Diskussion:Leeres Produkt

Es wird allgemein nicht bezweifelt, dass für reelles $b>0$ die Gleichung $b^{0}=1$ richtig ist.

Das gilt auch für b < 0, nur für b = 0 hat man ein Problem. --MrBurns 15:16, 8. Feb. 2009 (CET)

Anschaulichkeit?

Analog bezeichnet man die Addition von 0 Summanden als die leere Summe und gibt ihr den Wert 0. Dies ist anschaulich klar: Man erhält 0, wenn man nichts addiert.

Warum soll das anschaulicher sein, als dass man 1 erhält, wenn man nichts multipliziert? 0 ist das neutrale Element der Addition, genauso wie 1 das NE der Multiplikation ist. Wenn man beim Addieren bei 0 anfängt und deshalb beim Addieren von nichts 0 erhält, fängt man beim Multiplizieren ganzgenauso bei 1 an und erhält beim Multiplizieren mit nichts 1. Ich erkenne da keinen Unterschied in der Anschaulichkeit. Nur einen Unterschied in der Geläufigkeit. Jedenfalls kann man nicht das eine aus der Anschaulichkeit des anderen herleiten. --androl ☖☗ 15:11, 21. Mai 2009 (CEST)

Ich finde das eine sehr viel anschaulicher als das andere: Nix zu Nix hinzuaddieren: man bleibt bei Nix = Null. Nix mit Nix zu multiplizieren gibt dir jedoch immerhin ein Ganzes. ungenau, siehe unten. --χario 06:22, 23. Mai 2009 (CEST) Die Leere Summe ist was anderes als 0 + 0. Und der Erklärungsansatz mit neutralen Elementen einer (Halb-)Gruppe ist erstmal auch kein anschaulicher Ansatz, sondern ein axiomatischer. --χario 15:28, 21. Mai 2009 (CEST)

okay, die Anschauung der leeren Summe ist, dass man auf einen Tisch noch keine Äpfel gelegt hat, damit ist die Summe aller Äpfel, die man auf den Tisch gelegt hat, null. Bei der Multiplikation sind Anschauungen seltener, das Addieren kommt im Alltag einfach häufiger vor. Eine Anschauung wäre zum Beispiel ein Kuchen, den man nacheinander in Teile schneidet. Wenn man den Kuchen erst in 3 und dann jedes Teil in 4 Teile teilt, hat man 12 Teile. Wenn man das Messer noch in der Schublade liegen hat, ist der Kuchen noch ein Teil. Man multipliziert nicht Nix mit Nix und Nix = Null, sonst wäre das Ergebnis 0*0 = 0, sondern man multipliziert nicht. Multiplizieren kann man nur vorhandene Dinge, nicht einen leeren Tisch. Ich bleibe also dabei: es ist nicht weniger anschaulich, passende Anschauungen sind nur weniger geläufig. --androl ☖☗ 23:07, 22. Mai 2009 (CEST)

Verdammt, das war oben von mir wirklich unsauber. Du hast natürlich Recht, man mutlipliziert und addiert nicht. Ich formulier noch mal so: Wenn man n Objekte hat, kann man maximal (n-1) Additionen oder Multipliklationen ausführen. Wir entscheiden uns dazu, nicht allzuviele Operationen durchzuführen, wir wollen, genau Null-mal addieren/multiplizieren. Wenn wir null-mal addieren erhalten wir 0, wenn wir uns entscheiden, null-mal zu multiplizieren, erhalten wir 1. Das ist der erste contra-anschauliche Punkt: Einfach gar nichts zu machen, oder etwas bestimmtes null-mal zu tun, ist ein Unterschied.

Jetzt zu den Ergebnissen: Ja du hast Recht, addieren ist uns viel geläufiger, passiert öfter und kann unser Hirn auch intuitiver. Dein Tisch-Apfel-Beispiel ist seeeehr anschaulich (brauchen wir den Tisch eigentlich?) Vielleicht ist es generell falsch, den abstrakten Vorgang null-mal wasauchimmer zu addieren wieder auf eine materielle Ebene zu ziehen. Nochne Frage, die ich grad nicht klären kann: Sind null Äpfel das Gleiche wie null Birnen? Bzw. ist es falsch, die Null, die bei der leeren Summe rauskommt, mit eben null Äpfeln gleichzusetzen? Für den Multiplikationsteil fällt mir überhaupt kein Beispiel ein, wie man es (wenn auch noch so krumm) veranschaulichen könnte. Es kommt eins raus, aha.... 1 = 1 Apfel = 1 Birne? Keine Ahnung, das meine ich mit: "Die leere Summe ist aunschaulicher als das leere Produkt". --χario 06:22, 23. Mai 2009 (CEST) PS: Über dein Kuchenbeispiel muss ich erstmal nochn bisschen nachdenken... weil ist ja schließtlich Teilen, das Inverse zur Multiplikation...einen Kuchen nicht teilen oder keinen Kuchen nicht teilen? Verwirrt, --χario 06:28, 23. Mai 2009 (CEST)

Sooo schwierig ist das mit der Anschaulichkeit auch wieder nicht:

a) Ich habe n Dinge und addiere nicht. Es bleiben also n Dinge, ich habe praktisch 0 addiert.

b) Ich habe n Dinge und multipliziere nicht. Es bleiben also n Dinge, ich habe praktisch mit 1 multipliziert.--93.244.126.221 15:04, 27. Mai 2021 (CEST)

Schreibweise

Warum soll $\prod \varnothing$ falsch sein und $\prod _{\varnothing }$ richtig? Das erste ist das Produkt aller Elemente der angegebenen Menge, also das Produkt von nichts. Genauso wie $\prod \{1,2,3\}$ = 1 * 2 * 3. Das zweite ist eher ungewöhnlich, da man beim Benutzen einer Indexmenge auch noch rechts davon die Variablen notieren müsste. Also $\prod _{i\in \varnothing }a_{i}$ --androl ☖☗ 15:25, 21. Mai 2009 (CEST)

Ein erhebliches Problem von der Notation $\prod \{1,2,3\}$ entsteht, wenn man unendliche Mengen zulässt. Das sieht man schon bei Summen, weil ein Kommutativgesetz für unendlich viele Summanden im Allgemeinen falsch ist. Obwohl die Summe $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}$ konvergiert, kann man nicht $\sum \{1;-{\frac {1}{2}};{\frac {1}{3}};-{\frac {1}{4}};\ldots \}$ schreiben, weil bei einer anderen Summationsreihenfolge unterschiedliche Werte herauskommen. Bei Produkten wird man sicherlich dasselbe Problem besitzen. --Tolentino 15:30, 21. Mai 2009 (CEST)

(BK) Das leere Produkt besitzt eine leere Indexmenge, da die Faktoren keine Rolle spielen, wenn ich keinen davon auswähle, läßt man sie auch weg. --χario 15:32, 21. Mai 2009 (CEST)

Ich habe eben in der Einleitung zusätzlich die Endlichkeit der Indexmenge eingefügt, unter anderem aus dem Grund, den ich oben nannte. --Tolentino 15:35, 21. Mai 2009 (CEST)

Definition von $0^{0}$

Die Begründung im Satz "Da die Zahlen 0 , 1 mengentheoretisch als $0:=\emptyset$ und $1:=\{\emptyset \}$ definiert werden können, folgt weiter: $A^{0}=1$ und insbesondere auch $0^{0}=1$" erscheint mir doch sehr mangelhaft. Nur, weil etwas in einer Weise definiert werden _kann_, folgt daraus nicht _zwingend_ eine Rechenregel. Man kann daher nur sagen, dass man daher motivieren kann, $A^{0}=1$ zu setzen. Styxnawaiok (Diskussion) 15:32, 5. Dez. 2017 (CET)

Das ist im Artikel schlecht formuliert. Allgemein gilt, dass $n^{m}$ die Anzahl der Abbildungen von einer $m$-elementigen in eine $n$-elementige Menge ist. Ist $m$ gleich Null, so ist die $m$-elementige Menge leer. Nun gibt es genau eine Abbildung von der leeren Menge in eine beliebige Menge, nämlich die die nichts auf nichts abbildet (deren Graph also die leere Menge ist).

Dass die Menge dieser Abbildungen gerde die Von-Neumann-Ordinalzahl 1 ist, ist nebensächlich. Wichtig ist, dass sie genau ein Element enhält. --Digamma (Diskussion) 16:59, 5. Dez. 2017 (CET)