Diskussion:Einhüllende/Archiv

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[[Diskussion:Einhüllende/Archiv#Thema 1]]

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unmathematisch

In diesem Artikel ist leider einiges "unmathematisch". 1., In der mathematischen Strenge der normalen Analysis gibt es keine "infinitesimal benachbarten Elemente". 2., In Punkt 1 der "Definition" wird von einer "Stelle x_h" gesprochen, ohne zu sagen, was "x_h" ist bzw. wo x_h liegen soll. 3., Den Begriff "hinreichend" bitte im Zusammenhang mit einer Definition zu streichen. Eine Definition ist eine Definition. Eine hinreichende Bedingung ist hingegen Teil einer Implikation, d.i. einer Aussage, keiner Definition. 4., Was f ist, verbleibt der Phantasie des Lesers. ASlateff 128.131.37.74 21:32, 17. Jun. 2007 (CEST)

Lemma

Ich fänds ja besser, wenn man diesen Artikel als Hüllkurve bezeichnen würde, der deutsche Ausdruck scheint mindestens genau so bekannt zu sein wie der französische. Den jetzigen Artikel Hüllkurve sollte man in Hüllkurve (Wellenlehre) o.ä. umbenennen, denn dieser ist nur ein Spezialfall der Hüllkurve. Und es gibt auch noch Hüllkurve (Musik). --Philipendula 22:52, 24. Nov. 2007 (CET)

Link

[1] Dieser Link scheint nicht mehr gültig zu sein.-- Kölscher Pitter 09:42, 5. Mär. 2008 (CET)

Fehler beseitigt

Als definierende Bedingung wurde unter anderem aufgezählt:

3. Zwei infinitesimal benachbarte Elemente $K_{t},\;K_{t+\varepsilon }$ der Kurvenschar müssen an einer Stelle $x_{\varepsilon }$ einen gemeinsamen Punkt haben. Im Grenzwert $P=\lim _{\varepsilon \to 0}x_{\varepsilon }$ dieser Schnittpunktkonstruktion ergibt sich ein Punkt P der Enveloppe H.

Die ersten beiden Bedingungen sind zusammen hinreichend, da durch die Bedingung (2) auch sichergestellt ist, dass benachbarte Elemente der Kurvenschar auch gemeinsame Punkte haben. Die Bedingung (3) ist auch alleine hinreichend.

Diese Bedingung ist jedoch zu restriktiv (siehe Courant/John: Introduction to Calculus and Analysis II/1 und etliche andere Quellen).

Klar, dass das dann auch auf den (ehemahligen) Abschnitt "Hüllkurven-Bestimmung durch Grenzwertbetrachtung" zutrifft:

Wir benutzen die 3. Bedingung der Definition. Zwei infinitesimal benachbarte Elemente der Kurvenschar $K_{t}$ müssen an der Stelle $x_{h}$ einen gemeinsamen Punkt $P$ haben. Dieser Punkt $P$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$. Um zwei infinitesimal benachbarte Kurven zu erhalten, wählen wir zwei beliebige Kurven und lassen den Scharparameter $t_{1}$ der einen Kurve gegen den Scharparameter $t_{2}$ der anderen laufen. Für $\Delta t\rightarrow 0$ nähert sich ihr Schnittpunkt P an den Punkt $P$ der gesuchten Hüllkurve $H$ an.

1. Aufstellen der Gleichung $f(x,t_{1})=f(x,t_{2})$ und nach $x$ auflösen.
2. Den Limes $x_{h}$ von $x$ für $t_{1}\rightarrow t_{2}$ berechnen.
3. $x_{h}$ in $f(x,t)$ einsetzen, um $y_{h}$ zu erhalten, $P(x_{h},y_{h})$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$, seine Koordinaten $x_{h}$ und $y_{h}$ hängen formal von $t_{2}$ ab. Diese Beziehungen gelten für alle Punkte $P$ von $H$, wir haben also die Funktion der Hüllkurve in Parameterdarstellung.
4. Durch Eliminieren von $t_{2}$ von der Parameterdarstellung in eine Funktion der Form $h(x)=y$ umformen.

Sorry, habe vergessen zu unterschreiben: --TN 23:33, 19. Jul. 2008 (CEST)

Damit man sich leicht von der Richtigkeit der Fehlerbehebung überzeugen kann, ist vielleicht ein einfaches Besipiel angebracht:

$y(x)=0$

ist die Enveloppe der Kurvenschar

$y_{p}(x)=(x-p)^{3},$

mit $p$ als reellem Parameter. Die Enveloppenbedingung lautet:

$0=\partial _{p}(y_{p}-(x-p)^{3})=-3(x-p)^{2}\Rightarrow p=x$

das in die obere Gleichung für $y_{p}$ eingesetzt, liefert wie gesagt die Enveloppe $y=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

Für zwei voneinander verschiedene Parameterwerte $p_{1}$ und $p_{2}$ haben die Kurven $x\mapsto y_{p1}(x)$ und $x\mapsto y_{p2}(x)$ jedoch keinen Schnittpunkt.