Diskussion:Fourier-Transformation

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Partielle Differentialgleichungen

Sollte die Fourier-transformierte Wärmeleitungsgleichung nicht

${\mathcal {F}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)(\xi ,t)=-|\xi |^{2}{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)\ \mathrm {in} \ \mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [$

lauten ? Und ist nicht die inverse Fourier-Transformation von $\exp(-t|\xi |^{2})$ fehlerhaft. Sprich sollte sie nicht

$F(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot y-t|y|^{2}}\mathrm {d} y={\frac {1}{(2t)^{\frac {n}{2}}}}e^{\frac {-|x|^{2}}{4t}}\,$

lauten, sodass man schließlich

$u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-\xi |^{2}}{4t}}}g(\xi )\mathrm {\xi } \,$

erhält?

Außerdem halte ich die Definition der Funktion g als zeitabhängig für äußerst bedenklich, da sie dazu führt, dass die präsentierte Lösung ${\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)=e^{-t|\xi |^{2}}{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)$ der Fourier-transformierten Wärmeleitungsgleichung nur für $t=0$ gilt. --87.156.223.41 10:46, 16. Jan. 2012 (CET)

Ich habe mal ein paar Zeilenumbrüche zur besseren Lesbarkeit eingefügt.

Das mit der Wärmegleichung scheint der Fall zu sein. Ist der Rest auch erledigt? --Martin Thoma 16:44, 18. Nov. 2014 (CET)

k<1

ist da ein kleiner Fehler drin?

Hallo,

mein erster Beitrag...

Ich glaube da ist ein kleiner fehler drin bei:

"Das ist die Fundamentallösung der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung

   u(x,t) = \frac{g(x,t) * F(x,t)}{(2 \pi)^{\frac{n}{2}}} = \frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}} g(\xi) \mathrm{\xi}\,. "

muss meiner Meinung nach ganz am Ende ein "d" vor "\mathrm{\xi}\,." eingefügt werden (also wegen des Integrals). Kann das mal jemand mit mehr Ahnung überprüfen und ggf. editieren?

/Nic --95.61.194.15 00:15, 30. Apr. 2012 (CEST)

Ja, ganz am Ende sollte es "\mathrm{d}\xi" (--> $\mathrm {d} \xi$) statt "\mathrm{\xi}" (--> $\mathrm {\xi }$) heißen. \mathrm ist für griechische Buchstaben wenig sinnvoll. Für TeX-Probleme gibt es die Hilfe-Seite Hilfe:TeX.--FerdiBf (Diskussion) 07:05, 30. Apr. 2012 (CEST)

@FerdiBf: ist das erledigt? --Martin Thoma 16:45, 18. Nov. 2014 (CET)

Ja, das ist erledigt, siehe letzte Formel des Abschnitts "Partielle Differentialgleichungen".--FerdiBf (Diskussion) 19:04, 18. Nov. 2014 (CET)

Abschnitt: Definition

Meiner Ansicht nach macht es keinen Sinn im Abschnitt Definition schon die Rücktransformation anzugeben. Dies wurde bestimmt gemacht, um den Vorfakter abzuhandeln. Dafür sehe ich nun zwei Möglichkeiten. Entweder wir legen einen weiteren Abschnitt mit dem Titel Konventionen nach dem Abschnitt zur Rücktransformation an. Oder wir Diskutieren den Vorfaktor im Abschnitt Definition und Rücktransformation.--Christian1985 (Disk) 13:42, 17. Okt. 2012 (CEST)

Näheres zum "zeitabhängigen Frequenzspektrum"

Es wäre glaube ich schön, wenn es einen weiteren Abschnitt im Artikel gäbe, der auf STFT und Wavelet-Transformation verlinkt, und kurz die Problematik bei der Anwendung der kontinuierlichen Fourier-Transformation auf Zeitsignale, z.B. Audiosignale, erläutert. Wendet man etwa auf ein 10s langes Audiosignal einfach die FT an, erhält man ein "durschnittliches" Frequenzspektrum mit vielen Störeffekten. Neben den hauptsächlich mathematischen Aussagen im Artikel könnte dieser Hinweis vielleicht hilfreich sein, wenn man vom Artikel Frequenzspektrum kommt, der diesen hier verlinkt. Oder wenn man die Fourier-Transformation noch gar nicht kennt, und wissen möchte, wie die FT von aperiodischen Audiosignalen genutzt werden kann, um eine Art momentanes Frequenzspektrum zu definieren. (nicht signierter Beitrag von 84.44.218.165 (Diskussion) 18:51, 13. Feb. 2014 (CET))

Uneinheitliche Benennung der Variablen

Im Abschnitt Fourier-Transformation#Definition wird x als Zeitbereichsvariable und t als Frequenzbereichsvariable benutzt. Das finde ich sehr unglücklich, da in der Physik t häufig als Zeitbereichsvariable Verwendung findet. Außerdem wechseln sich die Bezeichnungen im weiteren Verlauf des Artikels munter ab. Im Abschnitt Fourier-Transformation#Beispiel sind es t und omega, im Abschnitt Fourier-Transformation#Definition_2 sind es dann x und xi. Der Buchstabe f wird teilweise als Bezeichnung für die Funktion verwendet, die transformiert werden soll (z.B. im Abschnitt Fourier-Transformation#Definition), teilweise ist sie die Variable im Frequenzbereich (z.B. Fourier-Transformation#Tabelle_wichtiger_Fourier-Transformations-Paare). Das erschwert das Verständnis erheblich und verwirrt unnötigerweise.

Bevor jemand sich die Mühe macht, den ganzen Artikel umzuschreiben, wäre es natürlich gut, einen Konsens über die Benennung auf der Diskussionsseite zu haben, damit nicht fehlerträchtig und mit viel Mühe alles zigmal hin und her konvertiert und revertiert wird, und damit sich zukünftige Autoren bei der Erweiterung und Verbesserung des Artikels daran orientieren können. Außerdem bräuchten dann nicht alle Änderungen von einer Person in einem Rutsch durchgeführt werden, sondern jeder der gerade Zeit und Lust hat, könnte einen Abschnitt durchsehen und entsprechend der vereinbarten Konvention verbessern.

Das Thema selbst ist zunächst einmal ein mathematisches und geht in seiner Bedeutung weit über die Physik hinaus, was für Variablennamen wie x, xi, etc. sprechen würde. Besonders anschaulich sind andererseits die der Physik entlehnten Beispiele mit Variablen wie t und omega. Eine klare Meinung dazu, welches die beste Benennung ist, habe ich mir bisher nicht bilden können. Dazu müßten sicherlich alle im Artikel angesprochenen Themengebiete berücksichtigt werden, eventuell wären auch verwandte Artikel abzuändern oder zu berücksichtigen, dazu fehlt mir die Übersicht. Daher nur dieser Diskussionsbeitrag aber kein konkreter Vorschlag von mir. --78.53.236.154 20:03, 1. Jun. 2016 (CEST)

Die Kritik ist absolut berechtigt! Aus Sicht der Anwendungen scheinen zunächst $t$ und $\omega$ die gängigsten Bezeichnungen zu sein. Allerdings nur im Eindimensionalen. Im Mehrdimensionalen fände ich $t$ eher verwirrend. Besonders unglücklich finde ich die Kombination von $x$ und $t$. Für allgemeine Betrachtungen, die auch den mehrdimensionalen Fall einschließen, fände ich $x$ und $\xi$ oder, angelehnt an die Physik, $x$ und $k$ (vgl. Wellenvektor) ganz gut. Wenn man es im ganzen Artikel einheitlich haben möchte, wäre ich für eine dieser beiden Varianten. Die Bezeichnung mit $t$ und $\omega$ sollte irgendwo aber zumindest erwähnt werden, weil sie extrem gebräuchlich ist. Diese könnte dann auch in konkreten eindimensionalen Beispielen und in der Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare verwendet werden. Ich bin auch dafür, dass wir uns hier auf eine Variante einigen und es dann in diesem Artikel umsetzen sollten. (Auf benachbarte Artikel würde ich erstmal nicht zu viel Rücksicht nehmen, sonst wird es nie etwas.) --DufterKunde (Diskussion) 00:44, 2. Jun. 2016 (CEST)

Zur Bedeutung und Anwendung

Hallo Mathe-Experten,

ich laufe der Fourier-Transformation sehr oft in der Bildbearbeitung und Signalverarbeitung über den Weg und wollte mal hier nachlesen, was die so kann. Ich denke es wäre total hilfreich, wenn jemand ein paar Sätze (vielleicht in die Einleitung) schreiben würde, was die Stärken (und ggf. Schwächen) der Fourier-transformierten sind. Also Anwendungsbeispiele. Was ist überhaupt interessant an der Zerlegung in ein Spektrum. In der Englischen Version steht jede Menge, aber erstens wollte ich das nicht einfach abschreiben, weil nicht dafür zu wenig davon verstehe und zum anderen ist der Artikel sehr lang...auch Grafiken wären mit Sicherheit sehr Hilfreich, um sie besser erfassen zu können :)

Vielen Dank an euch! (nicht signierter Beitrag von Pauloco (Diskussion | Beiträge) 17:00, 29. Jul 2016 (CEST))

Fehler in Tabelle: Fourier der Rechteckfunktion

Die Fouriertransformation von rect ist meiner Meinung falsch. Zur Überprüfung kann man a=1 bzw. Tau=1 setzen und hiermit vergleichen: https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/baug/ibk/structural-mechanics-dam/education/identmeth/fourier.pdf Das Problem liegt nicht bei sinc bzw. Sa, sondern der Vorfaktor 1/sqrt(2PI) ist zuviel. (nicht signierter Beitrag von 2001:4DD5:70E0:0:35F2:DB03:6307:B7F1 (Diskussion) 17:47, 29. Aug. 2020 (CEST))

Ich habe jetzt noch dutzende andere Tabellen durchgesehen. Anscheinend ist der Eintrag wirklich falsch. (nicht signierter Beitrag von 2001:4DD5:70E0:0:35F2:DB03:6307:B7F1 (Diskussion) 19:22, 29. Aug. 2020 (CEST))

Ich habe herausgefunden, dass die Tabelle auch der Tabelle von wikibooks widerspricht: https://en.wikibooks.org/wiki/Engineering_Tables/Fourier_Transform_Table (nicht signierter Beitrag von 2001:4DD5:70E0:0:FCC3:C31:A763:7E3C (Diskussion) 02:44, 30. Aug. 2020 (CEST))

Mit der in diesem Artikel benutzten Konvention, sowohl für die Hin- als auch für die Rücktransformation jeweils den Vorfaktor 1 / Wurzel(2 * pi) zu verwenden, ist die Formel in der Tabelle schon richtig. Die Tabelle hinter dem ersten Link verwendet stattdessen gar keinen Vorfaktor bei der Hin- und dann 1 / (2 * pi) bei der Rücktransformation. --2003:C9:D724:F790:2D63:C679:4FD:44EC 13:23, 22. Jul. 2021 (CEST)

Anwendungsfall

Da ich im Lemma und dem Link nichts Entsprechendes weiter zu Horn, Klarinette oder Stimmgabel fand, nehm ich es hier raus. Die Umformulierung ist mMn besser erklärend.--Berndt Meyer (Diskussion) 15:56, 14. Okt. 2020 (CEST)

Der Teil Anwendungsfall ist, in einem Artikel, der Großteils aus Formeln besteht, auffallend spezifisch und detailliert. Ich würde ihn gerne wie folgt überarbeiten:

• Das Akustik Beispiel in einen Unterpunkt packen und kürzen (z.B. menschliches Gehör rausnehmen). Dabei den Link auf den Einzelnachweis entfernen (er zeigt auf ein Beispiel einer periodischen Funktion, das soweit ich es beurteilen kann, auf eine Fourier-REIHE für einen Sin/Cos passt - nicht auf eine FT).
• Unterpunkte hinzufügen, die auf die Anwendungsfälle der FFT hinweisen. Dabei klarstellen, dass technische Anwendungen der FT oft über die Verwandten aus der Familie der Fourier-Analysis (nämlich DFT, implementiert als FFT) funktionieren.

Letzteres führt zwar etwas vom Kern-Thema weg. Halte ich aber für sinnvoll, da der Ausdruck "Fourier-Transformation" oft schlampig/falsch als Synonym für DFT/FFT/DCT verwendet wird (z.B. in Sätzen wie "JPEG nutzt die Fourier-Transformation"). Der/die Nicht-Mathematiker(in) landet dann in diesem Artikel und ist nach 2 Formeln "lost" - da kann diese Brücke helfen und zur Klarstellung/Weiterleitung dienen. Zusätzlich könnten man dies in die "Dieser Artikel" Erklärung einbauen. Gibt es hierzu Feedback oder passt das? Dann würde ich das umsetzen? --RalphKink (Diskussion) 17:11, 27. Jul. 2021 (CEST)

Ich finde den Vorschlag gut. Ich habe zumindest mal einen mittelmäßigen Satz in der Einleitung ergänzt mit einem Verweis auf DFT und FFT. --Christian1985 (Disk) 21:45, 27. Jul. 2021 (CEST)

Grenzwert muss erläutert werden.

Tatsächlich kann man mit Fourier überhaupt keine Spektren für aperiodische, sprich Frequenzlose Signale berechnen. Jedoch lässt sich mit einem definierten Grenzwert das reale Spektrum approximieren. Das sollte im Artikel auch für den Laien deutlich sein--188.101.84.157 16:22, 30. Nov. 2020 (CET)

Reskalierung der Abszisse

$({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega \cdot y}\,\mathrm {d} x\;$

$f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega \cdot x}\,\mathrm {d} y\;.$

Ich verstehe, wie man jeweils auf die erste Formel in der Gleichung kommt, aber wie kommt man auf die zweite Formel??—Ilse Ongkim (Diskussion) 10:41, 14. Feb. 2023 (CET)