Diskussion:Grundlagen der Mathematik

Es bleibt dabei: An dieses Thema traut sich ernsthaft niemand ran (ich zzt. auch nicht)!

Das Ergebnis ist verheerend, denn außer dem Hinweis, dass es einen Formalismus gibt, steht eigentlich nichts Verstehbares in dem Artikel.

O.k., der Hinweis auf einen historisch-materialistischen Ansatz war nicht belegt und ist jetzt auch noch rausgeworfen worden. Was aber bleibt?

Bei Platonismus ist schon mal der Satzbau für die Katz.

Intuitionismus kommt nicht vor, hat also offenbar nichts mit Grundlagenfragen zu tun.

Beweistheorie führt auf kurzem Wege in einen Zirkel. Das freilich ist dem Thema angemessen!

Grundlagenfragen sind für Mathematiker offenbar ein hoch emotionales Thema. Ich würde mir wünschen, dass sie sich trotzdem mal dazu äußern könnten.

Zur Zeit überlassen sie das Thema den Philosophen, die verstehn zwar nichts von Mathematik, benennen aber wenigstens die richtigen Stichworte...

-- Peter Steinberg 00:56, 4. Mär. 2007 (CET)

(copypaste vom mathe-portal) ist natürlich ein harter brocken. man könnte den engl. wp-artikel notfalls erstmal herübersetzen. besser wäre aber zb sich an den gleichnamigen britannica artikel zu halten, besser noch an parsons 1967 und neuere literatur. eine gliederung könnte ungefähr so aussehen. wäre schön, wenn jemand dazu kommt! grüße, Ca$e 01:01, 3. Okt. 2007 (CEST)

Das sind zwei Quellen, mit denen man was anfangen kann. Also gut, ich nehme mir erstmal den Artikel aus der englischsprachigen wp-Artikel vor. -- Peter Steinberg 21:15, 4. Okt. 2007 (CEST)

sehr schön, nur zu! auch unter den weblinks ist einiges brauchbares. grüße, Ca$e 21:50, 5. Okt. 2007 (CEST)

Weblinks

Bitte mal anhand von WP:WEB aufräumen (insbesondere WP:WEB#Bezug_zum_Artikelgegenstand). 5 sind zwar keine absolute Grenze, aber die jetzigen 14 sind schlicht zuviel. --Asthma 23:57, 5. Okt. 2007 (CEST)

habe ein paar rausgeworfen. aber: 1. foundations of math ist ein riesenthema. solange der artikel noch nicht besteht, hilft es schon mal, dass man sieht, was da alles dran hängt und sich durchklicken kann. 2. wenn der artikel dann mal besteht und wirklich gut ist, wird er viele bildschirmseiten lang sein. dann fallen einige links nicht mehr so ins gewicht. außerdem sollte man mal andere artikel zu themen der phil of math anlegen. da kann man dann teile der links hin verschieben. solange es das nicht gibt, kann es mittelfristig auch hier mal gebunkert werden meine ich. alternativ nehm ich's halt unter meinen benutzernamensraum. Ca$e 11:52, 6. Okt. 2007 (CEST)

Überschneidung

Zum jetzigen Zeitpunkt ist der Artikel nur eine lückenhafte Doppelung von Philosophie der Mathematik (Realismus, Formalismus, Intuitionismus - Logizismus wurde wohl vergessen). Die Philosophie der Mathematik deckt sicher ein größeres Gebiet ab als es der jetzige Artikel beschreibt, aber ich würde dennoch für einen Redirect plädieren, bis jemand kommt der das Fachwissen hat, zwei gut abgrenzte Artikel zu schreiben. --Tinz 12:02, 6. Okt. 2007 (CEST)

hätte ich auch prinzipiell nichts dagegen, beides hat vor- und nachteile. zt gibts auch weitere überschneidungen mit artikeln unter "siehe auch". kann man langfristig alles mal optimieren. Ca$e 12:26, 6. Okt. 2007 (CEST) nach etwas überlegung scheinen mir die vorteile zu überwiegen. schlage also vor, alles von hier dort zu integrieren und den artikel dann langristig zb nach diesem vorbild zu gliedern, wobei später dann die aktuellen ausdifferenzierten themenfelder ausgebaut werden könnten und man irgendwann dann die foundation-vorschläge wieder in einen extra artikel schieben könnte. Ca$e 13:10, 6. Okt. 2007 (CEST)

Hm, das sind schwierige Fragen, wir sollten gründlich diskutieren und nichts Hoplpahopp machen, sonst gibt's Chaos.

Nachdem ich (mit Ca$es Ermunterung) mit der Übersetzung (und ein wenig auch Ergänzung) von en:Foundations of mathematics angefangen habe, kam ich immer mehr zu der Ansicht, dass das ein ziemlich guter und sachgerechter Artikel ist. Ich wollte diese Arbeit fertig machen, und dann vorschlagen, dass der Artikel im Wesentlichen so bleibt. Einen Ausbau „über viele Bildschirmseiten“ halte ich nicht für sinnvoll, weil das dann notgedrungen starke Überschneidungen mit den verlinkten Artikeln ergäbe. (Die sind allerding gegenwärtig überwiegend selbst sehr verbesserungsbedürftig. Ich meine, man sollte dort Arbeit rein stecken.)

Die starke Überschneidung mit Philosophie der Mathematik finde ich auch sehr unerfreulich. Diesen Artikel hier völlig aufzulösen (zu einem Redirect) erscheint mir aber keinesfalls möglich, weil „Grundlagen der Mathematik“ ja auch ein Sammelbegriff ist für eine Reihe von masthematischen Disziplinen (die am Anfang des Artikels aufgelistet werden), oder jedenfalls für wichtige Aspekte dieser Disziplinen. Die Arbeitsweise in den Grundlagendisziplinen der Mathematik ist halt eine ganz andere als in der Philosophie, die sich mit Mathematik beschäftigt. Natürlich kommt dieser Unterschied in einem Einführungsartikel nicht richtig raus, deshalb kann man sich schon fragen, was der eigentlich soll...

Übrigens gibt es auch noch deutliche Überschneidungen mit Geschichte der Mathematik, denn da haben wir das selbe Thema – aus dem Blickwinkel eines dritten Fachbereichs!

@Logizismus: Der konnte hier rausbleiben, weil er für Grundlagenfragen nur von historischem Interesse ist: Er ist auf kurzem Wege gescheitert. (Damit brauchen wir uns nicht bei der Frage aufhalten, ob er nicht eine Spielart des Platonismus ist...)

Im Augenblick neige ich zu der Ansicht, dass man unseren Artikel stark reduzieren, aber nicht auflösen sollte. Zu Überlegen wäre dann auch, ob nicht Grundlagenkrise der Mathematik (siehe en:Foundations of mathematics#Foundational crisis) ein eigenes Lemma werden sollte. Ich denk weiter darüber nach und bitte um eure Meinung. An der Übersetzung werde ich im Augenblick nicht jedenfalls weiterarbeiten. (Ca$es hat mit dem Edit vom 6.10. ja einen provisorischen Abschluss geschaffen.)

-- Peter Steinberg 15:10, 8. Okt. 2007 (CEST)

Hier mein Vorschlag für einen kurzen Artikel, der nicht in erster Linie aus Doppelungen besteht. Er sollte enthalten:

1. Eine kurze Charakterisierung der drei Grundpositionen, im Umfang nicht viel mehr als dort. Der Formalismus allerdings müsste kurz und knapp in den Zusammenhang des Hilbertprogramms gestellt werden; hierher gehört auch ein Link auf Grundlagenkrise der Mathematik.
2. Eine leicht kommentierte Benennung der mathematischen Disziplinen, die Beiträge zu den Grundlagenfragen leisten. (Im gegenwärtigen Text sind sie schon genannt; Metamathematik fehlt.)

Das Ganze sollte ein kurzer, möglich gut verstehbarer Text werden und keine Punktliste. Was sonst jetzt noch Brauchbares in dem Artikel, sowie in en:foundations of mathematics sollte in Philosophie der Mathematik eingearbeitet werden.

Wenn ihr das für sinnvoll haltet, würde ich mich da an die Arbeit machen – allerdings erst ab 22.10., denn bis dahin bin ich in Urlaub und kann auch die weitere Diskussion nicht verfolgen.

Mit diesem Vorschlag möchte ich nicht ausschließen, dass es später vielleicht doch einmal möglich ist, einen inhaltsvollen und gut zu Philosophie der Mathematik abgegrenzten Artikel zu schreiben. Ich habe ein Buch gefunden (und füge es gleich in die Literaturliste ein), dass ich zur Einarbeitung in das Thema sehr empfehlen kann.

-- Peter Steinberg 23:42, 9. Okt. 2007 (CEST)

Das klingt sinnvoll für mich, ich werde das dann mal beobachten und schauen, ob ich auch bei Kleinigkeiten helfen kann. --Tinz 02:35, 15. Okt. 2007 (CEST)

So, nun hab ichs gewagt und den Artikel umgestaltet. Ich hoffe, es hält eurer kritischen Beurteilung stand. Was IMHO hauptsächlich fehlt, ist eine Verbesserung an den Zielpunkten der zahlreichen Links.

Ich geh aber erst mal an Philosophie der Mathematik und versuche dort einzubauen, was von en:foundations of Mathematiks übrig geblieben ist. Das find ich schwierig, weil ich halt kein Philosoph bin.

Also, schaunmama was im Ganzes dabei rauskommt.-- Peter Steinberg 00:29, 25. Okt. 2007 (CEST)

QS-Vermerk

unter Grundlagen der Mathematik gab das Archiv her: (da das OMA und Anf#nger wohl kaum finden, nehm ich den Vermerk raus)

Der Artikel hat seit einem halben Jahr ein Überarbeiten-Bapperl, der hat aber wohl nix zur Verbesserung eingetragen. Eine solche wäre bei diesem Grundlagen-Artikel (no pun intended) aber wohl wünschenswert. Deswegen spendiere ich noch einen Bapperl und stelle ihn hier mal den Mathematikern anheim. Den Philos sage ich auch noch Bescheid. Gruß, --*Rawk!* Polly want a cracker! 11:33, 1. Okt. 2007 (CEST)

jo danke. ist natürlich ein harter brocken. man könnte den engl. wp-artikel notfalls erstmal herübersetzen. besser wäre aber zb sich an den gleichnamigen britannica artikel zu halten, besser noch an parsons 1967 und neuere literatur. eine gliederung könnte ungefähr so aussehen. wäre schön, wenn jemand dazu kommt! grüße, Ca$e 00:00, 3. Okt. 2007 (CEST)

schlage vor, das ganze erstmal in Philosophie der Mathematik zu integrieren und die aufmerksamkeit auf diesen artikel zu konzentrieren. Ca$e 13:11, 6. Okt. 2007 (CEST)

Ein Überblick über die wichtigsten Axiomein der Mathematik wäre vielleicht auch eine Idee. Also zB Induktionsaxiom, alle Axiome des reellen Körpers, die Kontinuitätshypothese, das Auswahlaxiom.... Oder gibt es eine solche Seite schon? --Christian1985 17:33, 7. Okt. 2007 (CEST)

hmhmhm. gibts glaube ich noch nicht in der deutschen wp. habe aber keinen guten überblick. man könnte in der tat zb in einem abschnitt zur struktur axiomatischer theorien wichtige beispiele anführen, also strukturiert zb zu: euklidische / nichteukl.geom., peano, whitehead/russell, zermelo/fr., gruppenth., ordnungsth., äquivalenzrelationen ... hat zwar soviel nicht mit phil. der math. zu tun, könnte aber nützlich und illustrativ sein. vermutlich abwägungssache. Ca$e 11:48, 8. Okt. 2007 (CEST)

Ein wichtiger Artikel dazu ist Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie. --P. Birken 16:30, 8. Okt. 2007 (CEST)

...aber auch das wäre eher Fundierung der M. als Grundlagen der M.--Hagman 23:24, 8. Okt. 2007 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Peter Steinberg (19:20, 28. Okt. 2007 (CET))

Vorschlag zur Neugestaltung der Seite

(Bei der Literatur bin ich erstmal vom Umfang her ins andere Extrem gegangen; Ergänzungen sind willkommen.)

Die Grundlagen der Mathematik sind einerseits Teil der Mathematik, andererseits bilden sie einen wichtigen Gegenstand erkenntnistheoretischer Reflexion, wenn diese sich mit den allgemeinen Grundlagen der menschlicher Erkenntnisgewinnung befasst. Insofern solche mathematikphilosophischen Reflexionen in der Geschichte mehrfach Einfluss auf die Formulierung der Grundlagen der Mathematik genommen haben, sind diese nicht ausschließlich Teil der Mathematik, sondern liegen in einem Überschneidungsgebiet mit der Philosophie.

Zur Geschichte der Grundlagenfragen

Geht man – wie bis in die Neuzeit hinein üblich – von einer Unterteilung der Mathematik in Arithmetik und Geometrie aus, so kann man die "Grundlagenfrage" stellen, ob die beiden Teile voneinander unabhängige Erkenntnisbereiche sind oder ob einer von beiden der grundlegendere ist, auf den sich der andere zurückführen lässt.

Von den alten Griechen bis in die Neuzeit

In der Mathematik der Antike bis zu den Griechen führte die höhere Anschaulichkeit der Geometrie dazu, dass viele arithmetische Probleme auf geometrischer Grundlage gelöst wurden. So fanden etwa die Pythagoreer um 500 v. Chr. Gesetzmäßigkeiten von Quadratzahlen heraus, indem sie kleine Steinchen („Psephoi“) zu Quadraten legten und die Unterschiede der so entstehenden Quadrate betrachteten.

Gerade weil den Griechen das Geometrische vertrauter war, stellten die Zahlen das größere Faszinosum dar. Die Pythagoreer erkannten, dass die arithmetische Welt der Zahlen gegenüber der geometrischen Welt der Figuren die umfassendere ist, ja sie erklärten die Zahlen in dem Satz „alles ist Zahl“ zur Grundlage der Dinge überhaupt. Trotz des praktischen Vorzugs der Geometrie wurden also in der philosophischen Reflexion die Zahlen zur eigentlichen Grundlage der Mathematik erklärt.

Während die Zahlen nicht so recht zu greifen waren, begann die mathematische Systematisierung der Grundlagen mit der Axiomatisierung der Geometrie. Die um 300 v. Chr. entstandenen „Elemente“ des Euklid sollten bis zum Ende des 19. Jahrhunderts das Paradigma der Grundlegung einer wissenschaftlichen Disziplin schlechthin bleiben. Zweifellos konnte dieses Werk nur unter dem Einfluss des rationalistischen Geistes der griechischen Philosophie geschrieben werden, möglicherweise war Euklid sogar selbst Schüler an Platons Akademie.

Descartes' Einführung des Koordinatensystems, das die Lösung geometrischer Probleme im Rahmen des algebraischen Rechnens ermöglichte, sowie die Erfindung der Differentialrechnung durch Newton und Leibniz bewirkten zu Beginn der Neuzeit zwar große Fortschritte in der Mathematik und verschoben dabei die Gewichte von der Geometrie zur Arithmetik hin. Die Grundlagen der Arithmetik blieben aber weiterhin ebenso ungeklärt wie die ihrer neuen Teildisziplinen, der Algebra und der Analysis.

Arithmetisierung

Insbesondere in der Analysis traten im 18. und frühen 19. Jahrhundert Schwierigkeiten und Unsicherheiten auf, die vom Rechnen mit unendlich kleinen Größen herrührten. So konnte man sich eine Weile nicht darüber einigen, ob jede konvergente Folge stetiger Funktionen wiederum gegen eine stetige Funktion konvergiert oder ob die Grenzfunktion auch unstetig sein kann. Es lagen Beweise für beide Behauptungen vor und es erwies sich als sehr schwierig, in einem der Beweise einen Fehler zu finden. Unübersehbar wurde hierin die Notwendigkeit, die Begriffe und den Umgang mit ihnen zu präzisieren. Im 19. Jahrhundert setzte darum eine bewusste „Arithmetisierung“ der Analysis ein, der unklare Begriff der unendlich kleinen Zahl wurde ersetzt durch die „beliebig kleine Zahl größer Null“, welche gerne mit dem Buchstaben $\varepsilon$ bezeichnet wurde. Diese vor allem von Cauchy und Weierstraß vorangetriebene „Epsilontik“, die die Analysis zu einer Theorie über die reellen Zahlen werden ließ, bedeutete einen Durchbruch für ihre Verlässlichkeit; was blieb, war die Klärung des Begriffs der reellen Zahl bzw. der Menge der reellen Zahlen – abgesehen von der noch in weiter Ferne liegenden Axiomatisierung der Theorie. Dieser nun als eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik geltende Begriff erfuhr seine Klärung in den 70er und 80er Jahren des 19. Jahrhunderts durch Dedekinds Definition der reellen Zahl als Schnitt und Cantors Definition als Äquivalenzklasse konvergenter Folgen, die noch heute gebräuchlich ist. Diese Definitionen setzten allerdings einen allgemeinen Mengenbegriff voraus und damit auch unendliche Mengen – die Vermeidung der Rede von unendlich kleinen Größen wurde also erkauft mittels unendlich großer Objekte: eben Mengen mit unendlich vielen Elementen. Dies trug den genannten Definitionen eine erste philosophisch-konstruktivistische Kritik ein: Kronecker war der Meinung, man müsse die Arithmetisierung noch weiter treiben, um auch das Reden über unendliche Mengen zu vermeiden. In der Tat war Cantors transfinite Mengenlehre ebenso wie Freges Grundgesetze der Arithmetik von den Russellschen Antinomie befallen, welche die Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts in eine Grundlagenkrise stürzte.

Krise

Im Verlauf dieser Krise bildeten sich mehrere mathematikphilosophische Positionen heraus, von denen hier nur deren Auffassung zur Frage nach einer einheitlichen Grundlage der Mathematik dargestellt wird:

Für den Logizismus ist die Grundlage der Mathematik schlicht die Logik (wobei sich herausstellte, dass die Logizisten einen recht weiten Logik-Begriff benutzten, der im heutigen Sinne mengentheoretische Begriffe mit einschloss). Recht sollten die Logizisten behalten, insofern sich das mathematische Schließen als rein logisches Schließen darstellen und begreifen lässt. Eine wichtige Grundlage der Mathematik bilden damit die von der Formalen Logik bereitgestellten Regelsysteme des logischen Schließens, von denen die Prädikatenlogik erster Stufe die wichtigste ist.

Für den Intuitionismus bilden die natürlichen Zahlen die Grundlage. Brouwers Zugang zur Analysis, die sogenannte Wahlfolgentheorie, lässt sich als Durchführung von Kroneckers Forderung nach vollständiger Arithmetisierung und Verzicht auf den Mengenbegriff sehen.

Für den Formalismus ist die Grundlage der Mathematik dagegen kein Gegenstandsbereich, der aus logischen Objekten oder Zahlen besteht, sondern die Grundlage bilden die Axiome der Theorie, in der man sich gerade bewegt, plus Prädikatenlogik. Abzusichern ist diese Grundlage durch den Beweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome. Dieser Beweis sollte nun selbst nicht innerhalb einer formal-axiomatischen Theorie geführt werden, da er sonst am Ende zirkulär würde, sondern innerhalb der (intuitiv gegebenen) endlichen Mathematik der natürlichen Zahlen, an deren Widerspruchsfreiheit nicht zu zweifeln ist. Die natürlichen Zahlen bilden somit für den Formalismus weniger die Grundlage der Mathematik wie für den Intuitionismus, sondern vielmehr einen Überbau, eine Meta-Mathematik, wie der Formalist Hilbert sie nannte.

Heutige Lage

Die formalistische Position hat sich akademisch weitgehend durchgesetzt und zu neuen Teildisziplinen der Mathematik geführt, die von mathematischer Seite die Grundlagen behandeln und üblicherweise unter der Bezeichnung mathematische Logik zusammengefasst werden: Mengenlehre, Beweistheorie, Rekursionstheorie und Modelltheorie.

Vom formalistischen Standpunkt aus kann die Suche nach der Grundlage der Mathematik nur bedeuten, eine axiomatische Theorie zu finden, in der alle anderen mathematischen Theorien enthalten sind, in der sich also alle Begriffe der Mathematik definieren und alle Sätze beweisen lassen. Nach einer unter Mathematikern weitverbreiteten Meinung ist diese Grundlage mit dem Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gefunden. Es werden aber auch weiterhin andere Mengenlehren als mögliche Grundlage untersucht. Und es wird nach wie vor der Frage nachgegangen, ob sich Kroneckers Forderung nicht doch erfüllen lässt, ob statt einer ausladend mengentheoretische nicht auch eine viel schmalere nur arithmetische Grundlage genügen könnte, um die gesamte Mathematik darauf aufzubauen. Solche Untersuchungen führt die Beweistheorie, während die Rekursiontheorie wesentlich den Überbau der endlichen Mathematik untersucht und möglichst feine Methoden bereitstellt, mit denen die Beweistheoretiker dann ihre Widerspruchsfreiheitsbeweise führen können. Die Modelltheorie schließlich befasst sich mit der Frage, ob eine bestimmte axiomatische Theorie stärker ist als eine andere, ob sie ein „Modell“ für diese liefert. So hat sich z.B. der Eindruck der alten Griechen bestätigt, dass die Arithmetik viel stärker ist als die Geometrie: Der dreidimensionale Zahlenraum, wie ihn Descartes durch sein Koordinatensystem eingeführt hat, ist ein Modell unseres geometrischen Raumes, alle Sätze der Geometrie lassen auch im Zahlenraum, also rechnerisch-algebraisch, beweisen.

Literatur

Becker, Oskar: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Suhrkamp, Frankfurt a. M. 1975

--Muffocks 14:49, 20. Mär. 2008 (CET)

Zu Muffocks Vorschlag

Den Vorschlag finde ich verblüffend, kenntnisreich und interessant. Allerdings auch befremdlich, weil der Ausgangspunkt bei den alten Griechen und der Leitgedanke der Arithmetisierung nicht gerade das sind, was man(?) bei dem Lemma erwartet. Ich beschränke mich erstmal darauf, die Gliederung ins Lot zu bringen und denke weiter über das Thema nach... -- Peter Steinberg 00:40, 3. Apr. 2008 (CEST)

Danke für die Rückmeldung! Das Verhältnis von Geometrie und Arithmetik fände ich als Einstieg insofern sinnvoll, als davon auch Nicht-Mathematiker einen Begriff haben. Eine historische Heranführung finde ich gerade bei komplexen Themen oder Begrifflichkeiten hilfreich, auch aus didaktischen Gründen, und vermisse sie häufig in Lexika. Euklid ist m.E. angesichts des Einflusses der "Elemente" unverzichtbar, die Psephoi-Geschichte hingegen könnte man weglassen. Die Arithmetisierung ist in der Tat ein wesentlicher Leitgedanke. Was erwartet "man" denn bei dem Lemma? --Muffocks 23:16, 6. Apr. 2008 (CEST)

- Dass die Grundlagenkrise und ihre verschiedenen Positionen im Zentrum stehen. Wahrscheinlich ist "man" da aber in erster Linie mal ich ;-). Im Ernst finde ich deinen Versuch inzwischen sehr viel besser als das, was jetzt dort steht oder jemals vorher da gestanden hat. Ich schlage vor, dass du ihn in den Artikelraum kopierst und den bisherigen Text dadurch ersetzt. Über Einzelheiten, wo ich anderer Ansicht bin, können wir dann immer noch reden. -- Peter Steinberg 22:02, 14. Apr. 2008 (CEST)