Diskussion:Satz von Stokes

Kompaktheit fehlt

Meines Erachtens fehlt eine Kompaktheitsvoraussetzung. Oder???? --129.132.170.241 19:32, 16. Okt. 2008 (CEST)

Sehe ich auch so. Im Buch "Manifolds, Tensor Analysis, and Applications." wird gefordert, dass die Mannigfaltigkeit parakompakt ist und dass die Differentialform kompakten Träger hat. Außerdem wird gefordert, dass die Mannigfaltigkeit glatt ist, denn in den Büchern die ich kenne werden Differnetialformen immer nur als glatte Differentialformen definiert, wozu eben eine glatte Mannigfaltigkeit gebraucht wird. --Christian1985 19:49, 16. Okt. 2008 (CEST)

Verständlicher machen

Die momentane Version des Satz von Stokes ist etwas unverständlich. Könnte bitte jemand ein paar Sätze für Nicht-Mathematiker hinzufügen, damit man versteht worum es dabei überhaupt geht. Ein Beipsiel zur illustration wäre natürlich super! Danke --Doit ʋ 09:46, 20. Mär 2006 (CET)

Die Formulierung des Satzes kann bestimmt etwas verständlicher gemacht werden, oder wer weiß, was mit Sei M eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ∂M mit induzierter Orientierung.... gemeint ist? --129.27.233.175 12:57, 27. Mai 2006 (CEST)

lol, genau diese Passage des englischen Artikels habe ich soeben auf dessen Diskussionseite exemplarisch zitiert, um auch da zu kritisieren, dass man nix verstehen kann. --Abdull 19:56, 31. Mai 2006 (CEST)

was soll denn da sonst stehen. der satz von stokes ist nun mal kein theorem, den meine oma verstehen muss. wohl jede andere formulierung würde das theorem unklarer machen. ich verstehe den zitierten satz. es ist nun einmal so, dass der satz für orientierte Mf mit stückweise glatten rand gilt. ich habe das n-dim und die induzierte orientierung entfernt, das ist vielleicht unnötig, da im kontext so oder so klar. Ibotty 14:22, 3. Jun 2006 (CEST)

Habe ich wieder rückgängig gemacht, da ohne das n-dimensional auch das spätere "Grad n-1" keinen Sinn mehr hätte. Traitor 17:13, 3. Jun 2006 (CEST)

Also ich verstehe den Satz überhaupt nicht und bin keine Oma. Kannst du dann auf der Diskseite erklären was ich unter dem Satz verstehen soll. ielleicht mit einem Beispiel?

Vereinfacht formuliert, sagt der Satz, daß der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eben auch in mehreren Dimensionen und auch auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gilt. Eine Mannigfaltigkeit ist z.B. eine gekrümmte Fläche im Raum. Man wird die Aussage des Satzes sicher nur verstehen können, wenn man mindestens eine gewisse Vorstellung davon hat, wie man Funktionen entlang Kurven oder über (gekrümmte) Flächen im Raum integriert. --Rotkraut 15:42, 8. Jul 2006 (CEST)

Hallo! Versuche gerade Stokes und Gauß-Satz zu verstehn. Gibt es jemand bzw. ist es überhaupt möglich den Satz von Stokes so anschaulich wie den Gaußsatz (siehe Bedeutung) zu erklären? LG Hans --80.109.197.124 11:16, 21. Jan. 2007 (CET)

Hallo Hans: Zumindest für den beschriebenen Spezialfall hilft vielleicht folgende Veranschaulichung: Man stelle sich die Rotation als infinitesimale Drehung vor w x h. (Vielleicht könnte hier jemand noch die genaue Definition einfügen?)

Dann leuchtet schnell ein, dass beim Integrieren dieser infinitesimalen Drehungen über die Fläche das Flächeninnere sich aufhebt, da dort überall "Gegenverkehr" herrscht. Übrig bleibt nur das Integral außenrum.

Man möge meine kleine ASCII-Malerei verzeihen (hat leider nicht wirklich einen glatten Rand und wird leider auch kaum n-dimensional differenzierbar sein, diese kleine Mannigfaltigkeit, dafür jedoch für Omas und andere Ingenieure häufig ausreichende Technik...)

  <--^<--^    <------^
  |  ||  |    |      |
  v-->v-->  = |      |
  <--^<--^    |      |
  |  ||  |    |      |
  v-->v-->    v------>

--Any nick 06:24, 12. Jun. 2007 (CEST)

Habe Ihre Skizze soeben in den Hauptartikel eingebaut. Danke! - Benutzer 87.160.81.228 12:27, 7. Dez. 2007 (CET)

Vektorpfeile

Hiermit möchte ich für die Verwendung von Vektorpfeilen, statt der Verwendung des Fettdrucks plädieren. Ich finde, dass in einer Enzyklopädie ein einheitlicher Standard, was mathematische Sysmbole angeht, eingehalten werden sollte. Ich bin der Meinung, dass in weitaus mehr Artikeln Vektorpfeile statt Fettdruck genutzt werden. Ich möchte diese Änderung jedoch nicht ohne Zustimmung des Autors vornehmen. Gruß farratt (CEST: 07.08.06, 23:29)

Ich bin klar gegen Vektorpfeilen in der Mathematik; diese sind nunmal ungebr"auchlich. In der Physik dagegen verh"alt sich das in meinen Augen nicht so klar. (Ich unterstelle Dir einfach mal, dass du den klassischen (Physik-)Stokes meinst.) Auch hier ist gedruckte Literatur meist dick f"ur Vektoren, normal f"ur Skalare. Wenn Du f"ur Konsistenz in allen Artikeln der Physik sorgst, dann ist das m. E. Dir "uberlassen. Ansonsten w"urde ich pers"onlich es so lassen wollen. --Ibotty 12:06, 30. Aug 2006 (CEST)

Handschriftlich wenn es schnell gehen muss unterstreichen, ansonsten Pfeile. Dass in der Literatur so häufig Fettdruck vorkommt hat wohl mehr damit zu tun, dass nicht jeder mit dem Textverarbeitungsprogramm umgehen kann.

Ich denke, es hat vor allem damit zu tun, daß überflüssige Auszeichnungen in den Gleichungen den Text unübersichtlich machen und die Lesbarkeit beeinträchtigen. --Rotkraut 17:38, 25. Nov. 2006 (CET)

Ich fände es besser, wenn der Artikel zunächst den Stokesschen Satz der gewöhnlichen dreidimensionalen Vektorrechnung bringen würde, auch mit Anwendungen in der Physik, und erst danach n-dimensionale Verallgemeinerungen. Im Interesse der Vertsändlichkeit sollte man immer vom Speziellen zu Allgemeinen fortschreiten. Insbesondere: Keine Definition ohne (möglichst einfache) Beispiele! --Hanfried Lenz 11:21, 23. Nov. 2007 (CET).

schlechte wortwahl

"Der Beweis des allgemeinen Satzes von Stokes (s.o.) ergibt in der Tat den Satz von Gauß quasi als Abfallprodukt."

Ich finde auch das es sich um einen unglücklich formulierten Satz handelt und habe ihn deswegen entfernt. Einerseits kann ich den benannten Beweis des allgemeinen Satzes von Stokes nicht im Artikel finden. Andererseits ist der Gaußsche Integralsatz lange vor Stokes formuliert worden. Stokes konnte somit bei seiner Arbeit auf den Gaußschen Integralsatz aufbauen und damit die Richtigkeit seines eigenen Satzes überprüfen (s.A. die Artikel zu Gaußscher Integralsatz, bzw. den Personen Carl Friedrich Gauß und George Gabriel Stokes) -- Sloopi, 20.7.2008

Völlig zurecht! Mittels einer Zerlegung der Eins läßt sich nämlich der allgemeine Stokessche Satz wiederum auf eine sehr spezielle Variante des Integralsatzes von Gauß zurückführen. So wird der allgemeine Satz von Stokes auch heute bewiesen. Beide Sätze sind also letztlich äquivalent, wohingegen der originale Satz von Stokes lediglich dreidimensional war. Eigentlich sollte dieser Satz also Satz von Gauß heißen, denn Gauß war auch noch früher dran. Da aber Gauß im Gegensatz zu Stokes sehr viele Sätze aufgestellt hat, hebt ihn die Benennung nach Stokes aus der Masse der mathematischen Sätze besser heraus.

Der allgemeine Satz von Stokes ist überhaupt kein "sehr tiefliegender Satz", wie im Artikel behauptet, sondern eine ziemlich banale Erweiterung des Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er erfordert allerdings den ziemlich aufwendigen Differentialformen-Kalkül, der ihn zum Schrecken der Mathematik-Anfänger im Grundstudium gemacht hat. Tiefliegend im Sinne einer innovativen Idee ist er aber ganz und gar nicht. Auch gehört der allgemeine Satz von Stokes nicht zur Differentialgeometrie, denn mittels des Differentialformen-Kalküls wird gerade von jeglicher Metrik abstrahiert. Er gehört in die mehrdimensionale Integral- und Differentialrechnung, also in die Analysis. --Kassandro 22:48, 14. Okt. 2008 (CEST)

Man kann mit dem Allgemeinen Stokesschen Satz (de Rham'sche) Kohomologietheorie treiben, mit all ihren Statements über exakte Sequenzen und so weiter. Das gehört in die Algebraische Topologie, und nicht in die Analysis. Oder? Sollte man nicht gerade feststellen, dass dieser scheinbar so banale Satz diese beiden Gebiete verbindet? In diesem Sinne wirklich "tiefliegend" und "nicht-banal", viel tiefliegender als der Schulstoff des Hauptsatzes der Integralrechnung. - Si tacuisses, .... - MfG, 87.160.57.38 18:10, 19. Sep. 2009 (CEST)

Zirkulation

Könnte jemand den Zusammenhang mit der Zirkulation, der in der Einleitung angegeben ist, näher erläutern? Die Zirkulation wird im Artikel nur an dieser Stelle genannt. Falls das nicht möglich ist, kann die Aussage auch gestrichen werden. 80.146.54.206 12:15, 23. Jun. 2008 (CEST)

Die linke Seite des Integralsatzes ist, wenn es sich beim Vektorfeld um ein Geschwindigkeitsfeld handelt, das Flächen-Integral der Wirbelstärke (entspricht Rotation) des Geschwindigkeitsfelds. Dieses Integral wird als Zirkulation bezeichnet. --Any nick 00:40, 25. Jun. 2008 (CEST)

Also besteht der Zusammenhang zwischen Zirkulation und Rotation darin, daß die erste das Flächenintegral der zweiten ist? Dann stellt der Satz von Stokes, der die Umwandlung eines Volumen-/Flächenintegrals in ein Randintegral beschreibt, keinen Zusammenhang zwischen ihnen her, oder? 80.146.113.242 12:11, 26. Jun. 2008 (CEST)

Das habe ich auch schon gedacht beim Schreiben dieser Antwort, dass der Artikel hier wohl vieleicht einen falschen Zusammenhang suggeriert, denn laut Artikel scheint der Satz von Stokes tatsächlich den Zusammenhang von Zirkulation und Rotation zu beschreiben, zumindest in diesem von Dir zitierten Nebensatz. Richtiger wäre wohl: Der Satz wird in der Physik oft angewandt bei Rotationen bzw. Zirkulationen um eben gerade wie von Dir beschrieben von einem Flächen/Volumen-integral auf das Randintegral zu kommen und andersrum (z. B. Induktionsgesetz, Durchflutungsgesetz). Sieht das noch jemand so? Bin mir nämlich leider hier nicht 100% sicher. --Any nick 00:18, 27. Jun. 2008 (CEST)

Ich denke der Satz kann gelöscht werden, da die entsprechenden physikalischen Anwendungen unter Spezialfälle wohl hinreichend und vor allem richtig beschrieben sind. --Any nick 00:34, 27. Jun. 2008 (CEST)

Ich habe den Satz noch etwas umformuliert ("s.a." ist sehr allgemein, der Leser erkennt nicht direkt, welcher Zusammenhang besteht). Dabei ist mir noch etwas anderes aufgefallen. 80.146.58.45 14:07, 28. Jun. 2008 (CEST)

Benennung des Satzes

Da ich nicht recht weiß, wie man einen Artikel bearbeitet und auch nicht weiß, welchen Regel das Zitieren hier folgt, gebe ich hier einfach Folgendes an:

"Der Satz [von Stokes;d.A.] wurde lange dem irischen Mathematik-Professor George Gabriel Stokes (1819-1903) zugeschrieben, weil er 1854 in Cambridge auf seinen Beweis einen Preis ausgesetzt hatte; aber Stokes kannte ihn seit Juli 1850 aus einem Brief von William Thomson." (Schroeder, Dieter: Vektor- und Tensorpraxis, Darmstadt, 2006, S. 119.)

und hoffe, dass jemand diese Information gekonnt in den Artikel einfügt.

Ich glaube, dass auch Gauss schon bestimmte Varianten des Satzes gefunden hat, aber man nennt ihn eben nach Stokes, damit die Zuordnung eindeutig ist. Vielleicht sollte man das insgesamt etwas genauer untersuchen und hier einbauen. --Christian1985 11:28, 4. Nov. 2008 (CET)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:Stokes-patch.png|250px|left]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:Stokes-patch.png|250px|left]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
• Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 10:10, 2. Mär. 2009 (CET)

Verständlichkeit zum Zweiten

Ich kann mich nur immer wieder wundern, wie hier didaktisch vorgegangen wird. Der Satz von Stokes ist für das Verständnis der Elektrodynamik wichtig und geht nicht nur Mathematiker an (die Folge ist das sich Anwender eine eigene Erklärung zurechtbasteln, siehe die verkorkste Behandlung in Induktionsgesetz). HIer werden mit Differentialformen gleich schwere Geschütze aufgefahren. Am Anfang sollte eine einfache Formulierung in Vektor-Komponentenschreibweise stehen (der sogenannte spezielle Satz von Stokes), mit minimalem mathematischen Jargon. --Claude J 08:17, 23. Mär. 2009 (CET)

Ich habe mich mal an ein paar Änderungen versucht. Ich habe noch vor die Einleitung zu überarbeiten und aus der klassischen Variante des Satzes, den Begriff der Untermannigfaltigkeit zu streichen. Was gibt es noch zu tun? Kann jemand den Abschnitt "Bedeutung" überarbeiten und dabei die Physik in den Vordergrund stellen? --Christian1985 22:47, 25. Mär. 2009 (CET)

Volumenelement

Ich bin jetzt zwar nicht so bewandert in der Thematik, finde es aber grade ziemlich komisch, dass das "normale Volumenelement" dxdy sein soll... Bei mir sind nämlich dreidimensionale Volumenelemente sehr viel normaler. Kann das vielleicht jemand ändern bzw erklären, der mehr Ahnung davon hat? (Die Stelle befindet sich direkt im ersten Abschnitt vor dem Beispiel) Tummel 23:03, 16. Apr. 2009 (CEST)

Fehler entdeckt?

Das Skalarprodukt zwischen der Rotation des Vektorfeldes F und dem Flächennormaleneinheitsvektor v sollte, wenn ich mich nicht ganz täusche, die partiellen Ableitungen von F und nicht die von v enthalten. (Macht auch sonst keinen Sinn, da v = const. und somit alle partiellen Ableitungen verschwinden) (nicht signierter Beitrag von 93.104.79.131 (Diskussion | Beiträge) 19:31, 21. Mai 2009 (CEST))

Hat sich erledigt - ist alles korrekt, aber ein wenig verwirrend finde ich es, die Komponenten des Vektorfeldes F mit v zu bezeichnen. (nicht signierter Beitrag von 82.135.66.219 (Diskussion | Beiträge) 14:22, 6. Jun. 2009 (CEST))

Echte Teilmenge

Das sagt nun auch nichts aus. Eine echte Teilmenge wovon? von einem Funktionenraum oder einer größeren Mannigfaltigkeit oder irgendeinem ganz anderen Raum? Es muss sich um einen Raum handeln der isomorph zu $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist. --Christian1985 15:39, 14. Sep. 2009 (CEST)

Ich finde Ihre Änderung macht den Artikel sehr kompliziert. Von vielen Anfängern, welche mit Mannigfaltigkeiten nicht vertraut sind, wurde oftmals bemängelt, dass der Artikel zu unverständlich sei. Insbesondere der erste Abschnitt sollte lieber ganz ohne Mannigfaltigkeiten auskommen.--Christian1985 17:52, 14. Sep. 2009 (CEST)

Ein Bild

Normalgebiet

... sagt mehr als viele Worte. Es sind überdies jetzt Vereinfachungen vorgenommen, die Ihrer Meinung, mit der Sie durchaus im Recht sind, entsprechen dürften (z.B. ist im klassischen Satz das Wort Mannigfaltigkeit ganz ausgemerzt worden). In diesem Sinne wünsche ich mir, dass der jetzige Entwurf, in den viel "Gehirnschmalz" hineingesteckt wurde, angeschaut und "gebont" bzw. "verbessert" wird. - MfG, 132.199.101.108 14:02, 18. Sep. 2009 (CEST)

P.S: Dies ist nicht zufällig so "schwer verständlich", sondern in der Tat eines der kompliziertesten Gebiete der Mathematik, an dem schon "Generationen geknackt haben" und noch "knacken werden". Oder wissen Sie, was ein "Kettenkomplex" ist? In der englischen Wikipedia wird auch das angesprochen. Hier ist gar nicht davon die Rede. Das ist schon ein Fortschritt.

Ich habe die Ms und Gs mal in Sigma umbenannt damit sie dem Bild entsprechen. Zu viele Symbole machen nur wirr. Der Begriff der Mannigfaltigkeit wurde leider nicht ausgemärzt. Er steht noch in den Einzelnachweisen und als Untermannigfaltigkeit im eigentlichen Abschnitt drin. Den Begriff der Mannigfaltigkeit durch den der Fläche zu ersetzen, hilft meiner Ansicht nach auch nicht weiter, schaut man in die Definition einer Fläche so ist man wieder bei der Mannigfaltigkeit. Außerdem braucht die Fläche meines Wissen nach noch eine differenzierbare Struktur. Ich habe ein Skript gefunden, in welchem der Satz von Gauß für sogenannte Normalgebiete eingeführt wurde (siehe Abb) und der Satz von Green noch Erwähnung findet. Vielleicht kann man ja ein Gebiet konstruieren, welches ähnlich dem Normalgebiet ist, jedoch noch in der dritten Dimension gebogen ist, aber trotzdem halbwegs einfach zu parametrisieren ist. Und den Satz von Stokes in einer ersten Version nur für diese Gebiete erklären. Eventuell wird das aber auch viel zu technisch.

Sicherlich weiß ich, was ein Kettenkomplex ist. Der Abschnitt in der englischen Wikipedia ist für mich sehr interessant. Ich muss zugeben, dass ich das noch nicht wusste. Das Problem des Satzes von Stokes ist meiner Ansicht nach viel mehr, dass Menschen insbesondere Physikstudenten des ersten Semesters also ohne große mathematische Vorbildung schon mit diesem Satz konfrontiert werden. Hat man einmal das Kalkül der Differentialformen verstanden so sind zumindest schon ein paar der sieben Siegel dieses Satzes gelöst. --Christian1985 16:14, 18. Sep. 2009 (CEST)

Jetzt habe ich die Elimination des Begriffes "Mannigfaltigkeit" aus der klassischen Variante des Satzes vervollständigt. Passt's so ? - MfG, 87.160.57.38 17:02, 19. Sep. 2009 (CEST)

PS²: Die Vorstellung bzw. Identifikation "Mannigfaltigkeit ~ (gekrümmte) Integrationsfläche" ist zwar mathematisch gesehen unvollständig, aber trotzdem didaktisch hilfreich. Oder? Nichts gegen Kettenkomplexe und Simplizes und "exakte Homologie- oder Kohomologie-Sequenzen", das sind ehrenwerte Begriffe der algebraischen Topologie, aber was helfen sie? Man muss die Leser, wenns geht, nicht allzusehr abschrecken; manchmal scheint es nicht anders zu gehen, aber auch in diesem Punkt kann man sich täuschen. Ursprünglich war im Artikel gar kein "klassischer Vorspann" und gar kein Bild enthalten und alles war total abstrakt und dementsprechend abschreckend. Sie haben Recht, konkrete Verbesserungen sind möglich. Sie sind sogar schon passiert und trotzdem weiterhin möglich; man muss also am Ball bleiben: Weiter so mit den Verbesserungen bzw. Verbesserungs-Versuchen. Vielleicht gibt es ein suggestives Bild auch für die allgemeine Formulierung? (nicht signierter Beitrag von 87.160.57.38 (Diskussion | Beiträge) 18:10, 19. Sep. 2009 (CEST))

Erst jetzt verstehe ich auch Ihre Zeichnung und werde sie in den Artikel einbauen. Danke! - MfG, 87.160.102.17 07:50, 20. Sep. 2009 (CEST)

Das mit dem Abschrecken ist wohl ein wichtiges Thema, jedoch ist Wikipedia meiner Ansicht nach kein Lehrbuch, welches die mathematische Exaktheit auf Grund didaktischer Gründe aufs Spiel setzt. Als ich im ersten Semester des Mathematikstudiums war, habe ich viele didaktische Reduktionen im meinem schulischen Mathematikunterricht entdeckt und empfand es im Nachhinein als sehr kontrakproduktiv. Insbesondere wurden mir in der Schule wohl auch aus didaktischen Gründen falsche dinge beigebracht. Aus diesem Grund bin ich der Ansicht, dass der Satz doch mathematisch exakt formuliert sein sollte. Insbesondere gibt es auch Leser des Artikels, welche eine gewisse Vorbildung haben und den Satz eigentlich kennen und nur einmal schnell ein Detail nachschlagen wollen. Aber ich habe eine Idee. Wir ändern den Begriff der Integrationsfläche in reguläre Fläche um und verlinken ihn zu einem Artikel, den ich dann wohl noch schreiben muss. Eine reguläre Fläche ist eine topologische Fläche mit differenzierbarer Struktur und die Jacobi-Matrix der Karten-Homöomorphismen haben vollen Rang. Dann ist der Satz richtig dargestellt und die Anfänger können einfach mit dem anschaulichen Begriff Fläche arbeiten. Außerdem kann man in diesem neuen Artikel Beispiele solcher Flächen anbringen. Das Bild des Normalgebietes würde ich eher zu dem ersten Beispiel tun, denn auf diesen Gebieten wird doch der Satz von Stokes zum Spezialfall des Satzes von Green. Oder? --Christian1985 15:06, 20. Sep. 2009 (CEST)

Oder? Ich würde sagen: Nein! Im Gegenteil: "Green" (wie auch "Gauss" und "Kelvin") ist m.E. ein Spezialfall von "Stokes" , bestenfalls sind beide äquivalent. Aber: Ist das Wesentlich? Wenn letzteres (also: die Aquivalenz) der Fall ist, dann sollte das im Artikel explizit erwähnt werden.- Auf jeden Fall heißt es mit Recht "der allgemeine Satz von Stokes", und nicht "der allgemeine Satz von Green". Und weiter: gibt es überhaupt die einzig mögliche Formulierung des Satzes? Ich würde sagen: so didaktisch wie möglich, aber trotzdem total-exakt (was nicht Anti-Redundanz impliziert), eben ganz für den berühmten Wikipedia-Leser geschrieben, ganz gleich ob er Nicht-Fachmann oder Fachmann ist. Das ist sehr schwer, und m.E. machen Sie es sich viel zu einfach.- Übrigens gibt es einen Unterschied zwischen "Didaktik" und "Didaktik": Dies ist eine Aufgabe, die weder in der Schule noch in der Mathematik an der Hochschule geleistet wird: An der Schule ist man, etwas übertrieben gesagt, "didaktisch, aber falsch", an der Hochschule sind die Mathematiker "exakt, aber undidaktisch" (es wird jede Kleinigkeit gesagt, wobei aber zugleich Redundanz total verpönt ist). D.h. man ist schon dadurch "undidaktisch", Und zwar m.E. "bewusst undidaktisch". Mit den Physikern ist es noch schlimmer: "total unexakt und zugleich total undidaktisch" (schlicht gesagt: meistens wird "gepfuscht", und trotzdem wird das Wesentliche nicht gesagt). Die Wikipedia sollte ausgesprochen didaktisch (und zugleich möglichst vollständig), aber zugleich nicht falsch (sondern durch und durch logisch sauber) sein. Und außerdem gut geschrieben. Die richtige Zielvorstellung ist die Kombination "didaktisch" (viel didaktischer als die Mathematiker) und "trotzdem nicht falsch" (also nicht wie in der Schule sondern logisch folgerichtig und sauber). Und außerdem in einem guten Stil geschrieben. Hehre Ziele, kaum zu erreichen. Was die Vollständigkeit betrifft: die muss man von vornherein aufgeben. Aber es kommt darauf an, das Wesentliche zu sagen, und möglichst gut zu sagen. Nicht alles, was irgendjemand fragt, ist "wesentlich", aber wenn jemand fragt, sollte man sich fragen, ob die Frage nicht vielleicht doch einen Artikel verdient. Das ist meistens der Fall. - MfG, 132.199.38.104 12:25, 21. Sep. 2009 (CEST)

Hallo, ich habe nicht gemeint, dass der Satz von Stokes ein Spezialfall des Satzes von Green ist. Ich habe es jedoch falsch ausgedrückt. Es ist natürlich genau anders herum. Der Satz von Green ist ein zweidimensionaler Spezialfall des Satzes von Stokes. Deshalb schlug ich vor das Bild des Normalgebietes an diese Stelle des Textes zu verschieben. Denn wählt man ein Normalgebiet und einen entsprechendes Vektorfeld und setzt dies in den Satz von Stokes ein, so erhällt man den Satz von Green.

Sie sagen, dass die Mathematiker völlig undidaktisch Arbeiten. Gut dem stimme ich Ihnen zu. Jedoch ist mir Exaktheit wichtiger als der didaktisch gute Zugang. Lässt sich beides verbinden, ist es um so besser. Vielleicht finden wir hier ja eine solche Lösung. Jedoch spricht es doch für sich, dass Schule "didaktisch, aber falsch" und Uni "exakt, aber undidaktisch" ist. Scheintbar wurde in diesen Institutionen das ehrbare Ziel beides zu verbinden längst begraben. Für mich zeigt dies, dass dieses Ziel äußerst schwer zu erreichen ist.

Zu meinem oben genannten Vorschlag haben Sie noch nicht geäußert. Meiner Ansicht nach ist das Lemma zur Zeit nicht exakt, denn eine Fläche, worunter ich eine topologische Fläche verstehe, ist im Allgemeinen kein Gebiet auf dem ich den Satz von Stokes anwenden kann. Ich bin gerade dabei Literatur zu regulären Flächen zu suchen. Sind Sie damit einverstanden die Flächen und Integrationsflächen dieses Artikels in reguläre Flächen umzubenennen und diese dann auf den entsprechenden Artikel, den ich schreiben werde zu verlinken? --Christian1985 13:10, 21. Sep. 2009 (CEST)

Man kann doch einfach schreiben: ... Fläche (Topologie) (präziser: reguläre Fläche) ..., und dann, soweit möglich, alles so lassen wie bisher oder eventuell einzelne Präzisierungen anbringen. - Übrigens: m.E. bringt die Zeichnung einen wichtigen Erkenntnisgewinn gerade auch für den "allgemeinen" Satz. In der englischen Version habe ich versucht, es noch präziser darzustellen. - MfG, 132.199.101.108 13:39, 21. Sep. 2009 (CEST)

Ich habe nun eine erste Version des Lemmas "reguläre Fläche" geschrieben und hier verlinkt. Außerdem habe ich an diesem Artikel noch einige kleinere Sachen verändert. Unteranderem habe ich die Linienintegrale zum Großteil in normal Integrale zurückverwandelt. Mir fällt gerade kein Mathematikbuch ein, welches diese Linienintegrale beim Satz von Stokes verwendet. Zur Sicherheit habe ich auch noch schnell in die wohl Standardwerke von H. Heuser, K. Königsberger und Amann & Escher zum Thema Analysis 2/3 geschaut, diese verzichten auf die Linienintegrale. Meiner Meinung nach suggerieren diese Linieninterale dem Leser nur, dass es sich um eine ganz andere Art von Integral handeln müsse, was natürlich nicht stimmt. Selbst im dreidimensionalen Fall des Satzes muss das Integral über den Rand nicht zwangsläufig ein geschlossenes Linienintegral sein. Man kann zB die obere Halbebene als Integrationsbereich nehmen, dann erhällt man als Rand ganz IR. Aber zugegebenermaßen ist das ein pathologisches Beispiel und für die Anschauung ist die geschlossene Linie okey.

Tau?

Im Teil "Klassischer Integralsatz von Kelvin-Stokes" wird nirgendwo tau definiert! Ich denke mal es ist der einheitsvektor entlang des Randes? -- JosseleX 12:34, 10. Nov. 2010 (CET)

Ja, dies ist richtig. Und ja, das sollte erklärt werden. -- Digamma 21:36, 10. Nov. 2010 (CET)

Folgerung?

Wie kommt man auf die Folgerung? Wenn ich die Differentialform ω=x₁dx₂^...^dx_n wähle, dann integriere ich doch über das Volumen der Untermannigfaltigkeit. Ich glaub entweder muss die Differentialform geschlossen sein, oder die Untermannigfaltigkeit randlos sein. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 08:47, 14. Jun. 2012 (CEST))

Mannigfaltigkeiten sind doch immer randlos, außer es steht etwas anderes dabei. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 08:54, 14. Jun. 2012 (CEST)

Tut mir Leid, mein Beispiel war etwas merkwürdig. Ich meine, wenn ich jetzt U=(-2,2) im R¹ betrachte und dann die Mannigfaltigkeit (-1,1) betrachte. Dann hat diese einen Rand und der Satz von Stokes ist dann nur der Hauptsatz. Sonst hätte ja jede offene Teilmenge Maß null. Denn wenn ich ω=x₁dx₂^...^dx_n wähle, dann ist dω die Volumenform. Und ich hielt es nicht für natürlich, dass diese primitivsten Mannigfaltigkeiten ausgeschlossen werden. Ich hab jetzt das Adjektiv randlos hinzugefügt. Zumindest finde ich das sinnvoll^^ (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 16:00, 14. Jun. 2012 (CEST))

(BK)Also die Folgerung passt in ihrer Formulierung nicht so ganz zur vorher gewählten Formulierung des Satzes von Stokes, denn in der Folgerung wird von Untermannigfaltigkeiten gesprochen und im Abschnitt zum Satz von Stokes nur von Mannigfaltigkeiten. Jedoch ist die Aussage des Folgerung richtig. Du findest sie beispielsweise im 3. Analysis-Buch von Forster oder im Buch von Lee, das in diesem Artikel unter Literatur angegeben ist.

Die Mannigfaltigkeit (-1,1) hat tadsächlich keinen Rand. Der Begriff des Randes ist in Bezug auf Mannigfaltigkeiten nämlich ein anderer als in der Topologie, vergleiche dazu den Artikel Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Artikel basiert auf dem oben erwähnten Buch von Lee. Um den Artikel verständlicher zu machen, schlage ich vor noch eine weitere Version des Satz von Stokes anzuführen. Nämlich diese hier für Untermannigfaltigkeiten. An dieser sieht man recht einfach, wie man den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung aus dem Satz von Stokes rausziehen kann. --Christian1985 (Diskussion) 16:11, 14. Jun. 2012 (CEST)

Die geänderte Formulierung mit "randlos" ist auf jeden Fall weniger missverständlich. Natürlich wird das vorausgesetzt. Es gilt ja im Allgemeinen für kompakte (Unter-)Mannigfaltigkeiten mit Rand:

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega$

Hat die Mannigfaltigkeit keinen Rand, so ist das Integrationsgebiet rechts die leere Menge und damit das Integral 0.

@Wotan.Odin: Das offene Intervall (-1,1) ist natürlich keine kompakte Mannigfaltigkeit. Deswegen gilt die Folgerung hier nicht. Nimmt man das abgeschlossene Intervall, so ist es keine randlose Mannigfaltigkeit. Aber wie Christina1985 richtig sagt: Eine "Mannigfaltigkeit" ohne Zusatz ist per definitionem randlos. Um dem Missverständnis vorzubeugen gibt es den Begriff "geschlossen": Eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand. Man könnte hier also einfach "geschlossen" schreiben. Dann müsste man für Nicht-Fachleute den Begriff aber erst einführen. --Digamma (Diskussion) 19:30, 14. Jun. 2012 (CEST)

@Christian: Ich komme mit dem Link nur auf das Buch von Forster ansich, aber nicht direkt auf den Satz. Man braucht für den Satz von Stokes keine eigene Formulierung für Untermannigfaltigkeiten. Man muss nur definieren, was das Integral einer k-Form über eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist (und braucht die Tatsache, dass $i^{*}(d\omega )=d(i^{*}\omega )$). --Digamma (Diskussion) 19:40, 14. Jun. 2012 (CEST)

Vielleicht kannst Du in dem Buch von Forster direkt auf Kapitel 21 klicken, dann kommst Du auf die richtige Seite. Dort wird der Satz von Stokes mittels Untermannigfaltigkeiten formuliert. Im Prinzip ist das natürlich nicht viel anders als hier im Artikel. Meine Gedanke war, dass diese Formulierung eventuell "Omas" eher zusagen könnte, weil sie dafür weder den Begriff der glatten Mannigfaltigkeit nach den des Randes einer Mannigfaltigkeit kennen müssen.--Christian1985 (Diskussion) 23:46, 15. Jun. 2012 (CEST)

Macht das für Oma einen großen Unterschied, ob sie Untermannigfaltigkeiten oder abstrakte Mannigfaltigkeiten kennen muss? Aber vielleicht sollte man den Satz sowohl für abstrakte Mannigfaltigkeiten als auch für Untermannigfaltigkeiten formulieren. Ein zweiter Unterschied bei Forster ist aber, dass er ihn nicht für (Unter-)mannigfaltigkeiten mit Rand formuliert, sondern für kompakte Teilmengen mit glattem Rand. Bei uns im Artikel ist er für Mannigfaltigkeiten mit stückweise glattem Rand formuliert. Das habe ich noch nie gesehen. Ich kenne eigentlich nur Mannigfaltigkeiten mit glattem Rand. Alles andere ist sehr schwierig exakt zu definieren. Wenn man stückweise glatte Ränder zulassen will, dann sollte man auf jeden Fall kompakte Teilmengen von (echten) Mannigfaltigkeiten nehmen. Dann kann man die Bedingung an den Rand sogar noch weiter abschwächen (nicht in der Formulierung des Satzes, sondern als Verallgemeinerung) zu lipschitz oder rektifizierbar. --Digamma (Diskussion) 09:37, 16. Jun. 2012 (CEST)

Randintegral

Der Begriff "Randintegrale" wird verwendet, aber weder erklärt, noch verlinkt (es gibt keine Wiki-Seite). Ich gehe schlicht davon aus, dass es das Kurvenintegral über den Rand sein soll - falls ja, könnte das ja kurz und schmerzfrei hinzugefügt werden. (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:F323:2980:F924:2153:7FF2:1DF1 (Diskussion | Beiträge) 13:10, 14. Okt. 2013 (CEST))

Der Rand braucht im allgemeinen Fall keine Kurve zu sein, sondern eine $n-1$-dimensionale Mannigfaltigkeit. --Digamma (Diskussion) 20:47, 14. Okt. 2013 (CEST)

Wie bitte?

"Bei hinreichender Verfeinerung der Pflasterung ist das im Allgemeinen fast elementar."

Mag mal jemand diesen Satz erläutern, besonders die letzten drei Wörter? --129.13.72.197 16:47, 3. Aug. 2015 (CEST)

Mathematischer Unsinn

Im Artikel steht richtig " *dS", dann steht da auch noch unsinniger Weise, "man schreibt auch ' *dr'". Wie man schriebt auch? So ganz einfach, kann jreder schreiben was er will? Ganz offensichtlich ist beides nicht dasselbe. Die von mir gemachte Korrektur wurde sofort ungültig gemacht. Offenbar weden hier Mathematikartikel von Banausen geschrieben. (nicht signierter Beitrag von 46.223.163.46 (Diskussion) 18:03, 13. Jan. 2020 (CET))

Wo soll das stehen? Deine Korrektur war Unsinn. Links steht ein Flächenintegral über $\operatorname {rot} ({\vec {F}})$, rechts ein Kurvenintegral über ${\vec {F}}$. Das $dS$ ist das Flächenelement, $dr$ das Wegelement. --Digamma (Diskussion) 22:09, 13. Jan. 2020 (CET)

Vektorpfeile 2

Ich bin dafür, bei den klassisischen Integralsätzen Vektoren und Vektorfelder durch Vektorpfeile zu kennzeichnen. Insbesondere auch um das skalare Flächenelement $dS$ vom vektoriellen Flächenelement $d{\vec {S}}={\vec {\nu }}dS$ und das skalare Wegelement $dr$ vom vektoriellen Wegelement $d{\vec {r}}={\vec {\tau }}dr$ zu unterscheiden. --Digamma (Diskussion) 22:23, 13. Jan. 2020 (CET)

Das stört mich auch bei verschiedenen Artikeln zur Elektrodynamik, wo einige meinen eine Art Fettdruck für Vektoren hätte sich eingebürgert, ich selbst kann bildlich schlecht unterscheiden ob Fettdruck oder nicht (einer war der Meinung Pfeile sind nur was für die Schule und nicht für Leute mit Universitätsniveau).--Claude J (Diskussion) 00:19, 14. Jan. 2020 (CET)

Fettdruck gibt es hier aber gar nicht. Da waren eher Mathematiker am Werk, die der Meinung sind, dass es sich aus den Deklarationen ergibt, ob es sich um Vektoren oder Skalare handelt. Vielleicht aus der Differentialgeometrie, wo Vektorpfeile eher unüblich sind. --Digamma (Diskussion) 20:29, 14. Jan. 2020 (CET)

In der Physik und Ingenieurwesen nicht (die Diskussion befand sich übrigens bei Biot-Savart-Gesetz, wo jemand keine Pfeile mehr haben wollte). Ich kann mich im Übrigen aber der obigen Meinung von Hanfried Lenz anschließen. Mich stört das zwar nicht sonderlich, aber Schüler und Studienanfänger wahrscheinlich schon.--Claude J (Diskussion) 21:02, 14. Jan. 2020 (CET)

Du meinst, dass zuerst der klassische Satz von Stokes behandelt werden sollte, vor der Verallgemeinerung auf Differentialformen? Ich würde sogar sagen, dass das zwei komplett unterschiedliche Sätze sind, die eigentlich getrennte Artikel verlangen. Das schließt natürlich nicht aus, dass die klassischen Integralsätze im allgemeinen Satz nicht als Spezialfälle genannt werden sollen. Aber der klassische Satz von Stokes ist genauso wie der gaußsche Integralsatz oder der Satz von Green ein eigenständiger Satz, der einen eigenen Artikel haben sollte.

Was die Vektorpfeile betrifft: Ich möchte gern noch ein bisschen warten, ob es Widerspruch gibt, dann werde ich sie einfügen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 21:31, 14. Jan. 2020 (CET)

Torus nicht immer gleich Rettungsring

Rettungsring in Hufeisenform

Vielleicht findet man einen bessere Vergleich für OmAs, die sich unter einem Torus nichts vorstellen können. Ein Rettungsring muss nicht immer ringförmig sein und schon gar nicht immer einen runden Querschnitt haben. Durch die WP:Vorschaufunktion würde es auch reichen, das Wort Torus zu verlinken und auf derart Vergleiche ganz zu verzichten, auch wenn das SVG-Bild für einen Torus leider nicht perspektivisch korrekt gezeichnet wurde. --≡c.w. @… 14:52, 3. Nov. 2022 (CET)