Diskussion:Eigenmode

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Dieser Artikel wurde ab März 2012 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Eigenfrequenz“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden. Anmerkung: Überarbeitung, Verschiebung nach Eigenschwingung, dann nach Eigenmode.

Dieser Artikel wurde ab Oktober 2018 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Eigenschwingung“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden. Anmerkung: Der Artikel Eigenfrequenz wurde am 29.September 2018 auf Eigenschwingung verschoben, hatte dort Unstimmigkeiten, die am 7.Oktober 2018 durch Verschiebung nach Eigenmode gelöst wurden.

Dieser Artikel wurde ab Oktober 2019 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Eigenmode“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden.

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Die Artikel Eigenschwingung und Normalschwingungen haben sich thematisch überschnitten. Daher wurden aus dem Artikel Normalschwingungen einige Textpassagen übernommen und in Eigenschwingung eingefügt.

• hier findet sich der Artikel Normalschwingungen zum Zeitpunkt der Übernahme
• hier findet sich die zusammengefasste Versionsgeschichte des Artikels Normalschwingungen.

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Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:16, 29. Sep. 2018 (CEST)

Gleichförmige Bewegung als Schwingung

Die Betrachtung einer gleichförmigen Bewegung als Schwingung mit Frequenz Null kann so nicht stimmen. Bereits der zweite Abschnitt der Einleitung ist z.B. falsch für das Kohlendioxid-Molekül (9 Freiheitsgrade, 4 Normalschwingungen). Meiner Meinung nach könnte man höchstens die 3 konstanten Translationen als "Schwingung mit Frequenz Null" betrachten, die 2 Rotationsfreiheitsgrade des Moleküls bereits nicht mehr. In Molekülschwingung#Normalschwingungen steht es ja richtig.--2003:EE:E3E8:3C58:6C6D:29F9:9E07:B44B 14:46, 7. Okt. 2018 (CEST)

Selbstverständlich sind Rotationen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gleichförmige Bewegungen im Raum der verallgemeinerten Koordinaten – $\phi (t)=\phi _{0}+\omega t$ --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:19, 7. Okt. 2018 (CEST)

Ich führe mal ein bisschen weiter aus, nehmen wir an, wir haben eine Hantel in 2 Dimensionen ohne Krafteinwirkung. Freiheitsgrade: $2\times 2-1=3$. Der Satz kartesischer Koordinaten $(x_{1},y_{1};x_{2},y_{2})$, Positionen der beiden Gewichte, ist ein schlechter Koordinatensatz, da 4 Koordinaten für 3 Freiheitsgrade. $(X,Y,\phi )$, Schwerpunkt und die Orientierung der Verbindungsstange, ist besser. Lösung der Bewegungsgleichung der Hantel: ${\begin{pmatrix}X(t)&Y(t)&\phi (t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{0}&Y_{0}&\phi _{0}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&\omega \end{pmatrix}}t$. Nur weil sich etwas im kartesischen Koordinatenraum aller Massenpunkte nicht gleichförmig bewegt, heißt das nicht, dass sich kein Koordinatensystem finden lässt, in dem es sich gleichförmig bewegt. Transformationsmatrix zum Selbstaufstellen. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:38, 7. Okt. 2018 (CEST)

Diese Definition einer Schwingungsfrequenz bzw. gleichförmigen Bewegung erscheint mir etwas beliebig. So könnte man doch auch beim 1-dimensionalen harmonischen Oszillator die "Schwingungsfrequenz Null" herausbringen: Indem man mit der verallgemeinerten Koordinate $\varphi$ mit Transformation $x=\sin \varphi$ arbeitet, erhält man die "gleichförmige Bewegung" $\varphi (t)=\omega \cdot t+\varphi _{0}$. Allgemein könnte man so bei jedem quasiperiodischen System alle Schwingungsfrequenzen zu Null machen, indem man auf Wirkungs-Winkelkoordinaten transformiert.
Des weiteren ist mir noch etwas im Abschnitt Theorie aufgefallen: Damit das angegebene $x(t)=x_{osz}(t)+x_{glm}(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung darstellt, muss $Vx_{glm}(t)=0$ sein. Welche Bedingungen sind dazu an das Potential bezüglich der verallgemeinerten Koordinaten $q_{i}$ zustellen? Das sollte m. E. erwähnt werden.--2003:EE:E3E8:3C15:D002:4FF2:528B:2058 18:21, 7. Okt. 2018 (CEST)

Man muss seine Koordinaten natürlich a priori festlegen und das Potential entsprechend in diesen Koordinaten entwickeln. Wenn ich statt der "üblichen" Koordinaten $2L(x,{\dot {x}})=m{\dot {x}}^{2}-Dx^{2}$ die Koordinatentrafo $\xi =\arccos x/x_{0}$ zu $2L(\xi ,{\dot {\xi }})=mx_{0}^{2}\sin ^{2}\xi {\dot {\xi }}^{2}-Dx_{0}^{2}\cos ^{2}\xi$ mache und harmonisch um $x=0\Leftrightarrow \xi =\pi /2$ nähere, dann erhalte ich mit $2L(\xi ,{\dot {\xi }})\approx mx_{0}{\dot {\xi }}^{2}-Dx_{0}^{2}(\xi -\pi /2)^{2}\Rightarrow 2L(\Xi ,{\dot {\Xi }})=mx_{0}^{2}{\dot {\Xi }}^{2}-Dx_{0}^{2}\Xi ^{2}$ wieder eine Schwingung, gleichgültig, ob mir die a-posteriori-Koordinatentrafo von $x=x_{0}\cos {\sqrt {D/m}}t$ die Lösung $\Xi ={\sqrt {D/m}}t-\pi /2$ ergeben würde. Du müsstest eine Koordinatentransformation so finden, dass $V$ andere Eigenwerte bekommt. Was ich dir auf jeden Fall sofort beweisen kann, ist, dass du nicht alle Eigenwerte auf Null bringen kannst, denn es gilt

$L(Ax,A{\dot {x}})={\dot {x}}^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }TA{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }VAx$

und du müsstest $A^{\mathrm {T} }VA=0$ fordern. Da für jede sinnvolle Koordinatentrafo fordern, dass $A$ invertierbar ist, folgt daraus automatisch $V=0$, sodass bereits vorher alle Eigenfrequenzen Null gewesen sind. Es gibt bestimmt irgendeinen Satz aus der linearen Algebra, die dir das auch für Unterräume verbietet. Erwähnt ist bereits, dass bezüglich dieser Koordinate ein indifferentes Gleichgewicht vorliegen muss. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 21:05, 7. Okt. 2018 (CEST)

Du erhältst in Deinem Beispiel $x(t)=x_{0}\cos(\cos(\omega t+\alpha )+\pi /2)$ als "Lösung" für den harmonichen Oszillator, was zeigt, dass es offensichtlich nicht egal ist, in welchen Koordinaten man die harmonische Näherung durchführt. Meine Kritik bezieht sich auch nicht auf die Eigenwerte der Matrix V, sondern auf die seltsame Umdefinition der Begriffe "Schwingung" und "gleichförmige Bewegung" unabhängig von irgendwelchen Näherungen z.B. in der Einleitung. Ich glaube nicht, dass sich dafür Literaturangaben finden lassen und finde, man sollte die Begriffe genauso wie im Artikel Molekülschwingung handhaben.--2003:EE:E3E8:3C15:D001:CE56:989D:E6B7 23:58, 7. Okt. 2018 (CEST)

Sag bloß! Sensation! Nobelpreisverdächtig (oder zumindest Fields-Medaillen-verdächtig)! Die exakte Lösung von $2L=mx_{0}^{2}\sin ^{2}\xi {\dot {\xi }}^{2}-Dx_{0}^{2}\cos ^{2}\xi$ (durch KT trivial möglich) stimmt nicht mit der harmonischen Näherungslösung von $2L\approx mx_{0}^{2}{\dot {\xi }}^{2}-Dx_{0}^{2}\xi ^{2}$ überein! Wer hätte das gedacht! Im Übrigen stimmt deine Lösung vorne und hinten nicht. Korrekt: $x_{\text{nach Substitution - Näherung - Resubstitution}}(t)=x_{0}\cos(\pi /2\cos(\omega t)-\pi /2)$ Des Weiteren steht dir selbstverständlich frei, auch anharmonische Terme mitzunehmen ($U={\tfrac {1}{2}}V_{ij}x_{i}x_{j}+{\tfrac {1}{6}}W_{ijk}x_{i}x_{j}x_{k}$), doch verlierst du dadurch beim Verfahren zur Lösungsfindung dein Eigenwertproblem. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 12:57, 8. Okt. 2018 (CEST)

Nun, Dein Problem mit der falschen Lösung rührt nicht etwa von der Transformation her, sondern mir ist ein Faktor entschlüpft. Die Lösung lautet $x(t)=x_{0}\cos(\Xi _{0}\cos(\omega t+\alpha )+\pi /2)=-x_{0}\sin(\Xi _{0}\cos(\omega t+\alpha ))$. Für kleine $\Xi _{0}$ folgt natürlich eine harmonische x-Schwingung, also kein Grund zur Aufregung.

Ich füge mal in die Einleitung noch eine kleine Ergänzung zur "gleichförmigen Bewegung" ein, damit wirklich klar ist, was gemeint ist.--2003:EE:E3E8:3C40:30B4:625:3D5D:25B6 08:25, 9. Okt. 2018 (CEST)

Falls noch irgend jemand mitliest: Für ein Punktteilchen im Potential $U(q)=q^{3}+q^{4}$ ergibt sich aus dem Theorieteil eine "gleichförmige Bewegung", bzw. eine "Schwingung mit Frequenz Null um die indifferente Gleichgewichtslage $q_{0}=0$ herum". Velleicht kann das irgendwann nochmal klarer dargestellt werden.--2003:6:51AD:EA14:3037:EE1E:ED24:58BD 19:34, 9. Okt. 2018 (CEST)

Harmonische Näherung? Wie auf der alten QS schon einmal im Sinne nach stand: "Und was ist im Kastenpotential? Da habe ich [in der klassischen Physik] für einen Freiheitsgrad unendlich viele beliebige Oszillationsfrequenzen" Pathologische Funktionen finde ich immer. Aber am Ende geht es nicht darum, was ich und du (und damals @Debenben:) meinen, sondern was die Literatur hergibt. Und wenn die Literatur sagt, dass EFs für harmonische Näherungen definiert sind, dann ist $V(x)={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}|_{x=0}(x)=\partial ^{2}/\partial x^{2}\left(ax^{3}+bx^{4}+cx^{12345}\right)|_{x=0}\equiv 0$. Bitte bring Literatur heran oder schreibe selbst ein Lehrbuch, wenn dich stört, was in der Literatur, die ich herangekarrt habe, steht, nur weil es deinem persönlichen Geschmack widerstrebt, dass ein Teilchen im $U=bx^{4}$ die Eigenfrequenz Null bekommt und Störungstheorie nicht mehr zum Eigenwertproblem beiträgt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 20:37, 9. Okt. 2018 (CEST)

@Blaues-Monsterle: Bei meiner Anmerkung damals ging es hauptsächlich um [1], ich habe in dem angegebenen Buch nachgeschaut und "solche Systeme" sind mehrdimensionale harmonische Oszillatoren, etwas anderes wird dort nicht besprochen.

Ich denke um die Frage zu beantworten ob Eigenfrequezen Null sein können oder nicht sollte man zunächst mal definieren was Eigenfrequenzen sind (hilfreich wäre auch wenn man wüsste wie man es ins Englische übersetzt, also natural frequency, eigenfrequency, resonance, fundamental, Fourier... frequency?). Wie ich dort auch geschrieben habe, habe ich bisher leider keine allgemeine Definition für mehrdimensionale, nichtlineare Systeme gefunden, das ärgert mich schon lange. Wie ich sehe steht inzwischen eine prinzipiell brauchbare Definition über Taylorentwicklung der Lagrangefunktion im Artikel. Jetzt sollten wir zunächst mal rausfinden, ob die Definition so allgemeingültig ist oder ob es auch alternative Definitionen gibt. Dann wäre bei der Definition noch die Frage zu klären was man macht, wenn es mehrere Gleichgewichtspunkte oder keinen Gleichgewichtspunkt gibt, z.B. ein Dynamisches Billard? Was macht man, wenn man einen Dämpfungsterm bzw. ein geschwindigkeitsabhänges Potential hat? Dann trifft insbesondere auch die Aussage mit positiv definit nicht zu und die Eigenfrequenzen können auch imaginär sein. Man beachte auch, dass bei der Definition über die Taylorentwicklung die Eigenfrequenzen von mehrdimensionalen Systemen abhängig von der Wahl der Basis sind. Auch z.B. die Aussage Eigenfrequenzen sind eine Basis für die irreduzible Darstellung der Punktgruppe eines schwingenden Moleküls dürfte nur zutreffen, wenn die Schwingung harmonisch ist. Sonst müsste man eine Definition der Eigenfrequenz über Fouriertransformation nehmen.

Und last but not least, der Satz "Ein System kann maximal so viele Eigenfrequenzen wie Freiheitsgrade besitzen und besitzt genau so viele Eigenmoden wie Freiheitsgrade." ist im Allgemeinen immer noch falsch: Welche Eigenmoden und Frequenzen hat denn ein Dynamisches Billard? (falls jemand dafür eine sinnvolle Definition findet, dann gerne mit ortsabhängigem Dämpfungsterm ...)

Ich vermute die Antwort wird darauf hinauslaufen, dass man die Systeme für die man Eigenfrequenzen definieren kann einschränken muss und ggf. unterschiedliche mögliche Definitionen vorstellen muss.--Debenben (Diskussion) 23:46, 9. Okt. 2018 (CEST)

Vielleicht noch eine Ergänzung wie ich auf Fouriertransformation komme: Wenn ich z.B. die (Eigen?) Moden (steht leider auch nicht allgmein in dem entsprechenden Artikel was man sich darunter vorzustellen hat) einer Membran herausfinden sollte dann würde ich einfach die Schwingung an jedem Punkt fouriertransformieren und bekomme für jede (Eigen?) Frequenz eine entsprechende Amplitude und Phase. Wenn zu einer Frequenz die Schwingung aller Punkte nehme habe ich eine (Eigen?) Mode. Das hat dann allerdings überhaupt nichts mit einer Taylorentwicklung der Lagrangefunktion zu tun.--Debenben (Diskussion) 00:05, 10. Okt. 2018 (CEST)

Als ich Literatur gewälzt habe, ist mir auch aufgefallen, dass Eigenfrequenzen nur für endliche Systeme in harmonischer Näherung ohne Dämpfung und ohne äußere Anregung näher erläutert werden (so wie ich es in den Artikel übernommen habe) oder für kontinuierliche Systeme einfach vom Himmel fallen. Also wenn es irgendwo eine Literaturfundstelle gibt: bitte, bitte, bitte... aber bis dahin würde ich mich wieder darauf zurückziehen, was ich oben geschrieben habe, nämlich dass meine (allgemein anerkannte) Literatur das genau so herleitet und wir Wikipedianer nur Literatur abbilden, die wir zur Verfügung haben. Das dynamische Billard ist dann so ein pathologisches Beispiel, da dafür keine harmonische Näherung möglich ist. Die Frage nach den mehreren Gleichgewichtspunkten habe ich (in Bezug auf Molekülschwingungen von Ammoniak und Phosphopentafluorid) auch einmal unseren Kollegen von der Chemie vorgesetzt.

Wo ich dir widersprechen möchte, ist dass die Eigenfrequenzen in harmonischer Näherung von der Basis abhängt, denn mit $x=Ay$ folgt die Eigenwertgleichung

$(A^{\mathrm {T} }TA\omega ^{2}-A^{\mathrm {T} }VA)y=0\Leftrightarrow (\omega ^{2}-A^{-1}T^{-1}VA)y=0$ neben $(\omega ^{2}-T^{-1}V)x=0$

denn $T$ ist positiv definit und damit invertierbar ($A$ ist es sowieso). Und solange mich nicht alles täuscht, sind Eigenwerte ähnlicher Matrizen identisch (was auch zum obigen Beispiel korrespondiert, das ich der IP gegeben habe).

Ich gehe ferner davon aus (Achtung! Ungerechtfertigte Spekulation und TF, ohne es nachgerechnet zu haben!) dass ich dir die Eigenmoden einer Lautsprechermembran dadurch bekomme, dass ich das Potential in der Lagrangedichte der Membran in der Feldvariablen "Auslenkung" $u(r,\phi ,t)$ entwickeln kann und dann durch einen Separationsansatz $u=\exp(-\mathrm {i} \omega _{nl}t)R_{n}(r)P_{l}(\cos \phi )$ mit entsprechenden Randbedingungen herzaubern kann. Wo ich vorsorglich schon einmal stark auf Legendre-Polynome in $\cos \phi$ tippe... :) --Blaues-Monsterle (Diskussion) 02:15, 10. Okt. 2018 (CEST)

Fließbach behandelt in Kapitel 25 Eigenschwinungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden. Dort wird auf S.217 explizit eine stabile Gleichgewichtslage bei konstantem ${\vec {q}}_{0}$ gefordert, was positive Definiertheit von $V$ impliziert. Das folgt auch daraus, dass "harmonische Näherung eines Lagrange-Systems" nicht nur Entwicklung des Potentials bedeutet, sondern zusätzlich Konstantsetzung der Massenmatrix. Diese muss aber physikalisch gerechtfertigt sein und hat ihren Ursprung im physikalischen Sinn der harmonischen Näherung:
Die Lagrangefunktion aus dem Theorieteil liefert als DGL $m_{ik,l}({\vec {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{k}+m_{ik}({\vec {q}}){\ddot {q}}_{k}-{\frac {1}{2}}m_{lk,i}({\vec {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{k}+U_{,i}({\vec {q}})=0$. Einsetzen von ${\vec {q}}(t)={\vec {q}}_{0}+{\vec {x}}(t)$ in die DGL und Betrachtung bis erste Potenz in den $x_{i}$ liefert $m_{ik}({\vec {q}}_{0}){\ddot {x}}_{k}+U_{,ik}({\vec {q}}_{0})x_{k}=0$, was tatsächlich die DGL für $L={\frac {1}{2}}m_{ik}({\vec {q}}_{0})x_{i}x_{k}-{\frac {1}{2}}U_{,ik}({\vec {q}}_{0})x_{i}x_{k}$ ist. Das ganze basiert offensichtlich darauf, dass ${\vec {q}}_{0}$ eine zeitlich konstante und stabile Lösung des Systems ist (sonst unbegrenztes Anwachsen der x_i), wie es auch im Fließbach steht.
Jetzt könnte man natürlich zusätzlich zu "verallgemeinerte Koordinaten" und "harmonische Näherung" auch noch "Koordinate kommt in der Massenmatrix nicht vor" in die abstruse Definition von "gleichförmige Bewegung" aufnehmen. Oder jemand mit Sichterstatus wirft diesen ganzen Unfug endlich raus, so dass der Artikel der Literatur über Molekükphysik und Mechanik (dort wo sie Schwingungen behandelt) folgt. Nach der Kostprobe von Blaues-Monsterles' "Literaturarbeit" mit Fließbach werde ich jedenfalls keine weitere Zeit mehr investieren.--2003:6:51AD:EA14:3037:EE1E:ED24:58BD 11:49, 10. Okt. 2018 (CEST)

Hach ja, wenn man einfach mal nicht nur das wiedergeben würde, was man für seine Zwecke nutzen kann, sondern alles, was ein Autor schreibt, dann würde der hier in der Diskussion mitlesende bei Fließbach zwei Seiten weiter schon "Der Grenzfall $\omega _{k}=0$ impliziert nach (25.16) $\det V=0$. Dann ist mindestens ein Eigenwert von V gleich null. Wir lassen diesen Grenzfall in (25.18) zu und schwächen insofern die Voraussetzung (25.12) ab." finden. Darüber hinaus ist die Mathematik der IP wieder schlampig bis zuletzt; in der Massenmatrix darf die Koordinate vorkommen, aber nicht im Potential. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:14, 10. Okt. 2018 (CEST)

Ein Eigenwert gleich null würde aber bedeuten $T$ ist nicht invertierbar. Wahrscheinlich muss man für eine sinnvolle Definition eh annehmen, dass es ein konservatives System mit einem harmonischen Potential ist dass genau ein globales Minimum hat, womit man den Fall der gleichförmigen Bewegung dann ausschließt. @Blaues-Mosterle: Mit den Eigenwerten hast du Recht, ich war der Meinung dass man gegenüber dem Fourier-Ansatz eine Abhängigkeit von der Wahl der verallgemeinerten Koordinaten bekommt, aber wie genau muss ich mir nochmal überlegen.--Debenben (Diskussion) 01:30, 11. Okt. 2018 (CEST)

Achtung, $V$ ist bei einem Eigenwert Null nicht invertierbar, über $T$ ist keine Aussage gemacht. Vgl. das Beispiel mit dem CO2-Molekül, das derzeit im Artikel ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 02:13, 11. Okt. 2018 (CEST)

Resonanzfrequenz und Verständlichkeit ..

Lieber LoRo,

vielleicht wärst Du so gut, den Zusamenhang von Resonanz- und Eigenfrequenz in der Einleitung kurz zu umreissen?

Auch insgesamt könnte die Einleitung noch einige erklärende Sätze vertragen, in denen die Definition für Laien etwas verständlicher dargelegt wird.

Vielen Dank!

Was meintest Du übrigens bei deiner Rücksetzung mit "es wird keine Resonanz betrachtet" ?

beste Grüße,

-- Kai Kemmann (Diskussion) - Verbessern statt löschen: Enzyklopädie ist altgriechisch für "umfassend" - 22:22, 27. Nov. 2018 (CET)

Ich heiße zwar nicht LoRo, aber da der Artikel in der jetzigen Form größtenteils von mir ist, umreiße ich einfach mal den Zusammenhang zwischen Eigen- und Resonanzfrequenz: Es gibt keinen. Es handelt sich um zwei vollkommen verschiedene Konzepte. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 22:37, 27. Nov. 2018 (CET)

Hallo zusammen,

eine kurze Umschreibung des Unterschiedes zwischen Eigenfrequenz und Resonanzfrequenz. Betrachtet man die Brücken in Genua, die vor kurzem eingestürzt ist, so bedeutet die Eigenschwingung die ohne Materialversagen möglichen ertragbaren Schwingungen der Tragseile der Brücke, z.B. durch periodischen Schwerlastverkehr.

Von einer Resonanz kann dann gesprochen werden, wenn die Schwingungen der Tragseile dazu führen, dass die Tragkräfte der Seile bis zum Bruch belastet werden und so ein Totalversagen der Brückenstruktur erzwingen.

Grüsse : LoRo (Diskussion) 22:59, 27. Nov. 2018 (CET)

Hm, auch wenn es denn tatsächlich keinen Zusammenhang gibt, dann sollte vielleicht trotzdem im Artikel ein Hinweis auf die Resonanzfrequenz enthalten sein. Denn beide Konzepte wirken bei oberflächlicher Betrachtung doch so, als könnten die Begriffe auch synonym verwendet werden. Wenn Euch keine bessere Formulierung einfällt, dann notfalls vielleicht so: "Eigenfrequenz ist nicht mit der Resonanzfrequenz zu verwechseln."

Auch sollte Eure Feststellung, dass kein Zusammenhang besteht, vielleicht mit dieser Aussage im Artikel Resonanzfrequenz abgestimmt werden: "Teilweise wird unter Resonanzfrequenz auch die Frequenz verstanden, bei der der Ausgang einen Phasenwinkel von 90° zur Anregung hat (Phasenresonanz); das ist bei der ungedämpften Eigenfrequenz der Fall."

Danke für das Beispiel, LoRo. Verstehen tue ich es allerdings nicht ganz. In beiden Fällen sprichst Du von "Schwingungen der Tragseile". Im einen Fall sind sie "ohne Materialversagen ertragbar", im anderen "erzwigen sie ein Totalversagen der Brücke". Wenn zwischen beiden überhaupt ein Unterschied vorhanden ist, dann klingt das ein wenig wie der graduelle Unterschied, so etwa wie zwischen Streckgrenze und Zugspannung.

Und was meinst Du in diesem Zusammenhang mit "periodischem Schwerlastverkehr"?

danke für Eure Bemühungen,

-- Kai Kemmann (Diskussion) - Verbessern statt löschen: Enzyklopädie ist altgriechisch für "umfassend" - 18:20, 28. Nov. 2018 (CET)

Hallo Kai,

deine Anmerkungen beantworte ich folgt:

1. Bei einer Brückenstatik wird im europäischen Raum eine Gewährleistung von ca. 60 % der Streckgrenze gegeben. Dann führt eine zeitliche Dauerbelastung durch Schwerlasttransporter zu einer periodischen Belastung (Tag-, Nacht-, Wochend-verkehr) über die Benutzungsdauer, die dazu führt, dass die ertragbare Streckgrenze unter jene 60 % der Bemmessungswertes zu liegen kommen kann. Ist nun eine kurzzeitige Belastung in Erscheinung getretten, die oberhalb der Versagensgrenze (oberhalb des Bemessungswertes) zu liegen kommt, so ist das Totalversagen möglich.

2. Dem Verständnis der Eigenfrequenz zugänglich ist folgender Gedankengang: Betrachte ich eine Klaviersaite und schlage diese über die Tastatur mit einem Hämmerchen an, so werden sich lediglich solche Eigenfrequenzen einstellen, die ein Vielfaches einer Grundfrequenz sind. Diese Grundfrequenz ergibt sich aus den Materialeigenschaften der Saite und den Einspannbedingungen. Da sich aufgrund dieser physikalischen Anordnung lediglich die Grundschwingung und deren Vielfaches darstellbar sind, wird es bei einem n-fachen Wert der Grundschwingung zu einer übermässigen Belastung der Klaviersaite kommen und sie reißt. Das ist dann der Fall der Resonanz.

Grüsse LoRo (Diskussion) 19:01, 28. Nov. 2018 (CET)

Wir machen das jetzt mal ganz ohne Brücken und ohne dass irgendetwas kaputt geht. Grob gesagt fragt man sich bei Eigenfrequenz "Mit welcher Frequenz schwingt das Ding von selbst, wenn man es kurz anschubst und dann in Ruhe lässt?" und bei Resonanzfrequenz "Was ist die Frequenz, mit der ein Apparat von außen das System anregen muss, damit die Schwingung des Systems eine möglichst große Amplitude bekommt"? Im Fall eines ungedämpften Oszillators fallen diese beiden Frequenzen zufällig zusammen. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:23, 29. Nov. 2018 (CET)

Bravo! Genau so habe ich mir das vorgestellt.

Knapp, nachvollziehbar und absolut allgemeinverständlich erklärt. Danke!

Dies sollte unbedingt so in diesen Artikel übernommen werden, da eine solche Gegenüberstellung das Verständnis von beiden Begriffen erleichtert und durch die verständliche Formulierung auch das breite Publikum nun einmal etwas von diesem Artikel hat. Davon brauchen wir noch viel mehr ...

Ich versuche noch einmal zusammenzufassen:

Mit seiner Eigenfrequenz schwingt ein Körper nach einer kurzen (impulsartigen?) Anregung (wie etwa einem Hammerschlag).

Mit (s)einer Resonanzfrequenz schwingt ein Körper, wenn er regelmäßig mit genau der Frequenz (bzw. den Frequenzen) angeregt wird, bei welcher (bzw. welchen) seine Schwingung die größte(n) Amplitude(n) entwickelt.

Jetzt fehlt mir noch die Erklärung dafür, warum die Dämpfung die Eigenfrequenz beeinflußt.

Ist es nicht so, dass nach dem Anschlag einer Stimmgabel die Amplitude durch die Dämpfung aufgrund des Luftwiderstands abnimmt, während die Frequenz mehr oder weniger gleich bleibt?

Und weil ich einmal dabei bin: Wieso besitzt die umseitig erwähnte Saite eigentlich "unendlich viele Freiheitsgrade"?

Jeder einzelne Punkt auf der Saite kann doch lediglich in der XY-Ebene schwingen (wenn man die minimale Längselastizität, Torsion und eventuelle Winkeländerungen mal vernachlässigt).

lieben Dank nochmals,

-- Kai Kemmann (Diskussion) - Verbessern statt löschen: Enzyklopädie ist altgriechisch für "umfassend" - 02:58, 29. Nov. 2018 (CET)

Eigenfrequenzen sind (soweit ich und auch andere es in der Literatur gefunden haben) nur für ungedämpfte Systeme definiert. Die Redaktion Physik sehnt sich nach einer Fundstelle, die den Fall für Dämpfung verallgemeinert, um das hier fundiert einbauen zu können. Daher ist die Aussage insofern zu korrigieren: Dämpfung verschiebt die Resonanzfrequenzen eines Systems. Auch die Aussage, ein System schwinge mit seiner Eigenfrequenz ist nicht ganz korrekt: Es schwingt in einer Überlagerung seiner Eigenfrequenzen (cf. Einleitung: "Jede Bewegung, die das System durchführen kann, kann als Überlagerung von Eigenmoden dargestellt werden."). Eine Saite hat unendlich viele Eigenmoden, weil eine Saite (modellmäßig) auch aus unendlich vielen Punkten aufgebaut ist. Ab einer bestimmten (sehr, sehr hohen) Frequenz fliegt einem das Modell natürlich um die Ohren, weil eine reale Saite nur aus einer endlichen (sehr, sehr großen) Zahl von Atomen besteht und die Kontinuumsnäherung versagt; aber die Aussage, eine Saite habe $10^{26}$ Eigenfrequenzen ist halt ... untauglich. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 09:21, 29. Nov. 2018 (CET)

@LoRo: Darf man erfahren, was die Begründung des Reverts meines Reverts war? Meine Begründung steht in der Zusammenfassungszeile. Wir schreiben in "Fußball" doch auch nicht "Aber Handball spielt man anders". --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:11, 1. Dez. 2018 (CET)

@Blaues-Monsterle: Aber, aber, wir betreiben hier doch keine komparative Dialektik. Grüsse LoRo (Diskussion) 16:25, 2. Dez. 2018 (CET)

Nochmal: Gleichförmige Bewegung ist Eigenmode? Definition scheint falsch.

Die Einleitungs-Def. "...jene Bewegungen , die das System ausführt, wenn es sich selbst überlassen ist." ist wohl mehr als unvollständig oder sogar falsch. Dann müsste ja jedes Doppelpendel gleich nach Ende der Anregung in einer seiner 2 Eigenmoden schwingen. Eine lexikongeeignete Definition hab ich aber noch nicht gefunden. Hülfe die Einschränkung "mit fester Frequenz"? - Und ob man dem schwingungsfähigen System des 1. Satzes gleich im 2. Satz eine geradlinige Bewegung andichten kann, scheint mir mehr als fragwürdig. Hat jemand eine wasserdichte und WP-taugliche Formulierung? --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:54, 10. Jan. 2022 (CET)

Ich habe noch einmal nachgeschaut, was ich damals geschrieben hatte (mich dünkt, dieser Satz käme nicht aus meiner Feder). Da hieß es: "Die Eigenmoden oder Normalmoden eines schwingfähigen Systems bilden eine diskrete Basis aller Bewegungen, die ein ungedämpftes und frei schwingendes System in harmonischer Näherung ausführen kann." Das wurde als allgemeinunverständlich ersetzt. Auch das Doppelpendel schwingt in seinen beiden Eigenmoden und nicht chaotisch ... wenn man mit den Anfangsbedingungen in der harmonischen Näherung bleibt (kleine Auslenkung, kleine Geschwindigkeit). Wichtig auch hier: harmonische Näherung! Hmm ... die geradlinige Bewegung ... sie ist und bleibt halt ein Spezialfall für Eigenfrequenz Null. Du hast Recht, dass sie aus physikalischer Sicht Sonderbehandlung bedarf, aber andererseits ... sie fällt genauso aus der Wundertüte des Formalismus heraus wie die anderen Frequenzen. Wenn man Eigenfrequenzen zählt, muss man sie mitzählen, um auf die korrekten Freiheitsgrade zu kommen, in der Lösung der Bewegungsgleichungen muss sie vorkommen etc. Man könnte den Artikel untergliedern, dass man auf diesen Spezialfall in einem Sonderkapitel zu sprechen kommt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:37, 10. Jan. 2022 (CET)

Ist denn Dein damaliger Satz überhaupt richtig? Die Normalschwingungen bilden doch nicht irgendeine Basis, sondern eine aus unabhängig voneinander, jedenfalls in harmonischer Näherung, möglichen Schwingungen (die nach Quantisierung zu unabhängigen (Quasi-)Teilchen werden können. Also soweit kenne ich das noch, weiter aber nicht. Frequenz Null würde ich wirklich erst später erwähnen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:20, 10. Jan. 2022 (CET)

In meiner Gedankenwelt war der Artikel in der klassischen Physik und nicht bei wechselwirkenden Quantenfeldern (--> frei schwingend) angesiedelt. Was ist jetzt genau der Kritikpunkt von "bilden nicht irgendeine Basis, sondern eine [spezielle]" an "bilden eine Basis"? Dass wir mit dieser Basis wirklich alle Bewegungen (in harm. Näherung) und nicht nur spezielle abdecken, sieht man, wenn man Freiheitsgrade zählt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 14:30, 11. Jan. 2022 (CET)

Nein, ich wollte nicht "spezielle" in den Artikel schreiben, sondern eine Eigenschaft, die die Normalschwingungen (wir können auch gerne klassisch bleiben) vor anderen Basen auszeichnet. Die Positionen aller Atome eines Kristallgitters bilden, denke ich, ja auch eine Basis, aber definitiv eine andere. Sind Normalschwingungen nicht die, die bei harmonischer Näherung harmonisch periodisch mit wohlbestimmter Frequenz sind? --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:03, 11. Jan. 2022 (CET)

Es tut mir sehr leid, aber auch nach nochmaligem Lesen nach zwei Wochen verstehe ich das Problem bzgl. meiner damaligen Formulierung immer noch nicht. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 19:21, 26. Jan. 2022 (CET)

Ja, dann nochmal zu Mitschreiben: Geschrieben steht " [1] Es handelt sich um jene Bewegungen, die das System ausführt, wenn es sich selbst überlassen ist. [2] Dazu gehören die gleichförmige Bewegung sowie alle Eigenschwingungen.". Meine Kritik: Satz (1) beschreibt ganz allgemein die freie Bewegung eines Systems, also nach Abschalten jeglicher Störung. Das kann hier nicht gemeint sein. (Dazu mein Beispiel: Schwebung beim Doppelpendel ist sicher keine Eigenmode.) Satz (2) bietet (satzlogisch) ein paar Beispiele von Eigenmoden an, ohne zu betonen, dass er eine erschöpfende Aufzählung ist (wenn ich mich nicht täusche). - Klarer? --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:30, 26. Jan. 2022 (CET)

Jaja, aber die Sätze kommen doch gar nicht von mir uns sind eindeutig falsch! [Weswegen ich dem meine alte Fassung entgegengestellt hatte.] --Blaues-Monsterle (Diskussion) 21:37, 26. Jan. 2022 (CET)

Ach so, ja, dann muss ich was anderes schreiben: Dein Satz "Die Eigenmoden oder Normalmoden eines schwingfähigen Systems bilden eine diskrete Basis aller Bewegungen, die ein ungedämpftes und frei schwingendes System in harmonischer Näherung ausführen kann." ist sicher richtig, ist aber keine präzise Definition, weil sie nur sagt :"... ist eine Basis ...". Ist eine Basis unter vielen? Was zeichnet sie aus? Es fehlt ein sog. Alleinstellungsmerkmal. - Jetzt klarer? (nicht signierter Beitrag von Bleckneuhaus (Diskussion | Beiträge) 22:11, 26. Jan. 2022 (CET))

Ich habe vor längerer Zeit eine allgemeine Definition für Eigenmode bzw. Eigenfrequenz gesucht und feststellen müssen dass diese nicht existiert. Entsprechend habe ich eine Quelle gesucht welche explizit schreibt dass eine solche Definition nicht existiert und leider auch nicht fündig geworden. Zu dem Einleitungssatz hätte ich die Vermutung, dass der Autor davon ausgeht, dass "schwingungsfähiges System" = Oszillator ist, entsprechend wäre ein Doppelpendel kein "schwingungsfähiges System" und Eigenmoden nicht definiert. Dann würde sich aber trotzdem weiterhin die Frage stellen was bei einem allgemeinen Oszillator denn dann die Eigenmoden sind. Da gäbe es prinzipiell zwei Möglichkeiten: (1) Jeder Oszillator hat für eine feste Wahl an Parametern wie Energie genau eine Eigenfrequenz = die Frequenz der Schwingung und eine Eigenmode = die komplette Schwingung. (2) Man kann sich eine beliebige Basis aussuchen und dann bzgl. dieser eine Fouriertransformation machen. Im Allgemeinen also immer unendlich viele harmonische Eigenmoden und Eigenfrequenzen die von der Wahl der Basis abhängen.--Debenben (Diskussion) 22:16, 27. Jan. 2022 (CET)

Meiner Erinnerung nach kommt die Bezeichnung "Eigenmode" oder Eigenschwingung von "Eigenvektor", weil bei einem n-komponentigen schwingungsfähigen System ein harmonischer Ansatz (mit einheitlicher Frequenz) für alle n Amplituden auf eine lineare Eigenwertgleichung (vielleicht erst nach Linearisierung) führt, mit der Frequenz als Eigenwert und den n (evtl. komplexen) Amplituden als Komponenten des Eigenvektors. Steht das so in irgendeinem bekannten Lehrbuch? Dann hätten wir mE wenigstens die Herkunftbedeutung des Begriffs.--Bleckneuhaus (Diskussion) 21:32, 28. Jan. 2022 (CET)

Die Wortherkunft so wie es im Artikel steht halte ich für naheliegend, auch wenn ich keinen expliziten Beleg habe. Für den Abschnitt "Theorie" gibt es sicherlich Belege. Allerdings sind diese selbst bei solch einfachen Systemen häufig ungenau und im Detail unterschiedlich bzw. widersprüchlich. Zum Beispiel "besitzt genau so viele Eigenmoden wie Freiheitsgrade", "bilden die Eigenmoden nämlich eine diskrete Basis" und "und gegebenenfalls einer gleichförmigen Bewegung" im Artikel ist nicht konsistent: Die Eigenwerte $\omega ^{2}$ sind zweifach entartet sodass man Eigenfunktionen $\exp(\mathrm {i} \omega t)$ und $\exp(-\mathrm {i} \omega t)$ für eine komplette Basis braucht.--Debenben (Diskussion) 16:24, 6. Feb. 2022 (CET)

Entschuldigung, wenn ich dir hier widerspreche, denn in der klassischen Physik sind alle Ausgangsgrößen reell, wohingegen $\exp(\pm \mathrm {i} \omega t)$ eine komplexe Größe ist. Das bedeutet, außer für die Null-Mode bekomme ich einen Freiheitsgrad zu viel, wenn ich ganz allgemein sowohl Plus- als auch Minus-Lösung mit komplexen Koeffizienten zulasse. Für jede physikalische Lösung, sind Plus- und Minus-Lösung nicht unabhängig, sondern müssen sich zu einer Sinus- und Cosinus-Lösung mit einer Frequenz, die ich oBdA größer Null wählen kann, zusammensetzen. $\operatorname {Re} c_{k}\exp(+\mathrm {i} \omega _{k}t)=\operatorname {Re} c_{k}^{*}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)$. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 14:34, 7. Feb. 2022 (CET)

Ich sehe zudem im Artikel in der Einleitung gar keine Wortherkunft erklärt, sondern nur den Begriff definiert. Und diese Definition ist nach wie vor falsch, ich würde sie sofort ändern, wenn ich nur sicher wüsste, dass das Alleinstellungsmerkmal der Periodizität mit eindeutiger Frequenz auch im anharmonischen Fall gilt, das weiß ich schlicht nicht. Aber ist denn hier inzwischen wenigstens klar, dass NICHT alle " jene Bewegungen, die das System ausführt, wenn es sich selbst überlassen ist" auch Eigenmoden sind? --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:58, 7. Feb. 2022 (CET)

Ich glaube, letzteres stand hier noch nie zur Debatte. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:08, 7. Feb. 2022 (CET)

Na, dann wage ich mal, an Stelle von Es handelt sich um jene Bewegungen, die das System ausführt, wenn es sich selbst überlassen ist. Dazu gehören die gleichförmige Bewegung sowie alle Eigenschwingungen. Letztere sind freie und ungedämpfte Schwingungen und werden näherungsweise als harmonisch betrachtet. " vorzuschlagen:

Es handelt sich neben der gleichförmigen Bewegung um die periodischen Bewegungen mit eindeutiger Frequenz, die das System ausführen kann, wenn es nach einer Anregung sich selbst überlassen bleibt. Diese werden als Eigenschwingungen bezeichnet und sind - wenigstens näherungsweise - ungedämpfte harmonische Schwingungen.

OK? --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:17, 7. Feb. 2022 (CET)

Der zweite Satz ist noch nicht wirklich überzeugend.

• Der Satz macht zwei inhaltlich nicht zusammenhängende Aussagen (Bezeichnung und ungedämpfte Schwingungen). Das sollte für bessere Lesbarkeit in zwei getrennte Hauptsätze gefasst werden.
• Das "wenigstens näherungsweise" versteht man nur dann, wenn man das Thema bereits voll durchdrungen hat. Außerdem sind Einschübe ganz allgemein ein Stolperstein fürs Leseverständnis. Wenn die Sache mit der Dämpfung in die Einleitung soll, dann braucht sie einen eigenen Satz. Ich könnte mich aber auch damit anfreunden, dass das zu den Details gehört, über die die Einleitung hinweg gehen kann.

---<)kmk(>- (Diskussion) 22:02, 7. Feb. 2022 (CET)

@Blaues-Monsterle: Was ich meine ist: Du hast zwei reelle Parameter, nämlich Amplitude und Phase von $c_{k}$ die du frei wählen kannst und für einen zweidimensionalen reellen Vektorraum brauchst du zwei Basisvektoren. Oder du rechnest komplett im komplexen, daran habe ich nicht gedacht, allerdings muss man dann für die allgemeine Lösung keine gleichförmige Bewegung addieren. Und bevor das Thema aufkommt: Ein Schwingungfreiheitsgrad sind zwei Energiefreiheitsgrade, aber wie im Artikel wenn man versucht sich die Sätze konsistent zu machen, ohne besondere Erklärung mit "Freiheitsgrad" mal das eine und dann das andere zu bezeichnen ist auch nicht korrekt.

@Bleckneuhaus: Ich will nicht behaupten das die Definition falsch ist, aber sie ist anders als im Theorieabschnitt. Laut dem Abschnitt könnte zum Beispiel ein zweidimensionaler harmonischer Oszillator Eigenfrequenzen 1/2 und 1/3 haben. Im Allgemeinen wäre eine periodische Bewegung (sofern existent) aber mit Eigenfrequenz 1/6, dem größten gemeinsamen Vielfachen. Außerdem ist "ein System" viel zu allgemein. Es ist völlig unklar wie man bei einem allgemeinen System Eigenwerte berechnen soll und die ganzen Sätze über Eigenfrequenzen, Freiheitsgrade usw. gelten nur bei einem harmonischen Oszillator. Die Frequenz und der periodische Grenzzyklus eines allgemeinen Oszillators wäre eindeutig, aber hätte nichts mit dem Eigenwertproblem im Theorieabschnitt zu tun.

--Debenben (Diskussion) 23:07, 7. Feb. 2022 (CET)

Ich habe den kritisierten Satz präzisiert und dabei alles mit Resonanz erstmal entfernt - oder muss das in der Einleitung bleiben? --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:17, 13. Feb. 2022 (CET)