf {x} ),\ldots ,u_{n}(\mathbf {x} )\})=f(W^{M}(\mathbf {x} ))$

Das gesellschaftliche Ranking bleibt also unverändert. Bei anderen Bergson-Samuelson-SWFs reicht hingegen kardinale Vergleichbarkeit nicht aus, z.B. bei der Nash-SWF. Insofern bin ich nicht sicher, ob es sinnvoll ist, auf einer so hohen Stufe Vergleichbarkeitsanforderungen zu postulieren. Gruß, — Pajz (Kontakt) 07:22, 15. Apr. 2017 (CEST)

Pajz, Genau

Ich fürchte es ist notwendig diese Vergleichbarkeitsanforderungen zu stellen da ansonsten der Satz:

bei der die soziale Bewertung eines Zustands allein von den Bewertungen der betroffenen Individuen abhängt und nicht von anderen Faktoren

lauten müsste

bei der die soziale Bewertung eines Zustands allein von den Bewertungen der betroffenen Individuen, und den für ihre Repräsentation gewählten Nutzenfunktionen abhängt und nicht von anderen Faktoren.

Denn jede individuelle Präferenzordnung, sofern sie sich durch eine Nutzenfunktion abbilden lässt, wird auch durch beliebige streng monotone Transformationen dieser Funktion abgebildet.

Damit wäre der Satz Nutzenfunktionen geben einer Präferenzordnung also lediglich eine simple mathematische Repräsentation im oberen Absatz -der nur ordinale Repräsentation verlangt- aber zu wenig.

Anders formuliert wenn man nur verlangt, dass die individuellen Nutzenfunktionen $u_{i}(x)$ die Präferenzordnung des jeweiligen Individuums korrekt wiedergeben, dann kann man durch die Wahl der jeweiligen Nutenfunktionen $u_{i}(x)$ auf Basis von gegebenen Präferenzen (fast)beliebige SWFs erzeugen ohne, dass deren Unterschiede in der Konstruktion der SWF ersichtlich währen.

Dein Einwand bei der Maximin-SWF ist korrekt solange du eine Identische streng monotonem $f$ für alle Individuen nimmst sobald du für jeden eine eigene monotone $f_{i}$ verwendest wird mein Problem offensichtlich.

Bezüglich der Nash-SWF bin ich nicht sicher ob ich das richtig verstehe ich denke sobald sie kardinal vergleichbar sind (also gleiche Abstände gleicher Nullpunkt) sollte es auch dort passen, aber es kann sein, dass ich die Definition von kardinal falsch im Kopf habe :-).

Mir ist dieser Verweis vor allem deshalb ein Anliegen, weil die Frage ob und welche Repräsentationen einer sozialen Wohlfahrtsfunktion möglich sind ein zentraler Diskussionspunkt der public coice Theorie im speziellen und der Ökonomie im Allgemeinen sind. Dabei ist eben genau die Frage ob und wie es zulässig ist die Präferenzen des Einen gegen jene der Anderen aufzuwägen zentral. Daher sollten wir hier dann auch auf die Probleme der Konstruktion von SWF wie sie sich im Arrow-Theorem äußern hinweisen.

PS: wie du siehst ist die Erläuterung noch etwas lang wenn mir was kürzeres einfällt werd ichs vorschlagen lg sepp--SeppZucker (Diskussion) 12:29, 15. Apr. 2017 (CEST)

Hallo @SeppZucker:, du sprichst da einen überlegenswerten Punkt an, aber so wie du sie schreibst, stimmt die Sache nicht: Vergleichbarkeit und kardinale Messbarkeit sind verschiedene Dinge. Im ersten Fall dürfen individuelle Nutzenfunktionen nur identischen Transformationen unterzogen werden, im zweiten Fall nur affinen Transformationen. Gut erklärt ist das in Roemer, J. E. (1996) Theories of Distributive Justice. Cambridge: Harvard University Press. Gruß,--Wirtschaftsverbesserer (Diskussion) 19:09, 19. Apr. 2017 (CEST)

Ich glaube @SeppZucker: hat recht, dass alle sozialen Wohlfahrtsfunktionen auf einem kardinalen Nutzenkonzept aufbauen. Grüße. --JonskiC (Diskussion) 19:21, 19. Apr. 2017 (CEST)

Hallo @Wirtschaftsverbesserer:, dein Einwand bezüglich der Transformationen der Nutzenfunktionen ist korrekt, mein Problem liegt aber schon in der Erstellung dieser Nutzenfunktion. Bei der sozialen Wohlfahrtsfunktion kommt es darauf an mit welcher der unendlich vielen möglichen Nutzenfunktionen man die Präferenzen der einzelnen Personen abbildet. Nur wenn wie @JonskiC: schreibt eine Nutzenfunktion sicherstellt, dass die Unterschiede im Nutzen zwischen zwei Konsumbündeln kardinal zwischen den Personen vergleichbar sind, macht die Forderung nach identischen Transformationen Sinn. In den Formeln ist das erkennbar da die Nutzenfunktionen $u_{i}(x)$ individuell indexiert sind, damit hängt die SWF von der für jedes Individuum gewählten Nutzenfunktion ab. Womit ein Faktor die Auswahl beeinflusst der nicht aus den individualnutzen ableitbar ist sondern zusätzlich gewählt wird. Die selbe Nutzenfunkton für alle Individuen zu verwenden ginge nur wenn alle die gleiche Präferenzordnung haben, dann ist aber das Problem der sozialen Nutzenfunktion trivial weil ohnehin alle das Selbe wollen. lg SeppZucker