Diskussion:Rouge et noir

Hallo,

ich glaube, der Bankvorteil wurde teilweise falsch berechnet.

Zitat:

Nimmt man nun vereinfacht an, dass die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Nummern 31, 32, ..., 39, 40 im Verhältnis 13 : 12 : ... : 5 : 4 stehen, so erhält man, dass das Refait im Mittel ungefähr einmal in 39 Coups auftritt (Après-Coups werden nicht gezählt).

Da im Fall eines Refait die Bank nur die Hälfte der Einsätze einzieht, beträgt der Vorteil der Bank gerade 1/2 · 1/39 oder ca. 1,28 %. Der Bankvorteil ist somit geringfügig kleiner als bei der Wette auf Rot oder Schwarz beim Roulette, dieser beträgt 1,35 %.

Korrekturvorschlag:

Nach meiner Ansicht ist dies nicht ganz richtig, bzw. die Berechnungsidee stimmt, aber das Ergebnis nicht ganz. Denn mit diesem Zahlenverhältnis ist die Wahrscheinlichkeit für eine Partei, 31 Punkte zu erhalten,

13 / (13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4)

= 13 / 85 = 15,3 %

Ein Refait tritt auf, wenn beide Parteien je 31 Punkte haben. Da die beiden Punktzahlen (zumindest näherungsweise) als unabhängig angesehen werden können, kann die Wahrscheinlichkeit für ein Refait durch Multiplikation berechnet werden (was wohl in der Artikelversion ebenfalls geschehen ist, aber mit anscheinend falschen Zahlenwerten):

p(Refait) = (13/85) * (13/85) = (13*13) / (85*85)

= 169 / 7225 = 2,4 % = 1 / 42,75

(da der Kehrwert 7225 / 169 = 42,75 beträgt)

Das Refait tritt im Mittel also nicht alle 39 Coups, sondern nur alle 43 Coups auf. Der Bankvorteil beim Rouge et Noir beträgt also nur

1/2 * 1/42,75 = 1 / 85,5 = 0,0117 = 1,17 % statt 1,28 %.

Der Bankvorteil beim Rouge et Noir bzw. Trente et Quarante ist somit noch etwas kleiner als im Artikel angegeben, und liegt bereits ohne Refait-Versicherung schon sehr nahe bei 1 Prozent.

PS: Falls ich recht habe, sollte die Angabe "1,28 Prozent" natürlich auch im Artikel "Trente et Quarante" auf 1,17 Prozent geändert werden.

Freundliche Grüsse, Dirk

(nicht signierter Beitrag von 92.107.76.225 (Diskussion) )

Du hast zwar soweit richtig gerechnet, aber noch einen wichtigen Aspekt vergessen:

In 85*85=7225 Spielen gibt es 13*13=169 mal ein Refait, aber auch (144 + 121 + 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 +16) = 636 mal ein "après"; (die übrigen 6420 teilen sich je zur Hälfte auf "Rouge" bzw. "Noir").

Da aber die Après-Spiele (als ungültige Spiele) bei der Berechnung des Bankvorteils nicht berücksichtigt werden (dürfen(!)), so ergibt sich (1/2) * (169 /(7225 - 636)) = (1/2) * (169 / 6589) = 1,28% = ca. (1/2) * (1/39)

Liebe Grüße aus Wien

Roland (Roland Scheicher 12:32, 6. Okt. 2008 (CEST))

Habe die Berechnung nun in den Artikel eingearbeitet. Roland Scheicher 18:23, 16. Mai 2010 (CEST)

Warum Näherung?

Eine "exakte" Berechnung des Bankvorteils ist nicht sinnvoll, da zusätzliche Annahmen darüber getroffen werden müssten, wie groß der Teil des Kartenpakets ist, der "abgeschnitten" (sprich: nicht verwendet) wird; ob Refaits auf einen neuen Schlitten übertragen werden (i.a. nicht), usf. Roland Scheicher 20:29, 6. Jul. 2011 (CEST)

Das ist nochmal ein anderer, kleinerer Effekt. Aber schon die Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse proportional zur Anzahl der Karten ist, mit denen er erreicht werden kann, ist falsch. 31 hat in jeder Serie (in der nicht 21->31 auftritt) gleich mehrfach die Chance, erreicht zu werden, während 40 nur über 30->40 erreicht werden kann. Die Zahl der möglichen Wege steigt also stärker an als die Zahl der möglichen Endkarten. Und ein relativer Fehler von 10% bei dieser Näherung ist doch schon einiges. --mfb 10:47, 7. Jul. 2011 (CEST)

Genaue Berechnung unter der Annahme, dass der Kartenstapel unendlich groß ist:

Ich definiere p(n) als Wahrscheinlichkeit, dass n in der Folge der Summen auftritt. Setze p(z)=0 für z<0, p(0)=1, p(n)=2/13*p(n-1)+1/13*(p(n-2)+p(n-3)+...+p(n-9))+3/13*p(n-10) für n>0. Ab n>31 fallen alle Summanden mit p(m) mit m>=31 weg. Das lässt sich schnell berechnen - für die Chance p(31) alleine ist der Teil aber schon nicht mehr relevant. Als Kontrolle dennoch ganz interessant, und wie es sein muss gilt p(31)+p(31)+...+p(40)=1.

Man erhält p(31)=0.17012=14.46/85.

Schlechter als diese Berechnung, aber zumindest besser als die derzeitige Abschätzung wäre schon folgendes: Der Erwartungswert einer gezogenen Karte ist 5.85, also wird für große Zahlen jeder Wert mit einer Chance von ~1/5.85=0.1711=14.54/85 getroffen. Dieser Wert liegt etwas daneben, da 31 nicht allzu viel größer als die typischen Zahlenwerte ist (und z. B. 10, 20 und 30 dank Bube/Dame/König größere Wahrscheinlichkeiten haben), aber schon diese Abschätzung ist wesentlich genauer. --mfb 11:05, 7. Jul. 2011 (CEST)

Die Berechnung führt man am besten so durch (das ist eine einfache EXCEL-Rechnung):

Man bestimmt zuerst die bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der Summen 31, 32, ..., 40 unter der Annahme, dass als Zwischenergebnis die Summe 30 auftritt.

Im nächsten Schritt bestimmt man die bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Summen 31, ..., 40 unter der Annahme, dass als Zwischenergebnis die Summe 29 auftritt; ....

Im letzten dieser Schritte erhält man die bedingten Wahrscheinlichkieten unter der Annahme, dass die Summe 0 als Zwischenergebnis auftritt - i.e. die absoluten Wahrscheinlichkeiten.

Mit diesen Werten setzt man dann genau so fort wie in der Näherungsrechnung beschrieben. (Berücksichtigung von Après, ...)

Man erhält so als Bankvorteil 1,20%, d.h. einen etwas geringeren Wert.

Wenn Dich das EXCEL-Sheet interessiert, sende ich Dir's gerne zu.

Roland Scheicher 18:48, 10. Jul. 2011 (CEST)

Von 0 anzufangen ist viel einfacher, dann hat man direkt in Schritt n (wie beschrieben) die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl n auftritt. Die Chance auf ein Après ist dann (p(32)^2 + ... + (p(40))^2 = 0.08628 und die Chance auf ein Refait 0.02894, ergibt als Bankvorteil also 1/2 * 0.02894 / (1-0.08628) = 1,584%. Excel-Formel zum kopieren (fuer B11): =1/13*(2*B10+B9+B8+B7+B6+B5+B4+B3+B2+3*B1) --mfb 16:51, 11. Jul. 2011 (CEST)

Was immer Du da rechnest, Dein Resultat bezüglich der Berechnung ist jedenfalls falsch - und glaube mir, Du solltest nicht bei Null beginnen: bei einer Spielanalyse setzt man immer dort an, wo der Einfluss des Zufalls am einfachsten zu behandeln ist (also dort, wo nach der nächsten Karte mit Sicherheit keine weitere mehr folgt):

Wenn wir nämlich so vorgehen, wie ich es oben skizziert habe, erhältst Du folgendes

Es sei v(n) der Vektor der bedingten Wahrscheinlichkeiten (P(31|n), P(32|n), ...., P(39|n), P(40|n)) unter der Bedingung, dass n als Zwischensumme auftritt.

Gesucht ist natürlich v(0) - über diesen Vektor können wir noch nichts aussagen, aber es gilt jedenfalls die Rekursion

v(n) = [4*v(n+10) + v(n+9) + v(n+8) + ... + v(n+1)] / 13

Es gibt ja vier Zehnerwerte (10, B, D, K); die Werte 1 bis 9 kommmen jeweils einfach vor.

Um diese Rekursion starten zu können, brauchen wir noch ein paar Anfangsbedingungen - diese sind aber trivial

V(40) = (0, 0, 0, ..., 1)

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Endsumme 40 unter der Voraussetzung, dass 40 als Zwischensumme vorkommt, ist natürlich 1, und wenn 40 als Zwischensumme auftritt, dann können 31, 32, ..., 39 nicht als Endsummen auftreten.

analog: ...

V(32) = (0, 1, 0, ..., 0)

V(31) = (1, 0, 0, ..., 0).

Im ersten Schritt erhalten wir

V(30) = (0,769; 0,769; ..., 0,769; 0,308) - was man natürlich auch direkt hätte hinschreiben können.

Im 31. Schritt erhält man nun

V(0) = (0,148; 0,138; 0,128; 0,117; 0,106; 0,095; 0,084; 0,072; 0,061; 0,052).

Und wenn Du der Berechnung nicht glaubst - lass eben eine Simulation mit ein paar Millionen Ausspielungen laufen :-)

Aber nun kurz zu Deiner Berechnung:

Deine Rekursion p(n)=2/13*p(n-1)+1/13*(p(n-2)+p(n-3)+...+p(n-9))+3/13*p(n-10) ist sicher nicht richtig.

Wie gesagt, ich sende Dir gerne die korrekte Berechnung zu.

Roland Scheicher 18:25, 11. Jul. 2011 (CEST)

Ich hatte aus Versehen die 10er-Karte als 1er verrechnet (also drei Karten mit 10 und zwei mit 1), mein Fehler. Unsere Rechenmethoden sind äquivalent, ich komme allerdings vollständig mit 40 Zahlenwerten aus, denn ich brauche gar keine bedingten Wahrscheinlichkeiten: Ich rechne einfach direkt die Wahrscheinlichkeit aus, dass n in der Folge vorkommt, aus bekannten Wahrscheinlichkeiten für die kleineren Zahlen. Nach der Korrektur von 1<->10 erhalte ich nun auch 1,2016% als Bankvorteil. --mfb 13:20, 12. Jul. 2011 (CEST)

Fein, dann sind wir uns ja einig.

Bei der Analyse komplexerer Spiele wie Black Jack oder Baccara habe ich immer mit Rückwärtsrekursionen gearbeitet, so war es für mich einfach das nächstliegende, bei diesem Spiel derselben Methodik zu folgen - zumal ich noch einige weitere Besonderheiten der Nummernverteilung studieren wollte.

Da Du aber nun zum selben Resultat kommst, ist Deine Rechnung offenbar ebenfalls richtig.

PS: Wenn Du meiner Berechnungsmethode folgst und die Rekursion über Null hinaus für n=-1, -2, ... fortsetzt, so konvergiert die Folge der Vektoren gegen v = (13/85; 12/85; ...; 4/85).

D.h. die im Artikel wiedergegebene Näherungsberechnung ergibt sich gerade als Grenzwert der Folge der (bedingten) Nummernverteilungen.

LG aus Wien Roland Scheicher 16:38, 12. Jul. 2011 (CEST)

Gleiches Ergebnis für p(131), ..., p(140) oder allgemein p(n), ..., p(n+9) mit n->inf, wenn man erst dort die Abbruchbedingungen einfügt. 13/85 ist damit auch der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Zahl auf dem Weg zu erhalten, solange nicht vorher abgebrochen werden kann. --mfb 17:11, 12. Jul. 2011 (CEST)