Diskussion:Komplexe Mannigfaltigkeit

Begriff "Komplexe Struktur"

Lemma "Komplexe Struktur" ist Redirect zu diesem Artikel, der das Lemma zwar benutzt, aber nicht definiert. Was ist also eine "komplexe Struktur"? Ich vermute: einfach die Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit. (Und dass die Tangentialräume einer solchen zu komplexen Vektorräumen werden, scheint plausibel, doch fehlt eine genauere Angabe, wie man das macht.)--UKe-CH 14:40, 27. Nov. 2009 (CET)

Das Konzept gibt es ja bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten auch. Für diese wird es z.B. in Atlas_(Mathematik)#Maximaler_Atlas oder auch in Differenzierbare Struktur erklärt. Der Unterschied zwischen der komplexen und der differenzierbaren Struktur ist, dass die in der komplexen Struktur die Kartenwechel biholomorph sein müssen. Danke für Deine Bemerkung. Bezüglich dieses Themas muss hier mal aufgeräumt werden. --Christian1985 16:04, 27. Nov. 2009 (CET)

Definition es Atlas

Ein Atlas wird zunächst als eine Menge von Karten bezeichnet. Die weitere Definition ist dann aber so geschrieben, als würde es sich um eine Folge von Karten handeln. Das scheint mir inkonsistent. (nicht signierter Beitrag von 79.255.64.127 (Diskussion) 16:55, 19. Dez. 2015 (CET))

Ich sehe dort kein Problem. Der Atlas ist definiert als eine abzählbare Vereinigung von Karten. Da diese abzählbar ist, kann man sie natürlich auch durchindizieren und wenn man möchte dann als Folge verstehen. Wie würdest Du es anders schreiben? --Christian1985 (Disk) 17:08, 19. Dez. 2015 (CET)

Dass die Menge abzählbar sein soll, steht da aber nicht. Man kann es höchstens implizit aus der Vereinigungsformel ableiten. Wobei dann eigentlich auch folgen würde, dass der Atlas immer abzählbar unendlich sein muss. Ein einelementiger Atlas wäre also z.B. nicht möglich. Richtig wäre meines Erachtens so etwas wie: Ein komplexer Atlas A ist eine (abzählbare?) Menge solcher Karten, so dass

$M=\bigcup _{(U,\phi )\in A}U$

gilt, mit der Eigenschaft, dass für je zwei Karten $(U,\phi )$ und $(V,\psi )$ aus A die Kartenwechselabbildungen

$\phi \circ \psi ^{-1}\colon \psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)$

biholomorph sind. (nicht signierter Beitrag von 79.255.64.127 (Diskussion) 17:50, 19. Dez. 2015 (CET))

Der Atlas muss natürlich nicht abzählbar sein. Deshalb ist "$i\in \mathbb {N}$" Unsinn. Man könnte die Karten aber mit einer beliebigen Indexmenge $I$ indizieren und dann $i\in I$ schreiben.

Die von dir vorgeschlagene Schreibweise ist aber natürlich auch richtig und eventuell vorzuziehen.

Im Artikel Differenzierbare Mannigfaltigkeit ist von einer Familie von Karten $(U_{i},\phi _{i})_{i\in I}$ die Rede. Es ist wohl einfach Geschmacksache, welche Formulierung man bevorzugt. --Digamma (Diskussion) 18:47, 19. Dez. 2015 (CET)

Danke. Habe selber Mathematik studiert, mich aber nie mit Mannigfaltigkeiten beschäftigt. Daher möchte ich ungern an dem Artikel rumdoktern. Mir gefällt meine Notation besser, aber wenn die mit den Familien die übliche ist, sollte man die verwenden. Bei meinem Vorschlag müsste man im Kapitel über Holomorphe Funktionen noch überall den Index i entfernen, den ich aber sowieso für verzichtbar halte. (nicht signierter Beitrag von 79.255.64.127 (Diskussion) 20:22, 19. Dez. 2015 (CET))

Ich setze das dann mal um. --Digamma (Diskussion) 20:41, 19. Dez. 2015 (CET)

Danke. Wo ich gerade am Kritisieren bin: Im Abschnitt 'Komplexe Struktur' wird der Begriff Mannigfaltigkeit benutzt, der eigentlich erst im nächsten Abschnitt definiert wird. Hier wäre wahrscheinlich besser: Eine komplexe Struktur auf M ist eine...

Die Äquivalenz von Atlanten könnte man wohl darüber definieren, dass ihre Vereinigung wieder ein Atlas sein muss. Aber das ist vermutlich Geschmackssache.

Ich vermute, dass das n, in das die Kartenwechselabbildungen abbilden, für den ganzen Atlas fest sein muss. Sonst wäre z.B. die disjunkte Vereinigung von $\mathbb {C}$ und $\mathbb {C} ^{2}$ in natürlicher Weise eine komplexe Mannigfaltigkeit. Das könnte man vielleicht klarer machen.

Schließlich findet in der Formulierung des Abschnitts 'Komplexe Mannigfaltigkeit' ein merkwürdiger Perspektivwechsel statt. Der erste Satz ist so geschrieben als würde die Generalannahme über M, die oben gemacht wurde, hier nicht mehr gelten. Im zweiten Satz kommt M dann wieder vor. Ich würde den ersten Satz etwa so formulieren: Ist S eine komplexe Struktur auf M, so bezeichnet man (M, S) als komplexe Mannigfaltigkeit. (nicht signierter Beitrag von 79.255.85.152 (Diskussion) 17:07, 20. Dez. 2015 (CET))

Sei mutig! Deine Änderungsvorschläge klingen alle vernünftig. --Digamma (Diskussion) 20:23, 20. Dez. 2015 (CET)

Dann war ich mal mutig und habe gleich noch den Begriff der komplexen Struktur umdefiniert. Keine Ahnung, ob das in der Literatur so üblich ist, aber so scheint es mir eleganter, weil man nicht noch einen neuen Objekttyp (Äquivalenzklassen) einführen muss, sondern komplexe Strukturen einfach spezielle Atlanten sind. Und die Karten der Mannigfaltigkeit sind dann einfach die Elemente der komplexen Struktur und nicht die Elemente der Elemente der komplexen Struktur. (nicht signierter Beitrag von 78.34.96.67 (Diskussion) 01:55, 21. Dez. 2015 (CET))