Diskussion:Kettenbruch

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Überarbeitung 08.12.2009

Als Vorbereitung für die Bearbeitung von Diophantische Approximation habe ich diesen Artikel an folgenden Stellen überarbeitet (weitere Pläne durch → markiert):

• Im Abschnitt „Definition“ benötigen wir auch $b_{0}$, also den ganzzahligen Anteil, da dies später benutzt wird.
• Statt „Sequenz von Funktionen“ habe ich „Formelle Definition“ geschrieben. Diesen Abschnitt könnte man noch überarbeiten.
• → Spätestens am Ende dieses Abschnitts müsste was über Konvergenz gesagt werden! Nicht erst ganz am Ende des Artikels.
• → Der Beweis für Irrationalität geht so wohl nicht (was soll $u_{0}/v_{0}$ sein, wenn es sich um einen nicht-abbrechenden Kettenbruch handelt?).
• „Periodische Kettenbrüche“: etwas umformuliert (b statt x).
• Beispiele: $\Phi$ eingefügt. Nochmal drüberschauen, ob das so geht.
• Bei „nobler Zahl“ noch einen Satz hinzugefügt.
• „Chintschin-Konstante“: Bemerkung über Nullmenge hinzugefügt.
• Nächster Abschnitt: etwas umformuliert
• → Konvergenz: gibt es andere Möglichkeiten, dass $f_{n}$ nicht konvergiert, als die Unbeschränkheit? Das Thema muss sowieso nach vorn.
• „Äquivalente Kettenbrüche“: Am Ende des Abschnitts habe ich einen Satz hinzugefügt. („Daher lässt sich ein allgemeiner Kettenbruch umrechnen in einen regulären.“)
• „Rationale und irrationale Zahlen“: drei kleinere Änderungen und ein Link eingefügt.
• Literatur: Bei Chintschin die englische Version seines Buchs hinzugefügt.

Weitere Pläne:

• →Bilder? Siehe französische Seite. Man könnte wenigstens ein Porträt haben, z.B. von Euler oder Lagrange.
• →Geometrische Darstellungen: a) die Teilungsdarstellung bei einem Rechteck, siehe französische Seite. Das ist nicht so schwer, da man von dort Material (Graphiken) nehmen könnte. b) Die geometrische Methode von Felix Klein: „Über eine geometrische Auffassung der gewöhnlichen Kettenbruchentwicklung“.
• Im aktuellen Artikel fehlt fast alles über Approximationseigenschaften der Näherungsbrüche. Das könnte man auch noch hier einfügen, in eigenen Artikel oder aber in Diophantische Approximation tun.

-- KurtSchwitters 15:02, 8. Dez. 2009 (CET)

Vorschläge für weitere Überarbeitung

• Es genügt, hauptsächlich reguläre Kettenbrüche zu betrachten. In der Einleitung müssen nicht allgemeinere Kettenbrüche erwähnt werden.
• Bei der Definition sollte man mit endlichen Kettenbrüchen beginnen. Dafür entwickelt man den Formalismus, so dass dieser für unendliche Kettenbrüche und die Konvergenzbetrachtung zur Verfügung steht.
• Die Approximationseigenschaften der Näherungsbrüche und der Nebennäherungsbrüche sollen erwähnt werden. Vertieft kann man sie in Diophantische Approximation behandeln.
• Geometrische Darstellungen: siehe oben
• Periodische Kettenbrüche: hier auch einen Verweis auf Pellsche Gleichung einfügen
• Mir scheint auch eine Umordnung der Abschnitte nötig zu sein. Die beste Reihenfolge können wir hier diskutieren.

-- KurtSchwitters 15:31, 9. Dez. 2009 (CET)

Liste der (größeren) inhaltlichen Änderungen

Zur Vorbereitung der Überarbeitung bin ich die Historie durchgegangen und habe die wichtigsten Änderungen und ihre Autoren aufgelistet.

Start im April/Mai 2004: IP, Arbol01, Ishka

endliche/unendliche, periodische/nicht-periodische Kettenbrüche, Beispiele: Wurzel aus 2, goldener Schnitt, e und pi

Juli 2004: Arbol01, SirJective

euklidischer Algorithmus, Beispiel 13/5, dritte Wurzel aus 2 (Beispiel für algebraische Zahl mit nicht-periodischer Kettenbruchentwicklung)

Januar 2005: Taxiarchos228

Historie: Huygens, Schaltjahre, Chinesen und pi

April 2005: Wuzel, MKI, Marc van Woerkom

periodischer Kettenbruch -> Lösung quadratischer Gleichung, nicht-regulärer Kettenbruch für pi, Faktorisierungsverfahren, Literatur: Perron

Juni 2005: Nol Aders

rationale Näherungen (in Abschnitt "Anwendungen")

Oktober 2005: LutzL

Vincent (Nullstellen von Polynomen)

April 2006: Zooloo, Stefan Birkner

noble Zahlen, Schreibweise [a;b,c,...] von Perron

Juni 2006: Wuzel

Wachstum der Teilnenner-Folge und Liouvillesche Zahlen

August 2006: IP

Allgemeine Kettenbrüche

August 2007: Tobias Bergemann

Umordnung von Abschnitten

November 2007: Askanius

Teilzähler und -nenner, Überführung von nicht-regulären in reguläre K., Möbiustransformationen für Definition (nach Henrici), weitere Notationen eingeführt, Konvergenz (Abschnitt "Auswertung und Konvergenz"), Aufsteigende/absteigende Methode, Konvergenzsatz für reguläre Kettenbrüche (Summe der Teilnenner muss divergieren), Beweis, dass unendliche reguläre Kettenbrüch irrationale Zahlen darstellen, Überarbeitung "Historie" (Euler, Brouncker), Lamber und Irrationalität von pi, Literatur, Periodische Kettenbrüche überarbeitet, Entwicklungsalgorithmus (auch Pseudocode und Python)

Dezember 2007: LutzL

Korrektur bei periodischen Kettenbrüchen

Januar 2008: IP 87.160.82.213

Resolventen-Entwicklung

Mai 2008: Wuzel

Überarbeitung der Beispiele Wurzel 2 und 3

September 2008: Stefan Birkner

Kettenbruchalgorithmus: umformuliert und (Pseudo-, Python-) Code gelöscht, "Geschichte" überarbeitet, Moritz Abraham Stern eingefügt

Januar 2009: IP

Satz von Lochs

April 2009: Matthias M.

Link zu Wikibooks|Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche. Dort sind z.B. die Kettenbrüche für e^(2/n) angegeben.

Mai 2009: Xario

Ergänzung zu Satz von Lochs

August 2009: Ljfa-ag

Khinchin-Konstante

Dezember 2009: KurtSchwitters, TeesJ

Überarbeitungen, Literatur

Künftige Gliederung

Meine grundsätzliche Idee zur künftigen Gliederung ist (als Referenz zur Strukturierung habe ich Hardy/Wright: An introduction to the theory of numbers genommen):

• in der Einleitung nur reguläre Kettenbrüche
• Geschichte
• Definition und weitere Eigenschaften endlicher Kettenbrüche, so wie Hardy/Wright, Kapitel 10.1 - 10.7. Hier auch die geometrische Darstellung einfügen.
• Unendliche Kettenbrüche (insbesondere Konvergenz), so wie Hardy/Wright, Kapitel 10.8 - 10.15

Weitere Bemerkungen:

• Eigener Abschnitt für Notation: hier die unterschiedlichen Notationen sammeln, die Darstellung mit K_{i=1}^\infty stammt wohl von Gauss, aber dafür habe ich keine Quelle.
• Die Definition mit Möbiustransformationen (nach Henrici) weniger formell/oder anders darstellen. Möglicherweise benötigt man gar keine formellere Definition.
• Den Abschnitt „Eine Resolventen-Entwicklung“ von IP 87.160.82.213 würde ich als zu speziell streichen.
• Satz von Lochs und Khintchine-Konstante am Ende des Artikels zusammenfassen. Im englischen Artikel gibt es dafür den Abschnitt „Typical continued fractions“.

Das Thema Approximation von irrationalen durch rationale Zahlen mit Hilfe der Näherungsbrüche und alles, was mit Liouville-Zahlen und Transzendenz zusammenhängt (also Kapitel 11 in Hardy/Wright), würde ich dann vertieft in dem Artikel Diophantische Approximation behandeln. Bitte weitere Vorschläge hinzufügen. -- KurtSchwitters 15:08, 5. Mär. 2010 (CET)

KALP-Diskussion vom 23. März - 12. April 2010 (Lesenswert)

In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch ein Ausdruck der Form

$b_{0}+{\cfrac {1}{b_{1}+{\cfrac {1}{b_{2}+{\cfrac {1}{b_{3}+{\cfrac {1}{b_{4}+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}$

mit einer ganzen Zahl b₀ und positiven ganze Zahlen b₁, b₂,...

Die Theorie der Kettenbrüche ist ein wichtiges Thema der Zahlentheorie. Kettenbrüche werden auch in Algebra, Topologie, Kryptographie usw. verwendet. Meine Überarbeitung wurde motiviert durch den Abschnitt über Approximierbarkeit im Artikel „Goldener Schnitt“ (siehe Goldener Schnitt#Approximationseigenschaften_der_Goldenen_Zahl), bei dem ich im Dezember 2009 mitgearbeitet hatte. Nun ist Kettenbruch ein lesenswerter Artikel. Was denkt Ihr? -- KurtSchwitters 10:43, 23. Mär. 2010 (CET)

•  Abwartend Sorry, aber die Einleitung erschlägt die OmA gleich. Meinermeinung nach fällt hier der Wikipedia:Laientest negativ aus, die Einleitung muss zwinged Allgemein verständlicher werden. In dem Zustand ist eine Auszeichnung meiner Meinung nach Aussichtslos. -- Bobo11 10:59, 23. Mär. 2010 (CET)

PS. Der Rest ist durchaus lesenwert, aber auch bei einem Lesenwerten ist eine allgemein verständliche Einleitung PFLICHT. Bobo11 11:29, 23. Mär. 2010 (CET)

Richtig zufriden bin ich mit der Einleitung noch immer nicht, OmA gerecht ist die immer noch nicht, aber zumindest erschlägt sie den Leser nicht mehr. Damits für den Auswerter bischen klarer wird wechsle ich mal auf  Neutral, denn gegen ein lesenswert bin ich eigentlich nicht mehr, aber eben auch nicht dafür. Bobo11 12:20, 12. Apr. 2010 (CEST)

• Puh, Mathematik haben wir hier selten. Wahrscheinlich weil es so schwierig ist, diese Thematik Oma-gerecht aufzubereiten. Ich selbst bin bei dem Artikel nur bis zur Definition gekommen und anschließend ausgestiegen, weil das Thema einfach zu anstrengend ist. Der Artikel versucht aber, die Thematik laiengerecht zu vermitteln und wenn man sich anstrengt kann man es auch verstehen. Sehr schön finde ich die Bebilderung, besonders die Ausschnitte aus den Originalwerken, und die Bemerkungen zur Literatur am Ende. Einziger Kritikpunkt ist für mich die Einleitung: Die dort genannten Beispiele gehören für mich nicht in die Einleitung, da sie den Gegenstand des Artikels bereits erklären und die Einleitung unnötig aufblähen. Fachliche Korrektheit des Artikels vorausgesetzt finde ich ihn  Lesenswert.--Knut.C 11:08, 23. Mär. 2010 (CET)

• Ich stimme Bobo11 zu. Da werde ich 50 Jahre älter und bin OMA... und verstehe Bahnhof. --SpiegelLeser 11:09, 23. Mär. 2010 (CET) Nun  Lesenswert, ich verstehe zwar immer noch nur die Hälfte, aber ich will die Autoren nicht für meine Unfähigkeit in Mathe bestrafen. ^^ Ist immerhin verständlicher geworden, vor allem die Einleitung. --SpiegelLeser 10:15, 12. Apr. 2010 (CEST)

•  Lesenswert.. also Lesenswert isser.. aber dadurch, dass Mathematik für Laien eh schwer zu verstehen ist, ist es eh so ne Sache das Ding auf exzellent zu puschen. Die Einleitung könnte sich vielleicht erst einmal mit einer besseren laienverständlichen Erklärung des Kettenbruchs befassen, ehe es an Beispiele geht.. Didaktisch ist aber die Reihenfolge gut erarbeitet.. wie sieht ein Kettenbruch aus.. und wie ist dieser mit einer Symbolik zu kennzeichnen.. aber in die Einleitung würde ich es nicht packen.--Cum Deo 12:45, 23. Mär. 2010 (CET)

•  Abwartend; die Einleitung muss überarbeitet werden, sonst versteht das kaum einer. --Morten Haan 13:36, 23. Mär. 2010 (CET)
  •  Lesenswert ist jetzt besser verständlich. --Morten Haan 22:11, 6. Apr. 2010 (CEST)
•  Abwartend: Den ersten Satz finde ich ganz gut, man sieht gleich, was ein Kettenbruch ist. Dann könnten ein paar erklärende Worte ergänzt werden, bevor gleich eine Annäherung zur Wurzel von 2 folgt.
  • Ich finde aber, dass die ...-Punkte inflationär verwendet werden und die Definition dadurch nicht sehr sauber ist. Wozu führt man den Kettenbruch bis zum $b_{4}$, wenn sich ab $b_{1}$ schon alles wiederholt? Bedeuten die $\ddots$ eine Auslassung oder das unendliche Fortlaufen? Ich nehme an letzteres, anschließend wird dann aber in Worten schon ab $b_{2}$ mit ... abgekürzt, hier sind es gegenüber der Grafik also auch Auslassungspunkte (semantisch vermischt mit unendlichem Fortlaufen). Dass die Punkte unendliches Fortlaufen bedeuten, sollte erwähnt werden, ansonsten fragt man sich, was "nach endlich vielen Gliedern abbrechen" bedeutet. Auch das Wort Glied könnte etwas klarstellender, äh, vorgestellt werden.
  • Und warum ist gleich im zweiten Satz des Geschichts-Kapitels die Rede von "Anwendungen sind"? Es geht doch um die Vergangenheit. Die Punkte "Schaltjahr" und "Zeitrechnungstafel" sollten erläutert werden und historisch eingeordnet werden (sonst haben sie im Geschichts-Kapitel nichts verloren). Die drei Punkte von Eulers Entdeckungen sollten lieber Fließtext sein. Sind diese Vermutungen auch bewiesen worden? Von Euler?
  • Spätestens im Abschnitt Definition sollten endliche Kettenbrüche formal definiert werden, nicht unter Verwendung des nicht definierten Begriffs Glied. Weshalb genügt es oft, reguläre Kettenbrüche zu betrachten – wann genügt es nicht?
  • Wieso wird die Goldene Zahl (sollte eigentlich auf Goldener Schnitt verweisen) als Kettenwurzel dargestellt, wenn es im Artikel um Kettenbrüche geht? Wenn schon Goldener Schnitt, dann vielleicht die Eigenschaft, dass $\Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}$, was zu beliebig langen Kettenbrüchen fortgeführt werden kann.
  • Ich kenne mich hier mit Formelsetzen nicht so aus, aber müsste es nicht etwas ähnlich bequemes wie \equation geben, anstatt "Gleichung (1)" per Hand anzufügen? (Kurze Suche: ja, gibt es – http://de.wikipedia.org/wiki/Vorlage:NumBlk)
  • Außerdem gibt es kleinere typografische Mängel, zum Beispiel viermal - statt – als Gedankenstrich und des öfteren auch dasselbe - statt − als Minus.

Kann ansonsten lesenswert sein. --Zahnradzacken 15:22, 23. Mär. 2010 (CET)

•  keine Auszeichnung Zwei Hauptgründe:
  • Wie schon angemerkt, werden (unendliche) Kettenbrüche überhaupt nicht formal definiert. Das darf aus meiner Sicht in einem Matheartikel auf keinen Fall fehlen.
  • Der Artikel geht nur auf Anwendungen in der Zahlentheorie ein. "Modernere" Anwendungen wie in der Numerik und der Signalverarbeitung kommen überhaupt nicht vor. Auch die im letzten Satz der Einleitung angekündigten Verwendungen werden später mit keinem Wort mehr erwähnt.

Der Artikel sollte aus meiner Sicht viel mehr eine allgemeine Übersicht über das ganze Themengebiet geben und sich nicht so sehr in Spezialfragen und -formeln aus der Zahlentheorie verlieren. Damit würde sicher auch die schon angesprochene mangelnde Laienverständlichkeit verbessert werden. --91.13.188.23 21:55, 23. Mär. 2010 (CET)

Zum Vergleich (Oma-Test) hier mal der Kettenbruch-Eintrag aus Meyers Kleinem Konversationslexikon von 1907 (mit ein paar kleineren Anpassungen von mir): Meyers 1907. Der dortige Satz „Der Kettenbruch ist also, von der ganzen Zahl $b_{0}$ abgesehen, ein Bruch dessen Zähler eine ganze Zahl $a_{1}$, dessen Nenner aber die Summe aus einer ganzen Zahl $b_{1}$ und einem Bruch ${\frac {a_{2}}{b_{2}+\ldots }}$ von derselben Bildungsweise ist.“ scheint mir Oma-tauglich zu sein. Was denkt Ihr? Vielen Dank jedenfalls schon einmal für die Anregungen. -- KurtSchwitters 14:47, 26. Mär. 2010 (CET)

@KurtSchwitters, wäre vermutlich besser. Einfach gleich nach dem ersten Satz mit einem schwer verstädlichen Beispiel zu kommen, ist sehr schlecht. Da wird die OmA gleich vom Laster überfahren und kann sich nicht mal die Autonummer merken. Ich weis, es ist ein schwierg, das bei so einem Thema einigermassen allgemein verständliches hin zu krigen. Aber eine Einleitung mit Beispiel wie jetz gebraucht wird, hinterläst einfach den Eindruck, dass man sich gar nicht die Mühe gemacht hat, denn allfäligen Leser auf seinem «normal-Schulwissen-Niveau» abholen zu wollen. Auch das es drei Typen von Kettenbrüchen gibt kommt zuwenig deutlich aus der Einleitung hervor. Bobo11 12:04, 27. Mär. 2010 (CET)

Hallo Kurt, ich glaube es wäre sinnvoller gewesen, erstmal ein Wikipedia:Review zu machen. Die Einleitung ist so nicht gut gelungen, dort steht nicht kompakt das wesentliche. Die Literatur sollte deutlich gekürzt werde, das Siehe auch gehört nicht in einen lesenswerten Artikel. Die Nennung der ganzen Sätze ist IMHO kein guter Stil, statt dessen sollten nur die Aussagen da stehen, dann liest sich ein Artikel nämlich wesentlich besser. Aktuelle Anwendungen fehlen komplett. Ansonsten ist der Artikel durch die Überarbeitungen wirklich dramatisch besser geworden, ich glaube aber, dass Du etwas zu früh in die Lesenswert-Kandidatur gehst und würde wie gesagt ein Review vorher begrüßen. --P. Birken 16:43, 27. Mär. 2010 (CET)

• Tendenz lesenswert. Ansonsten schließe ich mich in Teilen den Kommentar von P. Birken an. Ein vorheriger Testlauf durch die Review oder auch einfach durch eine Diskussion im Fachportal ist sicherlich von Vorteil, als ihn hier direkt zur Abstimmung zu stellen.--Kmhkmh 17:12, 27. Mär. 2010 (CET)

Ein kleiner Hinweis: Es ist wirklich keine gute Idee, für Bilder von Formeln JPG-Format zu verwenden. Das gleiche gilt für Vorlagen wie z. B. den Euler-Text. PNG oder GIF dürfte wesentlich bessere Ergebnisse liefern. Dann schaut das nicht so zermatscht aus. Noch besser (aber aufwändig) wäre evtl. SVG. --WolfgangRieger 17:37, 27. Mär. 2010 (CET)

• Aus meiner Sicht ein knappes  Lesenswert. Knapp, da die dzt. Einleitung etwas problematisch/holprig ist und so eventuell Leser eher verschreckt (auch aus den Kommentaren hier zu bemerken).--wdwd 23:03, 28. Mär. 2010 (CEST)

Ich habe folgende Dinge überarbeitet: Einleitung Oma-freundlicher, Formeln mit Nummern, Kettenwurzel weg, Literatur gekürzt, Definitionen präziser. Ich denke, dass viele Leser den Artikel Kettenbruch aufrufen, wenn sie Kettenbrüche in den Artikeln über Pi, die eulersche Zahl oder die goldene Zahl sehen. Daher finde ich es gut, wenn die Notation [3;7,15,…] schon in der Einleitung vorkommt (da diese ja auch in den genannten Artikeln verwendet wird). Weitere größere Änderungen müssten wohl erst auf der Diskussionsseite besprochen werden (zum Beispiel das Verhältnis zu den Gebieten, in denen Kettenbrüche angewendet werden). Um die Graphikformate kümmere ich mich auch, geht aber nicht sofort. -- KurtSchwitters 15:20, 29. Mär. 2010 (CEST)

Ich sehe die Überarbeitung als eine Verbesserung, finde aber den zweiten Satz schon nicht mehr OMA-freundlich. Dass Kettenbrüche zunächst als unendlich definiert werden, sollte irgendwo explizit genannt werden. Um die Grafiken kann ich mich auch kümmern, geht zwar auch nicht flott, aber vor allem mangels Commons-Erfahrung (und das muss ja mal ein Ende haben ;)).--Zahnradzacken 16:13, 29. Mär. 2010 (CEST)

Ich denke weiter über die Oma-Freundlichkeit der Einleitung nach. Der Bezug zu anderen Darstellungen reeller Zahlen ist wahrscheinlich ganz gut, aber vielleicht sollte man sich auf das Dezimalsystem beschränken. Es muss aber gesagt werden, dass man für die Variablen ganze Zahlen einsetzt. Das macht die Formulierung wieder länger und komplizierter. -- KurtSchwitters 16:37, 29. Mär. 2010 (CEST)

Eine ordentliche Definition müsste wohl analog zum Begriff Reihe (Mathematik) aufgebaut sein. Also erst eine (rekursive) Definition endlicher Kettenbrüche und anschließend unendliche Kettenbrüche als Folge von "Partialkettenbrüchen". Ein Kettenbruch heißt dann konvergent, wenn diese Folge konvergiert.--79.230.89.80 17:57, 29. Mär. 2010 (CEST)

• Gleich das erste, was ich testweise gesucht habe, wird gar nicht erwähnt: Konvergenzkriterium von Worpitzky 1865 und Pringsheim 1898, siehe zum Beispiel [1]. --91.32.76.38 17:52, 29. Mär. 2010 (CEST)

Aufteilung? Durch diese Diskussion wird jedenfalls klar, dass der Artikelname „Kettenbruch“ nicht zum derzeitigen Inhalt passt. Der aktuelle Inhalt würde besser beschrieben durch „Regulärer Kettenbruch“. Da Kettenbrüche in vielen Gebieten der Mathematik auftauchen, würde nach einer möglichen Aufteilung des Artikels der Hauptartikel „Kettenbruch“ die allgemeine Definition und die Geschichte enthalten, sowie die Ausblicke in alle Anwendungsgebiete. Im Abschnitt Zahlentheorie würde dann auf „Regulärer Kettenbruch“ verwiesen. Dafür würden wir aber Experten für die Gebiete Numerik und Funktionentheorie brauchen, da ich diese Abschnitte nicht selbst schreiben kann (zu den Themen Zahlentheorie, Algebra, algebraische Geometrie und Topologie könnte ich etwas beitragen). Realistisch kann die Lesenswert-Kandidatur sich also nur auf den zahlentheoretischen Aspekt beziehen. Insbesondere kann man nicht noch Informationen über das erwähnte Konvergenzkriterium hinzufügen, da es aus dem funktionentheoretischen Teil stammt. -- KurtSchwitters 16:22, 30. Mär. 2010 (CEST)

Bitte nochmal den Punkt Oma-Freundlichkeit der Einleitung prüfen (wurde erneut überarbeitet). Das Thema „Präzise Definitionen“ zum Beispiel von 79.230.89.80 (Definition im endlichen Fall präzisieren und im unendlichen Fall als Folge von Partialkettenbrüchen (das sind die Näherungsbrüche)) ist jetzt so gelöst, wie vorgeschlagen. -- KurtSchwitters 11:31, 31. Mär. 2010 (CEST)

Hallo, als Hilfe für die Auswerter gebe ich eine Zusammenfassung der Abstimmung.

• Keine Auszeichung gab es einmal, und zwar von 91.13.188.23
• Abwartend gab es viermal dreimal (Bobo11, SpiegelLeser, Morten Haan, Zahnradzacken) und zwar meist mit der Begründung, dass die Einleitung nicht Oma-tauglich war. Bobo11 fand den Rest lesenswert und Zahnradzacken hat mehrere Kritikpunkte angesprochen und gesagt „kann ansonsten lesenswert sein“.
• Lesenswert gab es dreimal viermal: Knut. C, Cum Deo, einmal „knapp“ (wegen Einleitung): wdwd. Außerdem „Tendenz lesenswert“ von Kmhkmh. Hab von Abwartend in lesenswert geändert. --Morten Haan 22:11, 6. Apr. 2010 (CEST)
• es wurde auch erwähnt, dass ein Review sinnvoll gewesen wäre (P. Birken, Kmhkmh).

Mein Resume ist: die Einleitung ist jetzt leicht verständlich. Die Definitionen sind sowohl verständlich als auch präzise. Man kann aber noch weiter an ihnen feilen. Der wichtigste offene Kritikpunkt dürfte sein, dass der Artikel eigentlich „Regulärer Kettenbruch“ heißen müsste, damit der Titel zum Inhalt passt. -- KurtSchwitters 12:04, 6. Apr. 2010 (CEST)

Das Portal:Mathematik wurde von Benutzer:KaukOr um eine Stellungnahme gebeten, ich habe die Abwartend-Votanten gerade um eine Überprüfung der Änderungen bei ihren Kritikpunkten und ein kurzes Statement zu gebeten. Insofern solten wir mit der Auswertung noch den Tag abwarten. EA fällt ohnehin weg, Lemmaänderung steht nicht zur Abstimmung. --Vux 05:26, 12. Apr. 2010 (CEST)

also ich ändere meine Einschätzung von "tendenz lesenswert", dann mal in "lesenswert" um.--Kmhkmh 13:28, 12. Apr. 2010 (CEST)

• Da hat sich etliches in Sachen Übersichtlichkeit getan daher  Lesenswert --Succu 16:10, 12. Apr. 2010 (CEST)
• Am liebsten würde ich mein Votum bei abwartend belassen, weil mich noch ein paar Kleinigkeiten stören, die aber überwiegend schnell beseitigt werden könnten. Da ich nicht vom Fach bin, kann ich die Worpitzky-Lücke nicht beurteilen, aber lesenswerte Artikel dürfen ja durchaus Lücken enthalten. Deshalb nenne ich kurz die Baustellen und bleibe ansonsten  Neutral. Nun die Mängel: Der Satz über Kettenbrüche als Zahlensystem in der Einleitung ist für mich unverständlich, "dienen nicht zum Rechnen" klingt mir zu pauschal, unendliche Kettenbrüche werden in der Definition nicht als solche bezeichnet (später aber schon, muss also vorher definiert werden), Abschnitt "Darstellung als Iteration von Abbildungen" ist für mich unverständlich und muss laienverständlicher werden. --Zahnradzacken 16:31, 12. Apr. 2010 (CEST)

Der Artikel in dieser Version ist Lesenswert. --Vux 14:15, 13. Apr. 2010 (CEST)

Gauß-Kusmin

Die Formel $\textstyle P(a_{n}=k)=-\log _{2}{\bigl (}1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}{\bigr )}$, siehe MathWorld ([2]), für die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zahl $k$ auftritt, evtl. mit Beispielen (Teilnenner 1 etwa 41,5 %, 2 etwa 17 %, 3 etwa 9,3 %), wäre eine vermutlich laienverständliche Ergänzung. Soweit ich sehe, wird bisher nur in einer Anmerkung der "Satz von Gauß-Kusmin" erwähnt. --91.32.108.122 16:25, 4. Mai 2010 (CEST)

Man könnte einen eigenen Artikel dazu machen und hier darauf verweisen, oder einen Unterabschnitt zu diesem Thema. Was bevorzugst Du? In der englischen Wikipedia gibt es einen eigenen Artikel dazu: [3]. -- KurtSchwitters 18:46, 4. Mai 2010 (CEST)

Wenn jemand so fleißig ist, einen eigenen Artikel zu schreiben, hätte jedenfalls ich nichts dagegen. Der Brief von Gauß ist übrigens in der Gesamtausgabe enthalten: [4] --91.32.108.122 22:32, 4. Mai 2010 (CEST)

Das könnte man auch gleich zum Anlass nehmen, den Artikel über Kusmin zu schreiben. Für die Verteilung reicht meiner Meinung nach ein kleiner Unterabschnitt, der bei Bedarf ausgeweitet werden kann oder ausgelagert. -- KurtSchwitters 09:23, 5. Mai 2010 (CEST)

Siehe auch Knuth: Arithmetik, [5]. Biographische Angaben zu Kusmin (Kuzmin, Kuz'min) zu finden, ist übrigens schwierig. -- KurtSchwitters 09:51, 6. Mai 2010 (CEST)

Knuth ist ein sehr guter Hinweis, da der viel Aufwand betreibt, um den vollständigen Namen, auch in Originalschreibweise, zu ermitteln: [6], also Rodion Osievich Kuz'min (in englischer Umschrift) und Родион Осиевич Кузьмин (kyrillisch) Nachruf bei mathnet.ru: [7] --91.32.96.220 10:13, 6. Mai 2010 (CEST)

Ich fange die Biographie jetzt an, dürfte heute nachmittag in erster Version fertig sein. -- KurtSchwitters 11:21, 6. Mai 2010 (CEST)

Bitte mal prüfen: Rodion Ossijewitsch Kusmin Ich erstelle jetzt noch Links auf diese Seite (viele wird es wohl nicht geben, vielleicht nur von Günter und Kettenbruch). -- KurtSchwitters 13:37, 6. Mai 2010 (CEST)

(jetzt Rodion Ossijewitsch Kusmin) Sieht gut aus. --91.32.96.220 20:45, 6. Mai 2010 (CEST)

Chintschin-Konvergenz

Die formulierung "Natürlich müssen hier rationale Zahlen ausgeschlossen werden" ist missverständlich bis falsch - weder müssen sie ausgeschlossen werden, noch werden sie im vorstehenden "ergebnis von Chintschin" ausgeschlossen. (Um die rationalen zahlen auszuschliessen, dürfte sich die konvergenzfeststellung nur auf "fast alle irrationalen zahlen" beziehen. Eine solche einschränkung von "fast alle reellen zahlen" ist wegen $\lambda _{1}(\mathbb {Q} )=0$ aber überflüssig.) Was der kritisierte satz - berechtigterweise - zu sagen versucht ist, dass (und weshalb) die in rede stehende konvergenzeigenschaft beispielsweise auf rationale zahlen nicht zutrifft.

In meinem zwischenzeitlich durch 84.130.249.181 zurückgesetzten alternativvorschlag "Natürlich gilt dies nicht für rationale Zahlen" sollte das "dies" für eben jene konvergenzeigenschaft stehen. Wie ich nun sehe, konnte es aber stattdessen auf den gesamten vorherigen satz bezogen werden, liess also ebenfalls raum für missverständnisse.

Ich habe den fraglichen satz nun durch eine einfachere formulierung ersetzt, die hoffentlich zugleich klarer verständlich ist. Ausserdem habe ich versucht, in der umgebung des satzes etwas sprachliche abwechslung einzubringen, doch auch jetzt noch wirken manche passagen m. e. sehr umgangssprachlich. Ob "eine eigenschaft aufweisen" bereits geschraubt klingt, sei dahingestellt (für die referenz-oma vermutlich eher nicht). Wiederholt nur "haben" (statt wenigstens "besitzen") oder "bekommt man" (statt "erhält man" oder "ergibt (sich)") zu lesen ist jedenfalls unschön. -- Zooloo 20:15, 17. Jul. 2011 (CEST)

Weblinks

Die Zahl der Weblinks überschreitet bei weitem die Vorgaben von WP:Weblinks und sollte verringert und nicht noch erhöht werden.
Selbst für Laien ist der Artikel so verständlich, dass man nicht noch sämtliche Websites zur Vertiefung benötigt --Pm (Diskussion) 13:13, 14. Mär. 2012 (CET)

Abschnitte(e) Approximierbarkeit durch Brueche

Man sollte diese Abschnitte wohl besser in den sehr mageren Artikel diophantische Approximation verlagert. Das tut dem sehr gut (Kettenbruchapproximation ist ein Teil der diophantischen Approximationstheorie) und er blaeht diesen hier nicht so auf. Dies gilt natuerlich auch fuer meine beiden gerade hinzugefuegten Paragraphen. IMHO Achim1999 (Diskussion) 13:33, 30. Apr. 2012 (CEST)

Bzgl. Deiner Überarbeitung des Artikels: Ich habe die dabei eingefügte falsche Definition der "Äquivalenz reeller Zahlen (bezogen auf ihre reguläre Kettenbruchdarstellung)" durch die korrekte aus der Referenz ersetzt (2012-01-05, 04:05), so dass der Abschnitt nun Sinn ergibt.

Für das Addendums über die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ (obwohl die Definition ja nur für $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ist), ist noch einiges zu tun:

1. Die Relevanz dieses Satzes sollte deutlicher hervorgearbeitet werden, wenn es eine gibt. Bisher kommt es daher als eine Nullaussage, die im Artikel nicht weiter verwendet wird.
2. Ein Bezug zur Definition sollte hergestellt werden. Bisher steht dort nur ein Bezug zu der Eigenschaft aus dem zweiten Absatz, aber nicht zur Definition aus dem ersten Absatz. --Arno Nymus (Diskussion) 02:34, 2. Mai 2012 (CEST)

Hi Arno Nymus

Ich zitiere aus deinem letzten, nun aktuellen Revisionskommentar "bzw.wenn Achim die Aussage gerne haben will:wieder rein; @Achim: habe Deine falsche Def durch die richtige Def aus der Ref ersetzt; Ergänzt Du bitte Ref zu dem Q-Satz?)"

Du meinst mit "die Aussage" vermutlich die Aussage der Äquivalenz aller rationalen Zahlen. Für eine elementar nachrechenbare Aussage, könnte das schwierig werden. Da muß man dann eher in Literatur der "Nichtprofis" (oder Übungsaufgabe zur Vorlesung Kettenbruch) suchen, als genau am anderen Ende der Forschung. Bin ich z.Z. zu faul zu. :-)

Zitat aus deinem Kommentar zur Revision: "Deine falsche Def durch die richtige Def aus der Ref ersetzt;" Ein Diff der aktuellen Version (01:42, 2. Mai 2012‎ ) von Dir im Vergleich zu meiner letzten Version (22:54, 1. Mai 2012‎) zeigt KEINERLEI Unterschiede in dieser Hinsicht. Ich weiß daher nicht wovon Du spricht. :-/ Welche falsche Definition meinst Du, die du durch die richtige ersetzt haben willst? Meine Definitionen (eigentlich nur eine für die Äquivalenz irrationaler Zahlen) sind ja gar nicht mehr geändert worden.

Das Appendum zur Äquivalenz der Rationalen Zahl folgt genau so, was das der Irrationalen Zahlen, in dem Man einfach ganz \R betrachtet. Also hat in meiner Augen keine erwähneswerte Schaffenhöhe. (Hurwitz war an dem trivalen Fall (Approimationsgüte 0) nicht interessiert, und nahm an alle besseren Mathematiker würden daß auch so sehen -- behaupte ich 'mal obwohl er lange tot ist. ;-)

Die Relevanz dieser Ergänznug ist in der Tat nur dadurch gegeben (meine Rechtfertigung sie hier zu erwähnen), als somit alle reellen Zahlen in Äquivalenzklassen zerlegt werden können, und man die rationalen nicht separat betrachten muß. Und wenn man eine Notation hat (Hurwitz hat darauf verzichtet), die die endlichen und die unendlichen Kettenbrüche zusammenfasst, könnte man dies dann auch im Satz zur Kettenbruchdarstelung äquivalenter Zahlen nutzen -- und diese dann gleich im GESAMTEN Artikel.

Was wesentlich fehlt, wäre eine Referenz zu meiner eingebauten Aussage daß äquivalente Zahlen (ob irrational oder allgemein reell, ab einem Index die gleiche Entwicklung haben. Für den Artikel ist dies ohne Belang (zur Zeit) aber ein schönes einfaches Klassifikationsmerkmal, das Hurwitz& Co. wahrscheinlich/eventuell auch zu ihrer Äquivalenzdefinition angeregt hat. (Aber ich will nun nicht weiter über den Sinn/Schönheit/Intuition von Definitionen hier philosophieren, oder gar historisch spekulieren). Ich glaube nun haben wir es, -- hoffentlich. :-)

PS: Ich habe den Artikel in keinsterweise überarbeitet, sondern lediglich 2 Aussagen zur Approximation der Irrationalen Zahlen duirch rationale dazugefügt, weil ich den Begriff der "Irrationalsten, reellen Zahl" im Artikel Goldener Schnitt benötigte. (Und den Äquivalenzbegriff brauchte ich um den (neuen) 5.ten Satz formulieren zu können. *sick* Achim1999 (Diskussion) 13:47, 2. Mai 2012 (CEST)

Danke für die Erläuterungen, aber das war anders gemeint:

1. "Deine falsche Def durch die richtige Def aus der Ref ersetzt;" bezieht sich auf den Diff, den ich oben verlinkt hatte, liegt ja schon einen Tag zurück, aber ich dachte mir, dass Du Dir das sicher nochmal anschauen willst, deswegen hatte ich es oben erwähnt. Hier nochmal der Diff-Link: (2012-01-05, 04:05)
2. In Zuge dessen hatte ich (leider nur als Diff-Kommentar) auch vorgeschlagen, den Satz zu $\mathbb {Q}$ zu entfernen, weil er ja sonst nicht verwendet wird. Es wird beim Lesen einfach nicht klar, wieso das jetzt erwähnt wird. Insofern wäre da ein kleiner Hinweis im Artikel gut.
3. Es ist unmittelbar einsichtig, dass die rationalen Zahlen die zweite Eigenschaft erfüllen (asymtotisch identische Teilbrüche). Dass sie die Definition ($y={\tfrac {a+bx}{c+dx}}$ mit $ad-bc=\pm 1$) erfüllen, ist nicht direkt einsichtig. --Arno Nymus (Diskussion) 20:12, 2. Mai 2012 (CEST)

1) Dein Kommentar zu besagter Versionsänderung war: "korrigiert; Prämissen und Konklusionen korrekt umsortiert", und das war ja auch okay. Das Du DIES nun miteinmal als "falsche Def durch die richtige Def aus der Ref ersetzt" im Nachhinein bei einer anderen Korrektur nennst (die damit nicht zu tun hat), muß man (ich ) ja wohl nicht verstehen! Und wenn, ist es ja nur eine formale, keinerlei inhaltliche Falschaussage. Daher längst (von mir) abgehakt.

2) Okay. Den Hinweis, daß man diese Transformation auch auf Zahlen aus \Q anwenden kann, damit man dann ganz \R in Äquivalenzklassen zerlegt, darf da gerne noch angefügt werden.

3) Yep, deshalb diese Rechenaufgabe für Dich, sogar mit explizit vorgegebenem x & y. :-) Ich wollte Dich nicht überfordern, da Du ja erstmal das Gegenteil im Artikel geschrieben hattest. Du kannst gerne diese explizite Erkenntnis für rationale Zahlen auch zur Feststellung packen, wenn Du es für den Leser als hilfreich erachtest.

Okay, das war das. Von meiner Seite sollte man eigentlich meine Darstellungs-Behauptung der Äquivalenzklassen mittels einer Referenz zu dieser eingebauten Aussage, daß äquivalente Zahlen (ob irrational oder allgemein reell, ab einem Index die gleiche Darstellung haben belegen. Das wäre sicher wünschenswert, IMHO. (Man kann sie natürlich auch einfach herleiten, aber das wirkt dann im Artikel doch eher wie ein Teil eines Lehrbuches).

Was ich noch vergaß zu erwähnen: Ich hatte auch noch an diesem Transformationsabschnitt Kettenbruch#Darstellung_als_Iteration_von_Abbildungen rumgespielt, da mir diese $\mathbb {R} \cup \infty$ spansich vorkam. Kannst ja schauen ob Du dies lieber anders formulieren willst. Das Grundproblem -- was sich leider später immer wieder im Artikel zeigt -- ist, daß man endlich Kettenbrüche formal anders behandelt (-n muß?) als unendliche, weil die Folge der $b_{i}$ abbricht. Aber dazu ist mir auch nix Gescheites eingefallen. :-/ Achim1999 (Diskussion) 20:48, 2. Mai 2012 (CEST)

zu 1) Nein, mein genauer Kommentar war "gemäß Ref: Abb. zu = korrigiert; Prämissen und Konklusionen korrekt umsortiert". Natürlich beinhaltet das eine deutliche inhaltliche Änderung, vorher war z.B. nur eine Abbildung verlangt, was generell von allen x,y erfüllt wird. Ich denke mal, dass das auch der Hauptgrund war, warum der IP-Benutzer Deine Def ursprünglich mit dem Kommentar "zu viele Fehler" wieder entfernt hatte. Vielleicht kann er sich ja auch dazu äußern, wobei es ja jetzt korrigiert ist.

Genau dieser inhaltliche Unterschied ist auch der Grund, warum ich die Änderung bei dem Kommentar zur der $\mathbb {Q}$-Aussage nochmal erwähnt habe. Ich wollte ja, dass Du einen Bezug der $\mathbb {Q}$-Aussage zu der Definition herstellst, die halt nun komplett anders ist als das, was Du eingefügt hattest.

zu 3) Deine "Rechenaufgabe" habe ich nicht gemacht, da die Aussage - wie erwähnt - in meinen Augen ja sowieso nicht motiviert ist und ich ja auch nicht endlos Zeit habe (ein nicht-lineares Gleichungssystem mit vier Variablen in $\mathbb {Z}$ zu lösen ist halt auch nicht sooo spaßig). Eine Ref für die zweite Eigenschaft würde ich natürlich begrüßen. --Arno Nymus (Diskussion) 23:24, 2. Mai 2012 (CEST)

Hmm .. reden wir hier aneinder vorbei? Ich weiß wirklich nicht was Du inhaltlich an meiner Formulierung (der nun inhaltlich gleichen) Aussage auszusetzen hattest (und noch hast). Wenn man es intuitiv nicht erfasst hat, was wohl gemeint sein sollte, kommt man eventuell zu einer anderen Interpretation, ja. Der Bezug der Definition zu meiner $\mathbb {Q}$-Aussage wird durch Lösung meiner Rechenaufgabe hergestellt, sprich meine Aussage bewiesen!

Ehrlich: Weit ist es mit deiner Einschätzung nicht hin. Dieses formal nichtlineare Gleichungssystem in $\mathbb {Z}$ in 4 Variablen, beinhaltet 2 lineare trivale Gleichungen ($a+b=r$ und $c+d=s$)! Wenn man die also substituiert, hat man eine quadratische Gleichung in 2 Variablen in $\mathbb {Z}$ (nur um Dich 'mal auf den Schwierigkeitsgrad meiner "Übungsaufgabe" hinzuweisen). Achim1999 (Diskussion) 00:05, 3. Mai 2012 (CEST)

FALSCH. Die zwei Gleichungen sind ${\tfrac {r}{s}}={\tfrac {a+b}{c+d}}$ und $ad-bc=\pm 1$. Sicher kann man erst mal vereinfachend eine Lösung suchen, die die beiden einfacheren Gleichungen erfüllt, die Du angegeben hast. Für diese Lösung würde die Gültigkeit der ersten der richtigen Gleichungen folgen, aber Du ignorierst halt vollkommen die interessantere zweite (nicht-lineare) Gleichung.

Worum es mir aber eigentlich geht: Ich glaube, dass es für den Leser gut wäre, wenn kurz die Motivation für die Aussage über $\mathbb {Q}$ ergänzt werden würde. Diese Ergänzung sollte von jemandem kommen, der diesen Satz für relevant hält. Daher falle ich leider dafür aus. Deswegen bitte ich Dich, diese Ergänzung vorzunehmen. Vielen Dank. --Arno Nymus (Diskussion) 22:00, 3. Mai 2012 (CEST)

1) Du hast das ganze ausgelöst, weil Du im Artikel, daß Gegenteil von dem was zu trifft, geschrieben hattest (weil Du es nicht verstanden hattest -- kann ja 'mal passieren). Ich habe diese falsche Aussage dann gelöscht und Dir dazu diese einfache Aufgabe gegegeben, wie man die Äquivalenz (Niveau 10te Klasse Mathe) herleiten/sehen kann! Du hast die Einfachhiet dieser Aufgabe auch nicht erkannt, sondern meine Aufgabe als "nicht so spaßig zulösendes nicht-lineares Gleichungssystem in 4 Variablen" da gestellt). Wir müssen lediglich eine einzige Lösung haben um $1\sim r/s$ im Sinne dieser Möbiustransformation zu zeigen, und da kann man sich sicherlich auf die gekürzten Brüche zurückziehen. Es bleibt Dir überlassen alle möglichen Darstellungen zu finden, ist aber für das Einsehen der Äquivalenz aller Q-Zahlen gar nicht nötig. Ferner ignoriere ich natürlich nicht die Gleichung das DET=\pm 1. Wenn Du nicht so verbockt wärest, würdest Du sogar sehen, daß die dann nichtmal mehr quadratisch in den verbliebenden beiden Unbekannten ist. :-(

2) Wenn Du aber (wieder) nicht über deinen Schatten springen kannst -- sollte man eigentlich von deinem Aufgabenverständnis her erwarten -- dann müßte jemand anderes eine Anmerkung dazu schreiben. Nur Du bist ja dazu als Kritiker/Schwereinseher dazu prädestiniert, so daß DIR die zu erbringende Erklärung dann das nötige zu leisten scheint! (Du bist hier Stellvertreter für die Leute die da Probleme haben könnten, nicht ich).

3) Ich habe nun wiederholt (mind. 4te Mal nun) bestätigt bekommen, daß Du eigene Fehler/Unvermögen stets(!) nicht eingestehen kannst, und dies ist kaum eine Basis für kooperative Zusammenarbeit hier. Und für solche psychologischen Problemfälle habe ich keine Lust mehr länger den Lehrer/Erklärer zu spielen. Sorry, meine Geduld mit Dir hat nun ein Ende. Achim1999 (Diskussion) 23:20, 3. Mai 2012 (CEST)

zu 1) Genau genommen hattest Du das Thema initiiert, indem Du dem Artikel einen vollkommen unsinnigen Wust hinzugefügt und behauptet hast, dass es eine Definition sei, den ich dann erst richtigstellen musste, damit es überhaupt Sinn ergeben hat. Im Gegensatz zu Dir verzichte ich darauf, zu spekulieren, ob es auf komplette Unfähigkeit, fehlendes mathematisches Verständnis oder was auch immer von Dir zurückzuführen ist, weil es einfach nichts zur Sache tut; entsprechend bitte ich Dich, dass Du Dich mal mehr auf den Inhalt konzentrierst.

In der Tat habe ich dann auch den für die Definition und den restlichen Artikel irrelevanten Satz über $\mathbb {Q}$ entdeckt und vorgeschlagen, den Satz aus dem Artikel zu entfernen und dabei eine Ergänzung geschrieben, die Du als falsch bezeichnest. Anstatt das einfach kurz und bündig zu belegen durch die Angabe der Parameter, gibst Du anderen hier "Rechenaufgaben" auf, gibst dazu fehlerhafte "Tipps" und schwadronierst über Deine eingebildete Überlegenheit. Und dann bezeichnest Du andere als bockig und zickig, weil sie nach der Relevanz der Aussage fragen anstatt Deine Hausaufgaben lösen zu wollen? Sehr befremdlich.

Ob die "Rechenaufgabe" einfach ist, ist eine Frage. Ob Dein Vorgehen sinnvoll ist, bei einem Gleichungssystem erstmal eine Gleichung zu ignorieren und eine Lösung für das Restsystem zu bestimmen und dann darauf zu hoffen, dass es auch die letzte Gleichung erfüllt, ist eine andere Frage, deren Antwort aber nein ist.

zu 2) Meine Lösung, um den Textfluss sinnvoll wieder herzustellen, wäre, die irrelevante Aussage zu entfernen. Bei anderen Wikipedianern - also anderen als Dir - ist es aber lohnenswert, sie zu fragen, ob sie das, was sie relevant finden, entsprechend motiviert einführen können. Bei Dir führt das halt leider nur zu endlosen Beleidigungen. Erfreulicherweise ist der normale Wikipedianer ganz anders als Du. Na ja, ich habe es versucht, hat halt leider nichts gebracht; da wir inhaltlich nicht weiterkommen, können wir das Thema hiermit beenden.

zu 3) "Lehrer/Erklärer": Es wäre sicher vorteilhaft, wenn Du nicht länger den (Ober)-"Lehrer/Erklärer" spielst (da Du dazu ja sowieso keine Lust mehr hast), sondern einfach konstruktiv mit anderen zusammenarbeiten würdest.

Wenn Du wirklich wissen willst, wer hier ein - wie Du schreibst - "psychologischer Problemfall" ist, solltest Du mal gucken, wie viele Leute Dich um Mäßigung oder ordentliches Benehmen bitten müssen und wie selten das bei anderen Wikipedianern notwendig ist. --Arno Nymus (Diskussion) 01:34, 4. Mai 2012 (CEST)

@KurtSchwitters: Betreff deine Überarbeitung: "Ergänzt und umformuliert. Bitte in Ruhe prüfen. Danke"

Soweit ich keine Kleinigkeiten übersehen habe, scheint es so okay zu sein. Eventuell hast Du da einen schlechten Schwerpunkt gesetzt. Die Transitivität ist ja fast immer das Schwierige das nachzuwesien ist bei algebraisch definierten Äquivalenzrelationen (da könnte man sich die expliziten Formeln der Reflexität dann auch sparen). Dein "Man sieht leicht ..." stimmt ja nicht, wegen der nicht leicht zu sehenden (oder wieso soll man erst nachrechnen?) Transitivität! Daher hätte ich mir diesen Satz komplett gespart. Wenn man sie aber als Möbiustransformation erkennt, folgt die Äquivalenz natürlich dadurch. Diese Information für den Leser ist dagegen völlig rausgeflogen. :-/

Das was ich noch unsauber fand, ist: "dass es natürliche Zahlen $h$ und $k$ gibt, so dass für alle $i\geq 0$ gilt:" Wesentlich ist im zweiten Teil des Satzes dass $i\in \mathbb {N}$, unwesentlich ist, dass $i\geq 0$. Bei h und k davor hast Du dies ja auch so (gut) gemacht. Mehr habe ich jetzt nicht zu meckern ;-) Achim1999 (Diskussion) 20:42, 4. Mai 2012 (CEST)

@KurtSchwitters: Vielen Dank für die Überarbeitung. Nun sind alle Aussagen viel besser eingebunden. Damit ist meine Intention erfüllt, vielen Dank. --Arno Nymus (Diskussion) 23:08, 4. Mai 2012 (CEST)

eigene Konvention ohne Vorteil für den Artikel durchdrücken :-(

@KurtSchwitters: 1) Ich habe den \log in \ln geändert, weil das aus dem Abschnit nicht hervorging, im Abschnitt zum Schluß aber vom Zehner-Logarithmus gesprochen wird. Nur damit Du deine persönliche Preferenz hier wieder reindrücken kannst, dann den (ansonsten völlig überflüssigen) Satz --- Hierbei verwenden wir wieder die Bezeichnung $\log$ für den natürlichen Logarithmus. -- einfügen zu müssen, sagt einiges über deinen Charakter aus (um es 'mal wertfrei zu formulieren) -- ich habe zum Spaß 'mal den Artikel auf 'log' durchsucht, um zu sehen auf was sich dein wieder wohl bezieht. :-( 2) Das Du nun 1/c mit dem Lagrange-Spektrum verbindest/erkennst, finde ich sehr gut. Insbesondere würde es mir die Rechtfertigung liefern unser 1/c im Artikel zu c umzutransformieren und dann im Nenner des jeweiligen Bruchs als Faktor erscheinen zu lassen. Achim1999 (Diskussion) 22:12, 2. Mai 2012 (CEST)

Hallo, im vorherigen Abschnitt "Chintschin-Konstante" kommt auch der Logarithmus vor, daher "wieder". Ansonsten: log durch ln ersetzen ist mir auch recht. Dann müsste es aber ln(2) und ln(10) heißen. -- KurtSchwitters (Diskussion) 13:20, 3. Mai 2012 (CEST)

Was mich immer wieder hier in Wiki-DE ärgert, ist, dass ich sehe, dass Leute nicht verstehen was sie schreiben. :-(

In besagtem Abschnitt kommt diese Notation nur an einer einzigen Stelle vor, nämlich im Exponenten in der Form ${\tfrac {\log r}{\log 2}}$. Im erklärenden Text dazu (vor der Formel) steht die Anmerkung: "In den folgenden Formeln bezeichnet \log den natürlichen Logarithmus."  :-(

Aber diesen Quotienten von Logarithmen wählt man, weil so die Basis des Logarithmuses GAR KEINE Rolle spielt, also es auch zur Basis \pi sein dürfte! Inhaltlich ist hier der Logarithmus zur Basis 2 nötig $\log _{2}r$ den der ursprüngliche Autor nicht wollte, oder eben er nicht wusste wie man mit Logarithmen umgeht. Achim1999 (Diskussion) 16:37, 3. Mai 2012 (CEST)

Hallo, bitte mal ein bisschen mäßigen und den Chintschin-Artikel von 1935 lesen. Übrigens wird in Fußnote 33 auch der Logarithmus zur Basis 2 benutzt. Viele Grüße, -- KurtSchwitters (Diskussion) 17:27, 3. Mai 2012 (CEST)

Artikel Diophantische Approximation

Was koennte da noch rein?

• ) Kettenbruch#Sätze über quadratische Approximierbarkeit
• ) In Kettenbruch: Äquivalenz reeller Zahlen (bezogen auf ihre reguläre Kettenbruchdarstellung)
• ) Satz von Thue-Siegel-Roth
• ) Dirichlets Approximationssatz
• ) Markov-Spektrum , Lagrange-Spektrum, Freiman's Konstante
• ) Noble Zahl

Achim1999 (Diskussion) 17:08, 3. Mai 2012 (CEST)

Einfache Erklärung für den Kettenbruch der Quadratwurzel von 2

Also ich finde den Abschnitt "unendliche Kettenbrüche" ziemlich unverständlich. (Bin aber auch erst in der 8.Klasse) Ich habe aber eine sehr einfache Erklärung für den Kettenbruch, der am Rand angegeben ist. Sei ${\sqrt {2}}=x$ dann gilt

$x^{2}=2$

$x^{2}-1=1$

$(1+x)*(x-1)=1$

$(x-1)={\frac {1}{1+x}}$

$x=1+{\frac {1}{1+x}}$

Mit dieser Gleichung kann man ganz leicht einen beliebig langen Kettenbruch bekommen, indem man sie "in sich selbst einsetzt". (Darf man sowas? ich denke mal schon.) z

$x=1+{\frac {1}{1+x}}=1+{\frac {1}{1+1+{\frac {1}{1+x}}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+x}}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+1+{\frac {1}{1+x}}}}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+x}}}}}}$

Man sieht leicht, dass alle Werte, die sich so ergeben, 2 sind. Also ist die reguläre Kettenbruchdarstellung von ${\sqrt {2}}$ [1;2,2,2,2,2,2,...] (nicht signierter Beitrag von 84.57.216.32 (Diskussion) 00:01, 14. Jul 2012 (CEST))

Das ist in der Tat eine einfache und elegante Herleitung, daß deie reguläre Kettenbruchdarstellung von ${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,\ldots ]$ ist. Mehr will ich dazu nicht sagen. :) Achim1999 (Diskussion) 13:45, 15. Jul. 2012 (CEST)

Vielleicht wäre sie s auch wert, in den Artikel eingebaut zu werden? Dann würde ein bischen mehr einfach Verständliches drinnen stehen. (nicht signierter Beitrag von 188.104.170.100 (Diskussion) 19:01, 15. Jul 2012 (CEST))

Noch eine Antwort auf die Frage des Erstautors: natürlich darf man $1+{\frac {1}{1+x}}$ in jede beliebige Formel für $x$ an jeder Stelle der Formel wo $x$ vorkommt und man dies möchte, substituieren (das sagt ja gerade diese von Dir hergeleitet Gleichheit aus), also auch in $x=1+{\frac {1}{1+x}}$ nur auf der rechten Seite der Gleichung. Das einzige Problem was man beachten sollte ist, falls so eine Ersetzung (wie bei uns hier) unendlich oft geschieht, dann könnte eventuell die neu entstandene (unendlich) lange/große Formel in gewissem Sinne nicht mehr (wohl) definiert sein. Hier wäre es die Konvergenz des Kettenbruchs die ad-hoc unklar ist -- diese ist aber für alle regulären Kettenbrüche schon theoretisch gesichert. :) Achim1999 (Diskussion) 19:48, 15. Jul. 2012 (CEST)

Eine elegante und im mathematischen Sinne sehr schöne Herleitung die einem fast auf einen Blick die harte Kost Kettenbruch verständlich macht. Unbedingt an geeigneter Stelle zur Veranschaulichung einbauen. --DuMonde (Diskussion) 16:20, 16. Jul. 2012 (CEST)

Ist das nicht in etwa die gleiche Rechnung wie in 5.2 Beispiel 2? Es dann sollte gegebenenfalls irgendwie damit kombiniert werden. -- HilberTraum (Diskussion) 16:45, 16. Jul. 2012 (CEST)

Naja, ich finde die Herleitung im Artikel schwieriger und weniger elegant. (nicht signierter Beitrag von 178.7.193.102 (Diskussion) 20:14, 16. Jul 2012 (CEST))

Graphen bei Chintschin-Konstante

Die Graphen sind ja sehr hübsch, wenn auch sehr klein. Nur leider haben sie keinerlei Aussagekraft... Was ist denn da überhaupt aufgetragen? Das wird weder im Bild, noch in der Bildunterschrift, noch im Text erwähnt! Meine Vermutung ist, dass auf der x-Achse n aufgetragen ist und auf der y-Achse di Wurzel unter dem Limes. Aber das ist wie gesagt reine Spekulation. Bitte irgendwo im Artikel oder im Bild nachtragen. --2003:63:2F17:DE00:5462:6E68:60BE:26F1 08:28, 22. Jul. 2014 (CEST)

Man kann auf die Bilder auch draufklicken, dann werden sie größer. Deine Interpretation ist richtig, sie sollte aber auch aus dem Text herausgehen. Wenn du möchtest, kannst du gerne noch einen erläuternden Satz ergänzen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:44, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ich muss mich erst bis zum rohen SVG durchklicken, bis ich vernünftig zoomen kann. Mir (habe technisch-mathematischen Hintergund) geht es aus dem Text hervor (aber auch nur als "educated guess"), das muss aber einem Laien nicht so gehen. Für einen Artikel auf der Hauptseite kann man wenigstens erwarten, dass alle Größen ordentlich benannt werden. --2003:63:2F17:DE00:F9FB:EB25:9DD0:F573 13:21, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ehrlich gesagt fällt mir keine falsche Interpretation ein, auf die ein Laie da kommen könnte. Aber in einem optimalen Artikel sind die Achsen in den Bildern natürlich genauer beschriftet. Das Problem mit dem Zoomen liegt an dem neu eingeführten, aber misslungenen Mediaviewer, der eigentlich zu nichts anderem da ist als die Bilder bestmöglich vorzuführen. --84.130.147.31 14:08, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ich habe einen erläuternden Satz eingefügt, das sollte das Problem etwas mildern. --84.130.147.31 14:46, 22. Jul. 2014 (CEST)

Rationale Zahlen haben endliche Kettenbrüche

Unter "Geschichte" steht,das Euler drei Eigenschaften entdeckt habe, ein davon sei:
Rationale Zahlen haben endliche Kettenbrüche
So wie dass da steht ist das doch trivial, da ja eine rationale Zahl immer ein Bruch ganzer Zahlen p und q ist. Der Kettenbruch wäre dann 0+p/q .
Irgendwie fehlen dann noch weitere Bedingungen, zum Bleistift dass es sich um reguläre Kettenbrüche handeln muss?
Gruß Ingo -- Istiller (Diskussion) 09:23, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ja, da fehlte noch ein "regulär". Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:42, 22. Jul. 2014 (CEST)

Das war jetzt aber noch nicht gut genug. Offenbar wird dort allgemein von regulären Kettenbrüchen ausgegangen. Diese sind dann übrigens eindeutig, die Formulierung "kann ... dargestellt werden" ist daher weniger präzise. --84.130.147.31 09:47, 22. Jul. 2014 (CEST)

Die Darstellung ist nicht eindeutig, da in der Regel eine rationale Zahl auf zwei Weisen durch einen Kettenbruch dargestellt werden kann. Siehe das Beispiel unmittelbar darüber: wenn es am Ende nicht heißt: "...2+1/(2+1/1), sondern ...2+1/3, ergibt sich die gleiche rationale Zahl. Außer bei 0, -1 und +1 kann also am Ende entweder eine 1 weggelassen oder hinzugefügt werden (und zum Ausgleich die Zahl davor um 1 erhöht bzw. erniedrigt werden), ohne dass sich der rationale Wert ändert. Eindeutig lassen sich mit regulären Kettenbrüchen nur irrationale Zahlen (sowie 0, 1, -1) darstellen, da es bei ihnen keine letzte Zahl in der Kettenbruchnotation gibt ;-)

-- 217.246.167.189 10:30, 2. Jul. 2017 (CEST)

Nachtrag: Es ist grundsätzlich "gefährlich", Leuten Entdeckungen zuzuschreiben, die sie nicht gemacht haben. Hätte Euler tatsächlich "entdeckt", dass "[j]ede rationale Zahl kann eindeutig durch einen endlichen regulären Kettenbruch dargestellt" werden kann, hätte er einen Bock geschossen, dem ich ihm niemals zutrauen würde (bis zum Beweis des Gegenteils ;-) ) --217.246.167.189 10:45, 2. Jul. 2017 (CEST)

So besser? Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:59, 22. Jul. 2014 (CEST)

Soweit ich sehe, ist das jetzt im wesentlichen in Ordnung, aber ich habe nicht alles in dem Abschnitt auf fehlendes "regelmäßig" geprüft, wozu man auch die Literatur durchsehen müsste. Strenggenommen müsste es vorher auch "Der regelmäßige Kettenbruch hierfür beginnt mit ..." heißen, wobei sich dort aus der Notation ergibt, dass der gemeint ist. --84.130.147.31 10:11, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ich habe an der angegebenen Stelle "regulär" nachgetragen, damit es sauberer und klarer formuliert ist. --84.130.147.31 12:05, 22. Jul. 2014 (CEST)

Bild im Abschnitt "Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus"

Die Veranschaulichung im Abschnitt "Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus" ist meines Erachtens sehr interessant. (das Quadrat mit Seitenlänge 10 müsste allerdings nach oben, um die Rekursion korrekt darzustellen)

Was das Bild zeigt ist eine Verallgemeinerung der "Fibonacci square tilings" (siehe z.B. das erste Bild im Wikipedia-Artikel Fibonacci-Folge). Für jede Zerlegung einer natürlichen Zahl in zwei "coprime" Faktoren existiert genau eine solche Quadratsumme [Moritz Stern: "Über eine zahlentheoretische Funktion", §8].

Genauer gesagt gilt: Betrachten wir einen Kettenbruch zwischen 0 und 1 als Bruch von "Kontinuanten": [0; a1, a2, ..., a_n] = K(a2, ..., a_n) / K(a1, ..., a_n). Dann gibt es zu jedem N = x * y, x coprime y, genau eine Kontinuante K(a1, ..., a_n) so dass N = K(a1, ..., a_n) * K(a1, ..., a_(n-1)) = sum_{i=1..n} a_i * K(a1, ..., a_(i-1))^2 wobei wir für i=1 die Kontinuante K() = 1 nehmen müssen.

Dieser Zusammenhang ist mir vor ein paar Wochen aufgefallen.

Man beachte dass Fibonacci-Zahlen F_n Kontinuanten der Form K(1,1,1, ..., 1) mit (n-1) Einsen sind.

93.193.188.31 12:56, 22. Jul. 2014 (CEST)

Fehler?

Könnte es sein, dass an folgendem Satz etwas nicht stimmt?

"Insbesondere sind die Kettenbrüche derjenigen reellen Zahlen, die nicht rational oder quadratische Irrationalzahlen sind, nicht-periodisch."

Die Kettenbrüche nicht(!) rationaler Zahlen sind nicht periodisch??? Das gilt doch bereits vollständig für die Menge der rationalen Zahlen!? Ronny Michel (Diskussion) 00:11, 8. Jun. 2016 (CEST)

Es dürfte "... Zahlen, die weder rational noch quadratische Irrationalzahlen sind ..." gemeint sein, dann ist es jedenfalls eine wahre Aussage. Ich schlage vor, den etwas verunglückten Satz zu entfernen. --84.130.149.138 01:03, 8. Jun. 2016 (CEST)

Ich habe das mal auf die „weder … noch“-Variante geändert. Vielen Dank für den Hinweis. --KurtSchwitters (Diskussion) 09:21, 8. Jun. 2016 (CEST)

Ausdünnen des Literaturverzeichnisses

Bis Juli 2018 gab es zehn Referenzen im Literaturverzeichnis und ich denke, die Liste ist jetzt zu lang geworden (26 Einträge). Daher möchte ich die seitdem dazugekommenen prüfen. Manche könnten auch in der jeweiligen Fußnote stehen, so z.B. die Referenz auf das PI-Buch (Arndt/Haenel). Bei den meisten der neu dazugekommenen ist der Grund nicht erkennbar, warum sie aufgenommen worden sind. Diese Gründe können wir hier im Einzelnen besprechen und die Bedeutung der Bücher gegeneinander abwägen.

Einen Aspekt nenne ich schonmal: bisher handelt der Artikel wenig von Kettenbrüchen, in denen komplexe Zahlen vorkommen und auch wenig von solchen mit Funktionen. Daher reicht es, wenn diese Themen in der Literaturliste auch nur gering vertreten sind. Beispielsweise gibt es im zweiten Band vom Perron bereits das Thema und wir hatten auch Wall: Analytic theory of continued fractions. Deshalb sind Asmus L. Schmidt: Complex continued fractions und Jones/Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications möglicherweise nicht nötig. -- KurtSchwitters (Diskussion) 16:49, 10. Sep. 2020 (CEST)

Allerdings halte ich ein ausführliches Literaturverzeichnis insofern für vorteilhaft, als man sieht, anhand welcher Quellen man sich vorarbeiten sollte; insbesondere dann, wenn man in dem betreffenden Thema neu ist. --Schojoha (Diskussion) 17:44, 14. Sep. 2020 (CEST)

OK, dann kommt hier mein Beitrag für ein kürzeres Literaturverzeichnis:

Empfohlene Literatur auf Deutsch, da es sich ja um einen Artikel in der deutschen Wikipedia handelt:

Bücher von Peter Bundschuh, Alexander J. Chintschin und Oskar Perron ('Die Lehre von den Kettenbrüchen' und 'Irrationalzahlen')

Die beiden Bücher von Perron und das Buch von Chintschin sind Klassiker und wir sollten sie behalten. Das Buch von Bundschuh ist ein modernes Lehrbuch auf Deutsch. Man könnte hier auch noch ein weiteres hinzunehmen.

Weglassen könnte man Niven/Zuckerman, es gibt allerdings Referenzen darauf, also wohl doch eher behalten.

Klassiker und Geschichte:

Hardy/Wright und Claude Brezinski, behalten

Metrische Sätze:

Rockett/Szüsz

Analytische Kettenbrüche:

Statt Wall könnte man Jones/Thron nehmen, oder noch weitersuchen.

Geometrischer Schwerpunkt:

Oleg Karpenkov

Zu Carl Douglas Olds Buch fehlen mir nähere Informationen, ist vermutlich ein gut lesbarer Klassiker.

Als zu speziell würde ich weglassen: Artikel von Astels, Zeitungsmeldung von Rodemann, die Bücher von Cuyt/Petersen, Hensley, Khovanskii, Lorentzen/Waadeland.

Zu allgemein finde ich das Buch von Lüneburg, obwohl es natürlich viel Spaß macht, darin zu lesen (könnte man diskutieren)

Euler: es gibt ja die Abbildung zu Euler und die Hinweise im geschichtlichen Teil. Vielleicht so etwas eher in eine Fußnote.

Arndt/Haenel: Fußnote

Henrici und Schmidt: zu sehr Schwerpunkt auf analytischen Kettenbrüchen, weglassen

Menzer: zu wenig über Kettenbrüche, weglassen

Knochendöppel und Sporer: Motivation unklar, weglassen

-- KurtSchwitters (Diskussion) 12:54, 15. Sep. 2020 (CEST)

Definition

Die Definition ist leider maximal unverständlich. "... bei dem der Nenner wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt." Was heißt denn "weiter so"? Wenn es eine unendliche Folge darstellen soll (das kann man raten, es steht dort aber nicht), so müsste es eine Vorschrift geben, deren einzelne Glieder zu berechnen. Gibt es aber nicht. Wie berechnet man den "diagonalen Punkt-Punkt-Punkt-Operator " $\ddots$ " ? Ok, man lässt vielleicht den damit bezeichneten Teil fort nach $b_{n}$, um das n-te Glied zu berechnen. Dann muss man den Nenner durch 1 ersetzen, hat also zuletzt ${b_{n}}+{a_{n+1}}$. Das entspricht allerdings nicht der üblichen Definition, die mit ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ abbricht. In der englischen Wikipedia ist es richtig angegeben. - Und warum hat man in der Einleitung die Koeffizienten mit $a,b,c,d,e,f$ bezeichnet, während man unten mit $a_{n},b_{n}$ arbeitet? Ok, das ist ein Schönheitsfehler. 95.91.210.7 16:45, 15. Sep. 2022 (CEST)

Der Hauptgrund für die Formulierung "in Worten" und für die Schreibweise mit diagonalen Punkten ist, dass in der Einleitung möglichst wenige nicht-matheaffine Leser/innen abgeschreckt werden sollen. Um diese Formulierung wurde in der Lesenswert-Kandidatur länger gerungen. Die weiter unten angegebenen Definitionen und Rechenvorschriften sollten aber eindeutig sein. Dort steht ja beispielsweise: "Ein Kettenbruch, der sich nach einem Teilbruch ${\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}$ nicht weiter fortsetzt, ist ein endlicher Kettenbruch." Kritik natürlich trotzdem willkommen. --KurtSchwitters (Diskussion) 17:22, 15. Sep. 2022 (CEST)

Wie soll denn ein "nicht mathe-affiner" Leser das verstehen, wenn schon ein "mathe-affiner" (ich halte mich für einen solchen) es nicht versteht, bzw. lange raten muss? Der "Punkt-Punkt-Punkt-Operator" ist auch keine "Formulierung in Worten", sondern eine neu und ohne jede Definition eingeführte Abkürzung für "irgendwas", mit deren Hilfe wieder "irgendwas anderes" definiert wird. Man kann das Symbol ja benutzen, aber es sollte klar sein, was eigentlich gemeint ist. - Um es kurz zu sagen: Es gehört erwähnt, dass wir es mit einer Folge zu tun haben, konvergent oder auch nicht, bzw. auch dem Grenzwert einer Folge (ja? ist das so? aber auch hierfür benötigt man die Folgenglieder), und dass die Glieder der Folge berechnet werden, indem man den "Punkt-Punkt-Punkt-Teil" nach dem jeweiligen $b_{n}$ weglässt, also nach $b_{n}$ abbricht und nicht nach $a_{n}$. Dazu sollte man das $\ddots$ Symbol nicht als Nenner zu $a_{4}$ schreiben (wo man es durch eine 1 ersetzen müsste), sondern als Summanden zu $b_{3}$, der - als Abbruchkriterium - einfach weggelassen werden kann. Das würde, wie oben erwähnt, auch mehr dem Standard entsprechen. Der bereits vorhandene Hinweis, dass es auch endliche Kettenbrüche gibt, ist zwar richtig, hilft aber, so formuliert, auch nicht bei der Definition des unendlichen Kettenbruches. - Und nebenbei: Den Begriff "Kettenbruch" einfach durch einen anderen nichtdefinierten Ausdruck erklären zu wollen - nämlich "fortgesetzter Bruch" (was soll das sein?), halte ich auch nicht für sehr sinnvoll.

Das wäre wirklich keine große Änderung, ein geringer Zusatz, der es verständlicher machen würde. - Das Kapitel "Endliche Kettenbrüche" hat wiederum keinen richtigen Zusammenhang mit der Definition, es ist offenbar von einem anderen Autor, die Formulierung ist etwas kompliziert und hilft uns im Hinblick auf die Definition nur begrenzt. -- 95.91.210.7 23:35, 15. Sep. 2022 (CEST)

Dein Vorschlag, die diagonalen Punkte anders zu setzen, ist nachvollziehbar und diese Änderung könntest Du an allen Stellen, wo das vorkommt, durchführen. Die anderen Themen:

• Folge: Siehe Abschnitt über unendliche Kettenbrüche. Dort sind die b's und die Näherungsbrüche beide als Folge bezeichnet. Im Abschnitt „Darstellung als Komposition von Abbildungen“ könnte man aber auch noch Folgen erwähnen.
• Präzise Formulierungen: Alles präzise hinzuschreiben führt häufig dazu, dass es für die meisten Leser/innen nicht mehr verständlich ist. Daher ist es nötig, mehrere Präzisionsstufen zu verwenden.
• Kapitel "Endliche Kettenbrüche": Was meinst Du hier genau? Oben werden verschiedene Notationen eingeführt und hier wird dann die mit [ ; , ] verwendet. -- KurtSchwitters (Diskussion) 12:00, 16. Sep. 2022 (CEST)

Weblinks, reguläre Substraktions-Kettenbrüche (Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche)

Hallo KurtSchwitters, ich habe die 3 MathWorld-Referenzen in eine Zeile gesetzt. Ansonsten bitte ich dich, die von dir vorgeschlagenen Änderungen angemessen umsetzen, wenn sie dir wichtig sind.

Fachlich ist mir aufgefallen, dass es sowohl die (üblichen) regulären (Additions-)Kettenbrüche gibt, wo die Teilbrüche addiert werden (und vor langer Zeit u. a. von Lagrange und Euler genauer analysiert wurden), als auch Kettenbrüche mit Zählern gleich 1, wo die Teilbrüche subtrahiert werden (reguläre Substraktions-Kettenbrüche, die anscheinend meistens Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche genannt werden). Mir ist aufgefallen, dass die Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche manchmal eine schnellere Näherung von reellen Zahlen ermöglichen als die üblichen regulären Kettenbrüche, zum Beispiel für die Quadratwurzel von 3 (sqrt(3)):

Reguläre Kettenbrüche: 1/1, 2/1, 5/3, 7/4, 19/11, 26/15, 71/41, 97/56, ...

Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche: 2/1, 7/4, 26/15, 97/56, 362/209, ...

Gemäss Artikel gibt es folgende mathematischen Sätze:

• "Für jede reelle Zahl gilt: Jeder Näherungsbruch mit ist eine beste Näherung 2. Art und daher auch eine beste Näherung 1. Art."
• "Jede beste Näherung 2. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch ihrer regulären Kettenbruchentwicklung."

Gelten diese Sätze auch für die Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche? Kennst du eventuell Weblinks oder andere Belege, die dieses Thema behandeln? Grüße --Maximum 2520 (Diskussion) 22:51, 10. Feb. 2024 (CET)

Hallo Maximum 2520,

die MathWorld-Referenzen habe ich nochmal anders angegeben, da sonst MathWorld und Weisstein dreimal angeführt werden.

Zu den Hirzebruch-Jung Kettenbrüchen kenne ich aktuell keine Aussagen über die Approximation. Die von Dir angegebenen Brüche sind aber alle auch in der Folge der regulären Kettenbrüche vorhanden. Die Folge scheint also einfach eine Teilfolge mit jedem zweiten Glied zu sein.

Du zitierst Marius Beceanu, Princeton University: Period of the Continued Fraction of √n. Dort kann ich aber die erste Aussage über die Periodenlänge von rationalen Zahlen nicht finden. Kannst Du die Stelle noch genauer angeben?

Zu den Periodenlängen und Beispielen: Hier finde ich bei Perron (1913) auf Seite 99 bereits Folgendes: „Wir wenden uns nun den einfachsten Beispielen zu, indem wir alle ganzen Zahlen aufsuchen, deren Quadratwurzeln Perioden mit 1,2,3,4 Gliedern besitzen.“ Daher sind diese Formeln seit langem bekannt. Eine kürzere Darstellung des aktuellen Abschnitts können wir uns noch überlegen. Dagegen scheint die Verteilung der Periodenlängen noch offene Fragen zu haben. Dazu habe ich, außer dem Artikel von Beceanu, auch von Arnold „Lengths of periods of continued fractions of square roots of integers“ gefunden (2009).

Vielen Dank und Grüße, -- KurtSchwitters (Diskussion) 15:11, 11. Feb. 2024 (CET)

P.S.: Siehe zu Hirzebruch-Jung Kettenbrüchen auch Negativ-regelmäßiger Kettenbruch. Bei Perron wird eine allgemeinere Klasse als „halbregelmäßig“ bezeichnet (alle Zähler 1 oder -1). Er hat Aussagen über das Auftreten der Haupt- und Nebennäherungsbrüche und über das Überführen von einer in die andere Art. Von Hirzebruch-Jung Kettenbrüchen spricht man deshalb wohl nur, wenn sie im Zusammenhang mit Singularitäten auftreten. -- KurtSchwitters (Diskussion) 15:36, 11. Feb. 2024 (CET)

"Du zitierst Marius Beceanu, Princeton University: Period of the Continued Fraction of √n. Dort kann ich aber die erste Aussage über die Periodenlänge von rationalen Zahlen nicht finden. Kannst Du die Stelle noch genauer angeben?" Das ist Corollary 2.1, Seite 7, [8].

Danke, dass das du mich auf den Abschnitt Negativ-regelmäßiger Kettenbruch hingewiesen hast. Das hilft mir bedingt weiter. Dort steht:

• Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl [...] durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner [...] eindeutig bestimmt ist.

Im Abschnitt "Unendliche Kettenbrüche: Konvergenz und Näherungsbrüche" des Artikels Kettenbruch steht:

• Jede reelle Zahl kann als (regulärer) Kettenbruch dargestellt werden. Für irrationale Zahlen ist die Kettenbruchdarstellung unendlich und eindeutig. Rationale Zahlen entsprechen endlichen Kettenbrüchen und jede rationale Zahl hat genau zwei Kettenbruchdarstellungen.

Gilt an dieser Stelle für negativ-regelmäßige Kettenbrüche genau die entsprechende Aussage wie für regelmäßige Kettenbrüche? Kannst du das bestätigen? Was ist mit der Eindeutigkeit der Darstellung für rationale Zahlen als negativ-regelmäßiger Kettenbruch? Ich schlage dann vor, dass ich das im Abschnitt Kettenbruch#Unendliche_Kettenbrüche:_Konvergenz_und_Näherungsbrüche kurz beschreibe. Wärst du damit einverstanden?

"Dagegen scheint die Verteilung der Periodenlängen noch offene Fragen zu haben." Das ist mir ist auch aufgefallen. Das erinnert mich ein wenig an Probematiken mit Primzahlen und Teilbarkeiten. Anscheinend gibt es keine allgemeine Formel für die periodischen Kettenbrüche jeder quadratisch irrationale Zahl. Ist das so? Kannst du das eventuell mit Beleg im Abschnitt Kettenbruch#Periodische_Kettenbrüche kurz beschreiben?

"Daher sind diese Formeln seit langem bekannt." Das überrascht mich nicht. Es fing spätestens mit Lagrange an ...

Was meinst du mit "Singularitäten"? Division durch 0?

Kannst du mir (alle) Fragen kurz beantworten? Viele Grüße --Maximum 2520 (Diskussion) 20:53, 11. Feb. 2024 (CET)

Hallo Maximum 2520,

um Eindeutigkeit für Darstellungen bei rationalen Zahlen zu bekommen, muss man jeweils noch eine Bedingung fordern. Für halbregelmäßige Kettenbrüche sind weitere Bedingungen in dem Artikel Kurosu Kōnosuke erwähnt (aber man kann auch direkt bei Perron nachschauen). Wenn Du dazu etwas schreiben willst, dann fände ich das bei negativ-regelmäßiger Kettenbruch passender.

Wie gesagt, würde ich den Abschnitt über periodische Kettenbrüche überarbeiten (und kürzen). Dann kann ich auch einen aktuellen Artikel zitieren.

Singularitäten, siehe: Algebraische_Kurve#Singularitäten. Danke für die Stelle in dem Artikel von Beceanu. Kannst Du das noch in der Fußnote eintragen?

Viele Grüße, -- KurtSchwitters (Diskussion) 21:54, 11. Feb. 2024 (CET)

Mehrfache Links habe ich jetzt entfernt. So oft auf beispielsweise reelle Zahl zu verlinken, macht doch keinen Sinn. Ich hoffe Du ärgerst Dich nicht darüber. Außerdem habe ich die Hirzebruch-Jung Kettenbrüche oben bei den negativ-regelmäßigen erwähnt. -- KurtSchwitters (Diskussion) 14:50, 12. Feb. 2024 (CET)

Hirzebruch-Jung Kettenbrüche wurden übrigens bisher auch schon in Fußnote 3 erwähnt. -- KurtSchwitters (Diskussion) 15:07, 12. Feb. 2024 (CET)

"Kannst Du das noch in der Fußnote eintragen?" Habe ich nun gemacht.

"Mehrfache Links habe ich jetzt entfernt. So oft auf beispielsweise reelle Zahl zu verlinken, macht doch keinen Sinn." Ok, das passt. Ich versuche die guten Ideen beizusteuern, die ich habe und will mich auf Wesentliches konzentrieren.

"Wie gesagt, würde ich den Abschnitt über periodische Kettenbrüche überarbeiten (und kürzen)". Hier bitte ich wie schon erwähnt darum, in der Gleichung \sqrt{(a \cdot b)^2 + b} = ... = a * b + 1 / (2 * a + 1 / (a * b + sqrt((a * b)^2 + b))) für die Herleitung der ersten Formel nur einige Zwischenschritte rauszunehmen. Wenn du den Text dazu verbessern willst, gern.

Ich habe vor, im Artikel Konvergenzkriterium von Pringsheim einige Ergänzungen zu negativ regelmäßigen Kettenbrüchen zu machen. Allerdings müsste ich mich erst in das Thema einlesen. Gibt es gute Weblinks zu dem Thema, die du mir empfehlen kannst? Grüße --Maximum 2520 (Diskussion) 23:46, 12. Feb. 2024 (CET)

Hallo Maximum 2520,

zu negativ-regelmäßigen Kettenbrüchen kenne ich keine spezielle Literatur. Am Besten schaust Du zuerst in Perron, Pringsheim und das angegeben Buch von Sierpinski.

Mich irritiert, dass die Zahl 1 auch durch einen unendlichen Kettenbruch dargestellt wird. Ich denke, dass das bei den Bedingungen bei Perron nicht so ist. Daher solltest Du bei den Definitionen genau schauen, was die Autoren jeweils meinen.

Den Abschnitt über die Quadratwurzeln würde ich dann eher in einen Abschnitt über die Periodenlänge umformulieren. Formeln, wie von Dir angegeben, würde ich, wie gesagt, eher in den Kontext von offenen Fragen bezüglich der Periodenlänge stellen. Bei dieser Sichtweise passen die Formeln zum Teil nicht ganz so gut:

• Die erste Formel sieht nach Periodenlänge 2 aus. Für b=1 ist die Periodenlänge aber 1.
• Bei „Darstellungen mit Periodenlänge 1“ sind nur solche mit geraden Einträgen erfasst und beispielsweise der Fall von Beispiel 1 (goldener Schnitt) ist nicht dabei. Nachtrag: Ich sehe jetzt, dass das richtig ist, wenn man nur Quadratwurzeln erfassen will und das ist ja hier der Fall. Der goldene Schnitt ist ja gerade ein Gegenbeispiel für die besondere Form der Periode bei Quadratwurzeln.

Ich habe noch den Artikel Arnold (2008) gefunden und würde dann bei einer Überarbeitung sowohl auf Perron, S. 99, als auch auf Arnold verweisen.

Der Artikel in Fußnote 27 zitiert ja auch wieder Perron und Arnold (Abschnitte 3.1.1 und 3.1.2). Hattest Du die Herleitung mit Variablen a und b selbst gemacht? -- KurtSchwitters (Diskussion) 14:00, 13. Feb. 2024 (CET)

Hallo KurtSchwitters, anscheinend hast du vor, den Abschnitt Kettenbruch#Periodische_Kettenbrüche umzustrukturieren. Das ist ok, auch weil du am meisten Zeit in den Artikel investiert hast. Aber ich bitte dich, meine neuen Inhalte weitgehend drinzulassen. Weitere Inhalte kann du gern ergänzen.

Die Herleitung für die erste Formel mit den Variablen a und b habe ich selbst gemacht. Ich glaube, dass ich auch einen Beweis für die Eindeutigkeit der regulären Kettenbrüche habe. Allerdings ist für mich im Moment schwierig, Zugang zu den von dir genannten oder anderen Quellen zu bekommen, vor allem zum Thema negativ-regelmäßigen Kettenbrüche.

Trotzdem habe ich vor, bald einige Ergänzung im Artikel Konvergenzkriterium von Pringsheim zu machen. Eventuell werde ich dir später noch einige Verständnisfragen stellen. Grüße --Maximum 2520 (Diskussion) 23:32, 13. Feb. 2024 (CET)

Hallo Maximum 2520,

bezüglich der Herleitung habe ich zwei Vorschläge. Entweder so lang lassen, wie aktuell. Dann würde ich den Inhalt lieber auslagern in Quadratisch irrationale Zahl.

Dieser Artikel ist zur Zeit sehr kurz und er profitiert von weiteren Inhalten. Dagegen fände ich eine lange Herleitung im Kettenbruch-Artikel nicht so gut.

Oder eine vereinfachte Formel behalten.

Dafür würde ich b=2 setzen und nur die Gleichung ${\sqrt {4a^{2}+2}}=2a+{\cfrac {1}{2a+{\cfrac {1}{2a+{\sqrt {4a^{2}+2}}}}}}$ hinschreiben (und natürlich noch ${\sqrt {4a^{2}+2}}=[2a;{\overline {2a,4a}}]$).

Drumherum würde ich etwas Zusammenfassendes zu solchen Regelmäßigkeiten und Formeln schreiben.

(Meine grundsätzliche Begründung dafür ist die Lesbarkeit/Verständlichkeit und OMA-Tauglichkeit.)

Ist einer der beiden Vorschläge für Dich akzeptabel?

Viele Grüße, -- KurtSchwitters (Diskussion) 14:47, 14. Feb. 2024 (CET)

Hallo KurtSchwitters, also eigentlich bin ich gegen ein Auslagern in den Artikel Quadratisch irrationale Zahl, weil ich nicht erkennen kann, dass der in absehbarer Zeit an Substanz gewinnt und anscheinend kaum von Lesern zur Kenntnis genommen wird. Aber es ist besser, wenn du es auslagerst, als wenn die Herleitung ganz verschwindet. Ich finde es schade, dass du jetzt erst mit diesem Vorschlag kommst und mir nicht vorher klar zu erkennen gegeben hast, dass du an einer starken Vereinfachung der Herleitung interessiert bist.

"Drumherum würde ich etwas Zusammenfassendes zu solchen Regelmäßigkeiten und Formeln schreiben." Ich hoffe, dass dieser Text fachlich fundiert ist, und nicht nur zum allgemeinen, sondern auch zum formalen Verständnis von periodischen Kettenbrüchen beiträgt. Im Übrigen möchte ich nicht jeden Tag über kleinere Dinge diskutieren. So wichtig ist mir das Thema Kettenbrüche, Konvergenzkriterium von Pringsheim usw. auch wieder nicht.

Das Kriterium der Allgemeinverständlichkeit (etwas abwertend "OMA-Tauglichkeit" genannt) hat etwas für sich. Aber gerade dann, wenn dieses Kriterium wichtig ist, sind bei der Herleitung einige Zwischenschritte erforderlich und nicht nur der erste und letzte Umformungsschritt der Gleichung. Also gut, wenn du meinst, kannst du die Herleitung für b = 2 machen, aber bitte mit mehreren Zwischenschritten.

Und ich bestehe darauf, dass ansonsten alle Formeln für die periodischen Kettenbrüche drin bleiben. Ist das ein Kompromissvorschlag, den du umsetzen willst?

Wenn ich Fragen zum Thema negativ-regelmäßigen Kettenbrüche habe, werde ich mich wieder bei dir melden. Grüße--Maximum 2520 (Diskussion) 22:42, 14. Feb. 2024 (CET)

Hallo Maximum 2520,

ich hatte vor einer Woche auf Deiner Diskussionsseite folgendes geschrieben: „Die längere Umformung am Anfang ist zu ausführlich. Gerade bei "lesenswerten" und "exzellenten" Artikeln (Kandidatur) ist es wichtig, auf so etwas zu achten. Der Abschnitt könnte auf die Beispiele im Abschnitt davor anknüpfen, dann eine allgemeinere Regel nennen und wie bisher darauf verweisen, dass es viele weitere Formeln dieser Art gibt. Möglicherweise ist einer der Spezialfälle auch interessant genug und die Formeln mit a und b sind schon zu "formellastig". Jedenfalls ist hier die Erläuterung dazu, dass es solche Formeln gibt, wichtiger, als sie in Einzelheiten hinzuschreiben. Diese kann man ja dann in der Quelle nachlesen.“ Um das konkreter anschauen zu können, habe ich den Abschnitt in dieser Art überarbeitet. Schau doch mal, ob das für Deine Formel nicht auch bereits das Wesentliche enthält.

Wichtig war mir hier, explizit auf die dritte binomische Formel hinzuweisen und dass das ein Schritt ist, den man sonst auch kennt, nur eben üblicherweise in die andere Richtung (Wurzel aus Nenner entfernen).

Dass Du alle Formeln in diesem Abschnitt sehen möchtest, verstehe ich erstmal nicht. Für weitere Formeln habe ich außer auf Perron, S. 99/100, auch auf

Wikibooks: Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche – Lern- und Lehrmaterialien

verwiesen, wo mehrere Formel angegeben sind.

Ich finde es aber gut, dass Du hier aktiv warst. Das gibt auch Anregungen, bezüglich besserer Abschätzungen der Periodenlänge und zu den mittlere Periodenlängen, die Arnold untersuchte, zu recherchieren.

Woher kommt Dein Interesse, speziell an negativ-regelmäßigen Kettenbrüchen?

Viele Grüße, -- KurtSchwitters (Diskussion) 10:27, 15. Feb. 2024 (CET)

Die Einträge bei den Weblinks habe ich reduziert. Die drei Bachelorarbeiten referieren meist Perron (Scheel hat noch Mathematica-Funktionen programmiert, die aber nicht abgedruckt sind). Krishnan fand ich zu chaotisch, das Skript der Millersville University hat keine Besonderheiten bei der Darstellung und das Skript aus San Diego bezieht sich hauptsächlich auf die Pellsche Gleichung. -- KurtSchwitters (Diskussion) 21:35, 15. Feb. 2024 (CET)

Im Abschnitt „Andere unendliche Kettenbrüche“ würde ich gerne die Verweise zu e und Pi wieder herausnehmen. Diese Kettenbrüche sind ja Teil der Darstellung im bisherigen Text (weiter oben) und sind daher nicht mit „Andere unendliche Kettenbrüche“ gemeint. -- KurtSchwitters (Diskussion) 21:39, 15. Feb. 2024 (CET)