Diskussion:Selbstabbildung

Endomorphismus

Der Artikel sollte mit dem Lemma Endomorphismus in Bezug gebracht oder dort eingebaut werden. --Squizzz 17:53, 11. Dez. 2006 (CET)

Hallo Squizzz, ich muß zugeben das ich mich mit Linearer Algebra nicht so gut auskenne. Daher kann ich die Richtigkeit des folgenden Zitats aus Homomorphismus nicht einschätzen. "Homomorphismen von K-Vektorräumen, also Räumen die für die Multiplikation einen Körper K "heranziehen" müssen, sind besser bekannt als lineare Abbildungen." Eine Selbstabbildung muß nat. nicht linear sein. Grüße --Mathemaduenn 09:20, 12. Dez. 2006 (CET)

Das ist vollkommen korrekt. Deshalb sprach ich ja von „in Bezug“ bringen. --Squizzz 12:16, 12. Dez. 2006 (CET)

"Selbstabbildung" wird (ausserhalb der Kategorientheorie) synonym zu "Endomorphismus" verwendet. Bei dynamischen Systemen verwendet man im deutschen Sprachgebrauch aber eher "Selbstabbildung" und kaum "Endomorphismus". Daher wäre im Grunde ein Redirect auf Endomorphismus das Richtige, dort sollte dann noch ein Satz zur Selbstabbildung stehen. Zuerst fand ich es schade wegen des Beispiels... dafür gibt es aber bereits logistische Abbildung. --Enlil2 21:28, 12. Dez. 2006 (CET)

Hallo Enlil2, eine synonyme Verwendung ergibt aber den von mir angegebenen Widersruch. Grüße --Mathemaduenn 09:43, 18. Dez. 2006 (CET) Da hab ich erst hier geschaut und dann auf den Artikel ist ja schon alles gegessen;-)--Mathemaduenn 09:48, 18. Dez. 2006 (CET)

Nein, das ergibt keinen Widerspruch, weil niemand sagt, dass Homomorphismen linear sein sollen. --Enlil2 22:35, 18. Dez. 2006 (CET)

Das besagt doch das oben angegebene Zitat für das im hier diskutierten Artikel angegebene Beispiel. --Mathemaduenn 01:11, 19. Dez. 2006 (CET)

Literatur

Ich habe gerade mal versucht Literatur über Selbstabbildungen zu finden. Das ist gar nicht so einfach.

In „Basiswissen Angewandte Mathematik“ von Burkhard Lenze steht auf S. 28 folgende Definition:

Es sei $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein nichtleeres abgeschlossenes Intervall und $\Phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Abbildung. Dann heißt $\Phi$ Selbstabbildung bezüglich $[a,b]$, falls gilt:

$x\in [a,b]\Rightarrow \Phi (x)\in [a,b]$

Beispiel:

Die Funktion $\Phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$\Phi (x):={\frac {5}{2}}x(1-x),x\in \mathbb {R}$,

ist eine Selbstabbildung bezüglich des Intervalls $[{\frac {7}{20}},{\frac {13}{20}}]$ [...]

In meinem Skript für Lineare Algebra von Herrn Prof. Dr. Leuzinger steht nur

Eine Abbildung $f:A\rightarrow A$ einer Menge A in sich selbst heißt Selbstabbildung der Menge A.

Die Definition von Prof. Leuzinger scheint mir deutlich weniger zu fordern als die von Lenze. So ist bei Prof. Leuzinger kein Intervall gefordert.

Habt ihr weitere Quellen dazu? Ich wäre auch schon über weitere Skripte bzw. auszüge daraus froh. --Martin Thoma 22:11, 25. Aug. 2012 (CEST)

Das steht z.B. in dem kurzen Skriptum Grundbegriffe der Mengenlehre von Rolf Walter. Wenn Lenze es nicht so allgemein braucht, definiert er es halt für seine Zwecke spezieller. --95.208.204.228 12:58, 9. Jun. 2023 (CEST)

Beispiele

Wenn das 2. Beispiel mit den Natürlichen Zahlen wirklich eine Selbstabbildung sein sollte, dann ist meiner Meinung nach die Definition von Selbstabbildungen falsch, denn ich kann mit dieser Abbildung niemals die Zahl 0 bzw. 1 (je nach Definition der Natürlichen Zahlen) als Zielwert erreichen, ohne den Definitionsbereich zu verlassen. (nicht signierter Beitrag von AlanMcFreyson (Diskussion | Beiträge) )

Das A rechts vom Pfeil bezeichnet nur die Zielmenge. Dass die Abbildung surjektiv ist, d.h. jedes Element der Zielmenge tatsächlich als Funktionswert auftritt, wird bei der Definition der Selbstabbildung nicht verlangt. --95.208.204.228 12:29, 9. Jun. 2023 (CEST)

Definition von Automorphismus

Da steht: "Eine strukturverträgliche Selbstabbildung ist strukturerhaltend und wird als Endomorphismus bezeichnet. Ist diese Abbildung außerdem umkehrbar und ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls strukturerhaltend, dann heißt sie Automorphismus." Das stimmt aber so nicht, sondern man muss die Surjektivität in irgendeiner Weise fordern, sei es explizit oder durch die Definitionsmenge der Umkehrabbildung, die identisch zu der der Ausgangsfunktion sein muss. Z.B. ist die Abbildung von x auf x/2 im topologischen Raum [0,1] natürlich ebenso wie ihre Umkehrung strukturerhaltend bzgl. $\leq$, aber kein Automorphismus, da nicht surjektiv. --2003:E5:B717:E349:DD96:468A:E65F:C9AE 23:42, 8. Jun. 2023 (CEST)

Hallo,

ich habe den Begriff umkehrbar als bijektiv verstanden. Wo kommt jetzt die Injektivität her? --Christian1985 (Disk) 00:02, 9. Jun. 2023 (CEST)

Umkehrbarkeit heißt nur, dass es als Abbildung von der Definitionsmenge auf die Bildmenge bijektiv ist. Aber die Surjektivität als Abbildung auf die Zielmenge ist darin nicht enthalten. Es würde doch sicher keiner behaupten, dass die oben erwähnte Funktion $x\mapsto x/2$ als Abbildung von [0,1] nach [0,1] (oder auch nach $\mathbb {R}$) nicht umkehrbar sei.

Die Injektivität folgt jetzt (wie auch schon vorher) aus der Forderung der Umkehrbarkeit.

Übrigens mag das Zeug mit den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt interessant sein, aber hier in diesem Artikel lenkt es eigentlich nur vom Wesentlichen ab. --2003:E5:B717:E349:DD96:468A:E65F:C9AE 01:14, 9. Jun. 2023 (CEST)