Diskussion:Satz von Fubini

Der Link ist down.

Ich studiere gerade diesen und Satz möchte zwei Anmerkungnen aus der Perspektive eines Lernenden machen: Zum einen wäre es hilfreich, eine Skizze in den Artikel einzubringen. Zum anderen wären ein Beweis und ein Beispiel sehr schön. Vielleicht findet jemand ja die Muße ?

Zitat Artikel:

Sei $f\colon ({I\times J})\subseteq {\mathbb {R} ^{2}}\to \mathbb {C}$ stetig, I, J kompakte Intervalle.

Dann ist $F\colon {J}\subseteq {\mathbb {R} }\to \mathbb {C}$ mit $y\mapsto \int _{I}^{}~f(x,y)~dx$ stetig und es gilt

$\int _{J}^{}~F(t)~dt=\int _{J}^{}~\int _{I}^{}~f(x,y)~dx~dy=\int _{I}^{}~\int _{J}^{}~f(x,y)~dy~dx=\int _{I\times J}^{}~f(x,y)d(x,y)$

Ich finde diesen Absatz sehr schwierig zu verstehen, z.B. warum ist da ein C (= komplex?!), und warum wird zuerst von den Parametern x und y gesprochen, und dann auf einmal ist da noch zusätzlich der Parameter t.

Der Absatz ist sehr wertvoll, aber eine auch für Nicht-Mathe-Studenten verständliche Schreibweise zusätzlich zur bisherigen fände ich gut.

Danke, --Abdull 17:51, 4. Mai 2005 (CEST)

Was ich bei diesem (von Abdull zitierten) Absatz auch problematisch finde, ist die Einführung von $x$ und $y$, ohne sie zu definieren, es soll wohl $x\in I$ und $y\in J$ sein, dann würde ich das auch dazuschreiben. Die Einführung des $t$ soll wohl bloß bedeuten, dass das Integral ins eindimensionale übertragbar ist.

Hallo! Ich finde die Einführung von t auch irreführend. Klar ist es nicht falsch, wenn die Integrationsvariable plötzlich anders heißt. Aber y ist doch auch (offensichtlich) ein Skalar. Denn wenn eine Variable zweidimensional ist, wird sie hier als Tupel geschrieben. (nicht signierter Beitrag von BASe82 (Diskussion | Beiträge) 23:27, 26. Jan. 2015 (CET))

Ich habe gerade keine Zeit den Artikel auszuführen trotzdem will ich einmal die Fragen beantworten. 1. Das C steht für die Komplexen Zahlen. Es steht da, weil die Aussage so allgemeiner ist. Wenn man für ${\mathbb {C} },{\mathbb {R} }$ einsetzt hat man den Spezialfall, dass die Funktion f nur in die reellen Zahlen abbildet. Die Anwendung funktioniert aber Analog. 2. Die $t,x,y$ sind bereits definiert. Mehrfachintegrale werden von innen nach aussen aufgebaut. Zum Beispiel bedeutet :$\int _{I}^{}~f(x,y)~dx$, dass das x ganz I durchläuft und das für ein festes y. Wenn darum jetzt, wie oben, ein weiteres Integral mit dy gebaut ist, durchläuft x ganz I und das für jedes y in J. Ich hoffe, dass das jetzt halbwegs verständlich für nicht-Mathematiker war. --Nadador 11:12, 7. Feb 2006 (CET)

So weit ich weiss braucht der Satz für das Riemannintegral weder kompaktheit der Intervalle noch stetigkeit von $f$. Der Satz ist auch anwendbar, wenn das Integral über $|f(x,y)|$ endlich ist.--Nadador 11:19, 7. Feb 2006 (CET)

Könnte man nicht einfach $\mathbb {R} ^{2}$ anstatt $\mathbb {C}$ nehmen? Ist vieleicht etwas weniger verwirrend... Gruß Azrael. 19:33, 2. Nov. 2007 (CET)

Der Kommentar ist zwar uralt, aber falls noch andere darüber stolpern sollten: Es werden komplexe Zahlen als Körper verwendet, R tut's also genauso, R^2 nicht. Der Zielraum soll einfach aus Zahlen bestehen, ob die nun komplex oder nur reell sind ist egal.

-- 87.78.24.77 15:19, 18. Jun. 2012 (CEST)

Die Körpereigenschaften von $\mathbb {C}$ werden im Satz aber nicht verwendet, eher die des Vektorraums über $\mathbb {R}$. Anders ausgedrückt: Mit $\mathbb {R}$ statt $\mathbb {C}$ dürfte der Satz leichter verständlich sein und die Verallgemeinerung auf endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Vektorräume (inkl. $\mathbb {C}$) von dort aus ist ziemlich trivial. Die Verwendung von $\mathbb {R}$-wertigen Funktionen hätte den didaktischen Vorteil, dass man das Riemannintegral mit Unter- und Obersummen begreifen kann.--Hagman (Diskussion) 11:46, 12. Aug. 2012 (CEST)

Folgerungen

Ich hab mal die Beiden Formeln eingefügt, da sie manchmal ganz nützlich sind. Leider hab ich Moment nur als Quellen ein Übungsblatt in dem wir die Formeln beweisen mussten und die 21. Auflage des Bronstein von Teubner S. 449. Da die erste Formel auf unseren Übungsblatt Formel von Dirichlet heißt und im Bronstein Formel von Cauchy und ich keine weitere Quellen habe, lass ich mal lieber den Namen weg... Gruß Azrael. 00:53, 8. Feb. 2008 (CET)

Beweis

Es würde ja zur mathematischen Korrektheit angebracht sein diesem Artikel einen Abschnitt über den Beweis oder wenigstens einen Hinweis oder einen Link zu spendieren, denn ein Satz ohne Beweis ist ja nix tolles. 87.178.94.99 21:44, 11. Feb. 2011 (CET)

Hallo, Wikipedia ist kein Beweisarchiv. Hier sollen keine Beweise angeführt werden, denn Wikipedia ist eine Enzyklopädä und kein Mathematikbuch. In der angegebenen Literatur findest Du einen Beweis. --Christian1985 (Diskussion) 10:33, 12. Feb. 2011 (CET)

Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral

Hier ist gar nicht erwähnt, was I und J eigentlich ist. Das hat ja im Gegensatz zum Satz von Fubini für das Riemann-Integral nicht mehr zwingend etwas mit Intervallen zu tun. Es muss nicht einmal Teilmenge von R^n sein. --Jobu0101 07:53, 14. Dez. 2011 (CET)

Ich habe mal die Voraussetzungen und Bezeichnungen angepasst. -- HilberTraum 21:55, 14. Dez. 2011 (CET)

Sehr gut. So habe ich mir das vorgestellt. Vielen Dank! --Jobu0101 17:35, 16. Dez. 2011 (CET)

Bezeichnung

Ist der "Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral" für f >= 0 (sodaß f nicht unbedingt integrierbar ist, also die Integrale auch den Wert unendlich annehmen können) nicht (auch) als "Satz von Tonelli" bekannt und dann der Fall, daß f integrierbar ist, als "Satz von Fubini"? -91.63.246.18 07:06, 5. Nov. 2013 (CET)

Beispiel?

Vielleicht sollte man ein einfaches Beispiel vorrechnen, wo man dann sieht, dass das Ergebnis der Integration nicht von der Reihenfolge abhängt?—Butäzigä (Diskussion) 22:40, 16. Sep. 2022 (CEST)