Diskussion:Euklidische Transformation

schöner Artikel

zwei kurze Anmerkungen:

• Ich bin unsicher, ob es gut wäre den Artikel mit w:en:Rigid transformation zu verlinken, obwohl es nicht 100 das Gleiche ist.
• @Alva2004: Danke für den Artikel. Ich wollte dich nur darauf aufmerksam machen, dass du unter Einstellungen->Aussehen->mathematische Formeln die Option MathJax aktiveren kannst. Die Formeln sehen dann meist hübscher aus. Ich hoffe immernoch, dass das irgendwann mal Standard für alle wird.--Debenben (Diskussion) 18:21, 27. Mär. 2014 (CET)

Von mir auch ein Danke für den schönen Artikel. Aber beim Satz „Die zur euklidischen Transformation gehörende Koordinatentransformation ist eine affine, bei der die Transformationsmatrix eine Drehmatrix ist“ in der Einleitung muss es wohl entweder „zur eigentlichen euklidischen Transformation“ oder „eine orthogonale Matrix“ statt Drehmatrix heißen. Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 20:29, 27. Mär. 2014 (CET)

Danke für das Lob und die Korrekturvorschläge! Für w:en:Rigid transformation habe ich Isometrie genommen und Drehmatrix ersetzt. MathJax hab ich aktiviert, da werden die Formeln bei mir mal linksbündig mal mittig dargestellt und \dot{} gibt nicht das gewünschte Ergebnis :( --Alva2004 (Diskussion) 13:26, 28. Mär. 2014 (CET)

Ein paar Anmerkungen

Hallo Alva2004,

ich habe ein paar Anmerkungen zu dem von dir verfassten Artikel. Weil es um unterschiedliche Punkte geht, die sicher getrennt diskutiert werden, habe ich sie auf mehrere Unterabschnitte verteilt. Zunächst mal zwei Abschnitte zur Geometrie. Anmerkungen zur Rolle der Zeit und zur Physik folgen später. --Digamma (Diskussion) 21:24, 2. Apr. 2014 (CEST)

Bewegung und Koordinatentransformation

In der Einleitung schreibst du:

"Die euklidische Transformation, benannt nach Euklid, ist eine abstands- und damit auch winkelerhaltende Transformation (Isometrie) des euklidischen Raumes auf sich. Bei der eigentlichen euklidischen Transformation bleibt zusätzlich die Orientierung erhalten, werden also Spiegelungen ausgeschlossen. Mathematisch ist die euklidische Transformation eine Bewegung, die ebenfalls eigentlich genannt wird, wenn die Orientierung erhalten bleibt, und uneigentlich, wenn dies nicht der Fall ist."

Hier geht es also um Abbildungen des Raums. Das heißt, Punkte des Raums werden auf andere Punkte abgebildet. Physikalisch ausgedrückt: Gegenstände im Raum ändern ihre Lage.

Im weiteren Verlauf des Artikels geht es aber um Koordinatentransformationen. Das heißt, die Punkte des Raums bleiben gleich, aber das Koordinatensystem ändert sich. Dadurch ändern sich die Koordinaten der Punkte.

Das sind grundsätzlich verschiedene Dinge. Zur Unterscheidung spricht man im ersten Fall von einer aktiven Bewegung, im zweiten von einer passiven. Man muss diese Fälle strikt auseinanderhalten, umso mehr, als die Gleichungen, die dies jeweils beschreiben, einander sehr ähnlich sind, aber doch verschieden. Ich illustriere das mal am Beispiel einer Verschiebung um eine Einheit in Richtung der x-Achse, also um den Vektor (1,0,0):

1. Fall: Das Koordinatensystem bleibt fest, die Punkte werden verschoben. Hat der Punkt P die Koordinaten (x,y,z), so hat der Bildpunkt P' die Koordinaten (x',y',z') mit x' = x + 1, y' = y, z' = z.

2. Fall: Das Koordinatensystem wird verschoben. Die Koordinaten des Punktes P bezüglich des ursprünglichen Koordinatensystems K seien (x,y,z). Bezüglich des neuen, um den Vektor (1,0,0) verschobenen Koordinatensystems hat derselbe Punkt P die Koordinaten (x',y',z') mit x' = x - 1, y' = y, z' = z.

Im ersten Fall hat man also ein Pluszeichen, im zweiten ein Minuszeichen. Analoges gilt bei Drehungen. Dreht man die Ebene um den Winkel $\varphi$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung, so wird ein Punkt P mit den Koordinaten (x,y) auf einen Punkt P' mit den Koordinaten (x',y') abgebildet. Für diese gilt:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

Wird jedoch das Koordinatensystem um diesen Winkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht, so besteht zwischen den Koordinaten (x,y) des Punkts P bezüglich des ursprünglichen Systems und den Koordinaten (x',y') desselben Punkts bezüglich des gedrehten Systems der "umgekehrte" Zusammenhang:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

--Digamma (Diskussion) 21:24, 2. Apr. 2014 (CEST)

Das einzige was sich in Abschnitten 1.1 und 1.2 bewegt sind die Beobachter, die unbewegte Punkte X fotografieren. Daraufhin landen diese Punkte an verschiedenen Orten auf ihren Monitoren, die hier Vektorraum heißen. Also handelt es sich um Abbildungen und Koordinaten-Transformationen zwischen den Monitor-Ebenen. Die Verwirrung kommt vielleicht von der Seite Bewegung (Mathematik), wo diese Abbildung "Bewegung" genannt wird? Erst im Abschnitt 1.3 und 2ff bewegt sich der Punkt X (genauer: ein Partikel, das dort vorbeikommt) tatsächlich ausgedrückt durch ${\vec {x}}(t)$. Dein Gebrauch des Terminus "aktiv" und "passiv" deckt sich also nicht mit dem hier verwendeten. In dem zitierten Buch von P. Haupt wird damit der aktive oder passive Beobachterwechsel gemeint. Ist das eine treffende Erklärung der Unstimmigkeiten? Dann sollten sie im Artikel beseitigt werden! --Alva2004 (Diskussion) 12:52, 3. Apr. 2014 (CEST)

„Also handelt es sich um Abbildungen und Koordinaten-Transformationen zwischen den Monitor-Ebenen.“ Das klingt aber tatsächlich in der Einleitung anders als im Rest des Artikels. Der erste Satz sagt, dass es sich um eine Transformation des „Raumes“ handelt, also um eine Abbildung, die einem Punkt in $\mathbb {E} ^{3}$ wieder einen Punkt in $\mathbb {E} ^{3}$ zuordnet und auch gemäß Bewegung (Mathematik) ist eine Bewegung eine solche Abbildung. Aber im Rest des Artikels ist dann eine euklidische Transformation eine Abbildung $\mathbb {V} ^{3}\to \mathbb {V} ^{3}$, oder? Vielleicht würde auch ein exakter Definitionsabschnitt am Anfang des Artikels die Sache klarer machen. -- HilberTraum (Diskussion) 13:18, 3. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Alva2004, wie ich Koordinatensysteme verstehen, ist der "Monitor" nicht der ("geometrische") Vektorraum $\mathbb {V}$ (der, wie ich im nächsten Abschnitt geschrieben habe, in eindeutiger Weise dem Punktraum zugeordnet ist), sonder der ("arithmetische") Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{3}$ der aus Zahlentripeln $(x,y,z)$ besteht (Koordinatenvektoren, oft als Spaltenvektor $\left({\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}}\right)$ geschrieben). Eine Koordinatentransformation ordnet dann einem Zahlentripel $(x,y,z)$ (den Koordinaten bezüglich des Koordinatensystems $K$) ein anderes Zahlentripel $(x',y',z')$ zu, die Koordinaten bezüglich der neuen Basis $K'$. Sie ist somit eine Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$. Vielleicht ist der Artikel Basistransformation nützlich, der Basiswechsel und die zugehörigen Koordinatentransformationen bei Vektorräumen beschreibt.

Im Übrigen schließe ich mich HilberTraum an.

Was die Bezeichnungen "aktiv" und "passiv" betrifft, muss ich zugeben, dass ich damit nicht vertraut bin und die genauen Bedeutungen nicht kenne. --Digamma (Diskussion) 20:15, 3. Apr. 2014 (CEST)

Hab's neben ein paar anderen Änderungen eingearbeitet. Ich bin kein Mathematiker oder Physiker und hab das jetzt so aus den verfügbaren Seiten zusammen geklaubt. Ich hoffe das passt nun.--Alva2004 (Diskussion) 15:46, 4. Apr. 2014 (CEST)

Soweit ich sehe, besteht die Problematik aber immer noch: Alles was vor der Überschrift „2 Euklidische Transformation und Beobachterwechsel“ steht, sieht so aus als, ob es um Abbildungen des Raumes und deren Beschreibung durch Koordinaten gehen soll. Danach kommt dann aber soweit ich sehe ausschließlich ein ganz anderes Thema, nämlich wie sich Koordinaten von Punkten ändern, wenn ein anderes Koordinatensystem verwendet wird. -- HilberTraum (Diskussion) 20:52, 5. Apr. 2014 (CEST)

1) Alle, die sich vorrangig für die Mathematik interessieren, werden im Überblick auf andere Seite verwiesen, in diesem Artikel geht es vorrangig um den Beobachterwechsel in der Mechanik. 2) In Bewegung (Mathematik) ist das doch genauso (falsch)? Ich finde es ok, in einer "Beschreibung durch Koordinaten" anzugeben, "wie sich Koordinaten von Punkten ändern, wenn ein anderes Koordinatensystem verwendet wird." 3) In der aktiven Interpretation geht es um eine Abbildung vermittelt durch den Tensor Q. 4) Falls ich komplett auf dem Holzweg bin, bitte ich Dich den Artikel so zu verändern, dass er auch Mathematikern gerecht wird. Würde mich freuen, wenn das mit kleinen Umformulierungen zu schaffen ist! --Alva2004 (Diskussion) 12:50, 6. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Alva2004, mit ist klar geworden, dass es in diesem Artikel um den Beobachterwechsel geht. In Bewegung (Mathematik) geht es um Abbildungen des Raums. Das ist etwas anderes. Das ist ein anderes Thema. Ich habe versucht, oben den Unterschied zu erklären. Das ist in Bewegung (Mathematik) nicht falsch, sondern, wie gesagt, es geht dort um etwas anderes. Die Einleitung dieses Artikels behauptet aber, auch hier würde es um Abbildungen des Raums gehen. Das ist eben nicht so, hier geht es um Beobachterwechsel. Es geht gar nicht darum, dass das eine Mathematik wäre und das andere Mechanik. Es geht sowohl aus der Sicht der Mechanik als auch aus der Sicht der Mathematik um zwei unterschiedliche Dinge. Auch in der Mechanik ist es ein Unterschied, ob ich einen Körper bewege, oder ob ich das Koordinatensystem bewege.

Zu 3) kann ich zunächst nichts sagen, da muss ich mich erste einlesen, was damit gemeint ist. --Digamma (Diskussion) 17:30, 6. Apr. 2014 (CEST)

PS: Mein Gebrauch der Bezeichnung "aktiv" und "passiv" beruht auf dem Artikel Drehmatrix. --Digamma (Diskussion) 17:30, 6. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Digamma, ok, 2. Versuch. Die euklidische Transformation hat zwei Aspekte: Einen mathematischen, der im "Überblick" und "Euklidische Transformation und Beobachterwechsel" beschrieben wird und wo versucht wird https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_transformation gerecht zu werden. Danach geht es um objektive Größen. Beides in einem Artikel so wie in der Einleitung geschrieben und genauso wie in Galilei-Transformation nur umgekehrt ;) Wer die Einleitung liest, wird keine Überaschung erleben. Desweiteren wird ein Überblick über Seiten der Wikipedia gegeben, die mit der euklidischen Transformation zu tun haben, ganz im Sinne einer Enzyklopädie. --Alva2004 (Diskussion) 12:55, 7. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Alva2004. Du schreibst: "Die euklidische Transformation hat zwei Aspekte." Ich würde es anders formulieren: Die Bezeichnung "euklidische Transformation" hat zwei Bedeutungen: Die erste wird in der Mathematik "euklidische Abbildung" oder "Bewegung" genannt. Hier geht es um Abbildungen des euklidischen Raums, bei denen also Punke auf andere Punkte abgebildet werden. Die zweite Bedeutung ist: eine spezielle Form der Koordinatentransformation. Hier wird das Koordinatensystem bewegt, die Punkte des Raums bleiben fest. Beide Bedeutungen sind aber mathematische, auch wenn Mathematiker sich eher für die Bewegungen und technische Mechaniker eher für die Koordinatentransformationen interessieren.

Da das Thema des Artikels die zweite Bedeutung ist, würde ich die Bedeutung "Bewegung" gar nicht so prominent ausführen. Auch wenn dies im englischen Artikel en:Euclidean transformation anders gehandhabt wird. Natürlich ist es sinnvoll, den einen Begriff vom andern abzugrenzen. Aber in erster Linie um klarzumachen, worum es hier nicht geht.

Frage: Ist es wirklich sinnvoll, die objektiven Größen in einem Artikel mit dem Namen "euklidische Transformation" zu behandeln? Anders gefragt: Gehört das in denselben Artikel? Und wenn ja, weil die beiden sehr eng zusammenhängen, also euklidische Transformation die Basis für den Begriff "objektive Größe" ist: Ist "euklidische Transformation" dann der richtige Titel? --Digamma (Diskussion) 14:05, 7. Apr. 2014 (CEST)

Meine (bescheidene) Meinung kennst Du: Beidesmal ja! 1) Die physikalischen Aspekte gehören unter diesen Titel analog zur Galilei-Transformation. In der Mechanik heißt das auch "allgemeine Beobachtertransformation" aber so allgemein ist das ja nicht, Relativitätstheoretiker hätten da sicher Einwände, das wäre eher verwirrend. 2) Bei den mathematischen Bedeutungen ist imho ein Übersichtsartikel mit diesem Titel wünschenswert, der in die Inhalte von Isometrie, Bewegung (Mathematik), Orthogonalität#Orthogonale Abbildungen und Koordinatentransformation verzweigt. Wie ich gerade gesehen habe wird in Isometrie bereits auf diesen Artikel verwiesen. Objektive Größen sind auch in der Mathematik von Bedeutung, oder? Abstand, Flächen- und Volumeninhalt, Linien-, Flächen- und Volumenelement... Gegenfrage: Hast Du eine bessere Idee? --Alva2004 (Diskussion) 15:32, 7. Apr. 2014 (CEST)

Um eine bessere Idee zu haben, müsste ich mich besser auskennen. Ich werde mich später weiter unten mal an einem Diskussionsbeitrag dazu versuchen. Hier zunächst nur: Der Verweis in Isometrie auf diesen Artikel war m.E. falsch. Derjenige, der ihn eingefügt hat, wurde möglicherweise durch die frühere Einleitung hier irregeführt. Ich habe den Link umgebogen auf Bewegung (Mathematik). Was den Übersichtsartikel betrifft: Isometrie ist ein Übersichtsartikel. Zu den objektiven Größen in der Mathematik: Abstand ist ja ein Grundbegriff der euklidischen Geometrie. Dass er unabhängig unter euklidischen Abbildungen (bzw. euklidischen Koordinatentransformationen) ist, ist sozusagen die Definition von "euklidisch". Die Invarianz von Flächeninhalt und Volumen sollte vorrangig in den Artikeln zu Flächeninhalt und Volumen dargestellt werden. Da diese Größen aber ohne Bezug auf ein Koordinatensystem definiert werden, ist das nicht unbedingt nötig. Im Artikel über "Bewegungen" sollte aber auch stehen, dass sie neben Abständen, Winkeln und Längen auch Flächeninhalt und Volumen erhalten. Wenn es dort noch nicht steht, kann das gerne ergänzt werden.

Der wesentliche Unterschied zwischen Physik (hier) und Mathematik ist aber, dass die Geometrie keine Zeit kennt. Anders gesprochen: Es gibt einen absoluten Raum. Bewegung ist in der Mathematik nicht relativ, die Geschwindigkeit ist deshalb eine "objektive Größe". Mathematisch gesehen sind die von dir betrachteten Transformationen nicht nur Transformationen des Raums, sondern Transformationen einer Raumzeit, vgl. V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, p. 5. --Digamma (Diskussion) 17:52, 7. Apr. 2014 (CEST)

Punktraum und Vektorraum

Du schreibst:

Zusammenfassend liegt jedem euklidischen Vektorraum eine längentreue Abbildung

${\begin{array}{llll}{\mathcal {V}}:&\mathbb {E} ^{3}\times \mathbb {E} ^{3}&\mapsto &\mathbb {V} ^{3}\\&{\overrightarrow {RS}}&\mapsto &{\vec {v}}\end{array}}$

zu Grunde, die allen parallelen, gleichsinnigen und gleichlangen Verschiebungen ${\overrightarrow {RS}}$ von Punkten $R$ zu Punkten $S$ einen gleichlangen Vektor ${\vec {v}}$ zuordnet, siehe Bild.

Das entspricht nicht dem, wie in der analytischen Geometrie ein euklidischer Punktraum definiert wird. Denn ${\overrightarrow {RS}}$ ist nicht das Punktepaar (R,S), sondern ist schon der diesem Punktepaar zugeordnete Vektor ${\vec {v}}$. Ein Vektor ist aus der Sicht der Geometrie nichts anderes als eben die Verschiebung, die R auf S abbildet. Alternativ wird oft gesagt, dass ein Vektor eine Äquivalenzklasse von gleichgerichteten, gleichlangen parallelen Pfeilen ist. Das kommt aufs selbe heraus. Richtig wäre also

${\begin{array}{llll}{\mathcal {V}}:&\mathbb {E} ^{3}\times \mathbb {E} ^{3}&\mapsto &\mathbb {V} ^{3}\\&(R,S)&\mapsto &{\vec {v}}={\overrightarrow {RS}}\end{array}}$

An dieser Stelle könnte man das einfach so richtigstellen. Aber weiter unten schreibst du:

Ein Beobachter wird meist sowohl einen anderen Ursprung $O'$ als auch eine andere Zuordnung ${\mathcal {V}}':\mathbb {E} ^{3}\times \mathbb {E} ^{3}\mapsto \mathbb {V} ^{3}$ des euklidischen Punktraums zu einem Vektorraum wählen als ein anderer Beobachter.

Das ergibt mit dem eben gesagten keinen Sinn. Ich habe den Eindruck, dass dem eine falsche Vorstellung von der "aktiven Interpretation" zu Grunde liegt, siehe Abschnitt darüber. --Digamma (Diskussion) 21:24, 2. Apr. 2014 (CEST)

Damit hab ich kein Problem, hab selbst mit "Deiner" Darstellung geliebäugelt. Werde das morgen übernehmen. --Alva2004 (Diskussion) 12:52, 3. Apr. 2014 (CEST)

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Könnte der Artikel das? --2003:86:690F:1400:B872:858E:E137:C670 18:00, 29. Jan. 2018 (CET)