Diskussion:Taylor-Formel

Was ist üblicher?

Was ist üblicher: Taylor-Formel oder Taylorformel? Was sagt der Duden? Stern 16:09, 7. Apr 2004 (CEST)

Siehe Diskussion:Taylorreihe. Wir sollten das an einer Stelle besprechen. --SirJective 17:56, 7. Apr 2004 (CEST)

Beispiele

Könnte außer mir noch jemand die Taylorreihe für den Cosinus nachrechnen. Wenn ich das so durchrechne haut das nicht hin. --Elasto 16:59, 14. Nov 2004 (CET)

Stimmt schon, hab's nachgerechnet.--Sebi 21:32, 11. Apr 2005 (CEST)

Restglieder Indizes

ich habe gerade die Grundformel in T_n + R_n (vorher T_n + R_n+1) korrigiert, da damit zumindest das Integralrestglied so wie im Artikel definiert falsch wäre... Leider bin ich mir unsicher ob damit die anderen Restglieder noch konsitent sind .. in der Vergangenheit wurde da auch viel geändert .. kann das mal jemand kpl. verfizizieren? Habe dazu leider momentan keine Zeit :( --Self 22:26, 1. Mär 2006 (CET)

die Literatur die ich (zugebenermaßen etwas längerer Zeit) gelesen habe gibt aber f(x)=T_n + R_{n+1} an. - Xorx77 21:42, 7. Mär 2006 (CET)

Ich habe den Eintrag mal anhand ISBN 3-923923-35-X verfiziert. So wie es jetzt dasteht, entspricth es der Version des Buches. --Qbi 14:49, 8. Mär 2006 (CET)

Ich bin nur ein kleiner Mathe-Student und traue mich nicht im Artikel etwas zu ändern. Allerdings glaube ich, dass es beim letzten Restglied wie folgt heißen müsste:

$\lim _{x\to a}{\frac {R_{n}(x)}{(x-a)^{n}}}=0$

-- 20:42, 12. August 2007 (CET)

Stimmt, hab es korrigiert. --Moiner 17:40, 21. Nov. 2007 (CET)

Beweis

Habe den Beweis geändert, damit man ihn leichter nachvollziehen kann. Es scheint vorher nicht so recht klar gewesen zu sein, was eigentlich gezeigt werden muss. Schließlich ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass

$\sum \limits _{k=0}^{n+1}\left({\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)dt=f(x)$

gilt!

Hat schon jemand geprüft, ob die Restgliedformeln stimmen, d.h. ob es dort $R_{n}$ oder $R_{n+1}$ heißen muss? Aus der Literatur kenne ich die Schreibweise $R_{n+1}$, aber da wird normalerweise auch $f(x)=T_{n}(x)+R_{n+1}(x)$ gesetzt (so wie im Artikel definiert, dabei aber $R_{n+1}(x)$ statt $R_{n}(x)$).

--daFlipmode 23:13, 07. Apr 2006 (CET)

--> Also in meinem Buch steht auch $R_{n}$, hab noch nie irgendwo $R_{n+1}$ gesehen.

Warum gibt es eigentlich so viele Artikel mit dem Taylorpolynom?

Gruß, --Asa

Ganz zu schweigen davon, dass ich den Beweis über die Integralform wenig ästhetisch finde, möchte ich anmerken, dass hier eine ${\mathcal {C}}^{n+1}$-Funktion n+2 mal differenziert wurde. Und auch wenn der Forster das ebenso macht - es wird dadurch nicht besser, es ist schlichtweg falsch. Sanya V Litvyak (19:46, 24. Nov. 2011 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

hallo - sowie ich das sehe passiert das in der behandlung des falles (n+1), dann ist die funktion f aber laut Vorausetzung des satzes (n+1)+1=n+2 mal stetig differenzierbar - das sollte man aber vielleicht im artikel ergänzen- Wdvorak 16:18, 25. Nov. 2011 (CET)

Ich glaube, dass du hier etwas durcheinanderbringst. Die Induktion ist über das Ende der Summe und nicht über die Anzahl an stetig differenzierbaren Ableitungen. Diese Integralform ist ja für jedes $k\leq n$ per Induktion beweisbar. Würden wir über die Anzahl stetig diffbarer Ableitungen induzieren, müsste jede Funktion, auf die ich das anwende, automatisch in ${\mathcal {C}}^{\infty }$ liegen, weil ich ja für jede Integralform die jeweils nächste Ableitung brauche ... :| Gegenvorschlag für den Beweis per Induktion wäre der Schritt von n-1 zu n oder das Voraussetzen von ${\mathcal {C}}^{\infty }$ ... -- Sanya V Litvyak 20:46, 25. Nov. 2011 (CET)

ich glaube du hast mich missverstanden (oder ich dich ;) )

für mich ist der satz so wie er da steht, ein satz der für alle natürlichen zahlen n gilt:

Wenn f (n+1) mal stetig differenzierbar dann gilt $f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

nehmen wir n=0 dann ist f einmal stetig differenzierbar und wir erhalten den Fundamentalsatz der Analysis (induktionsbasis)

für n=2 ist f 3 mal stetig differenzierbar und $f(x)=T_{2}(x)+R_{2}(x)$

insbesondere ist f dann aber auch 2 mal stetig differenzierbar und damit $f(x)=T_{1}(x)+R_{1}(x)$

jetzt zum induktionschritt - wir nehmen also an der satz hält für n und wollen den fall n+1 zeigen

Es gilt also wenn f (n+1) mal stetig differenzierbar ist dann ist $f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

zu zeigen ist: f ((n+1)+1) mal stetig differenzierbar => $f(x)=T_{n+1}(x)+R_{n+1}(x)$

da ein solches f auch (n+1) mal stetig differenzierbar ist kann ich die induktionshypothese verwenden und von

f(x) = T_n(x) + R_n(x) ausgehend , wie im artikel, f(x) = T_n+1(x) + R_n+1(x) zeigen.

lg Wdvorak 23:15, 25. Nov. 2011 (CET)

Danke, das klappt in der Tat - auch wenn es auch ohne das induzieren über die Anzahl der stetigen Ableitungen gehen würde. So oder so sollte im Artikel klar werden, worüber gerade induziert wird. lg -- Sanya V Litvyak 04:28, 28. Nov. 2011 (CET)

Na ja, induziert wird immer über die Variable n, die kommt in der Behauptung eben an mehreren Stellen vor. Ich war mal so frei und habe die Differenzierbarkeitsvoraussetzungen in den Beweis eingefügt. -- HilberTraum 11:50, 28. Nov. 2011 (CET)

Taylor-Formel im Mehrdimensionalen

Hier wäre ein Anwedungs-Beispiel gut, etwa für eine (quadratische) Approximation von einer mehrdimensioalen Funktion (analog zu den beispielhaften Näherungen für sin und cos im Eindimensionalen).

Ich finde, der teil ist viel zu kompliziert geschrieben. Wer den versteht, ist so gut in Mathe, dass er den Artikel nicht mehr lesen muss.

Das finde ich nicht, ich selber studiere Mathe und die übersichtliche Form hier hat mir sehr geholfen. (nicht signierter Beitrag von 88.77.222.22 (Diskussion | Beiträge) 19:28, 30. Jun. 2009 (CEST))

Ich habe mich dem mal angenommen und ein Beispiel erstellt. Bitte kann das jemand kurz durchsehen bevor ich es im Artikel selbst poste? Danke.

Beispiel für eine mehrdimensionale Entwicklung

Es soll die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,~~(x,y)^{T}\mapsto x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}$ mit $x,y\in \mathbb {R}$ um den Punkt ${\bar {P}}=(1,2)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$ entwickelt werden.

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden. Es gilt die mehrdimensionale Taylorentwicklung: $f({\hat {x}})\approx f({\bar {P}})+\left.\partial f({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}({\hat {x}}-{\bar {P}})+{\frac {1}{2}}({\hat {x}}-{\bar {P}})^{T}\left.\operatorname {H} _{f}({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}({\hat {x}}-{\bar {P}})$
mit ${\hat {x}}=(x,y)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}$, der Jacobi-Matrix $\partial f({\hat {x}})$ und der Hesse-Matrix $\operatorname {H} _{f}({\hat {x}})$.

Berechnen wir zunächst $\left.\partial f({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}$ und $\left.\operatorname {H} _{f}({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}$ in dem wir die partiellen Ableitungen bestimmen und anschliessend den Punkt ${\bar {P}}$ einsetzen:
${\begin{aligned}\left.\partial f({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}&=\left.\left({\frac {\partial f({\hat {x}})}{\partial x}},{\frac {\partial f({\hat {x}})}{\partial y}}\right)\right|_{\bar {P}}\\&=\left.(3x^{2}+2xy+y^{2},x^{2}+2xy+3y^{2})\right|_{\bar {P}}\\&=(11,17)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left.\operatorname {H} _{f}({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}&=\left.{\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f({\hat {x}})}{\partial ^{2}x}}&{\frac {\partial ^{2}f({\hat {x}})}{\partial y\partial x}}\\[0.5em]{\frac {\partial ^{2}f({\hat {x}})}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f({\hat {x}})}{\partial ^{2}y}}\end{pmatrix}}\right|_{\bar {P}}\\&=\left.{\begin{pmatrix}6x+2y&2x+2y\\[0.5em]2x+2y&2x+6y\end{pmatrix}}\right|_{\bar {P}}={\begin{pmatrix}10&6\\[0.5em]6&14\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Insgesamt ergibt sich also:
${\begin{aligned}f({\hat {x}})&\approx f({\bar {P}})+\left.\partial f({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}({\hat {x}}-{\bar {P}})+{\frac {1}{2}}({\hat {x}}-{\bar {P}})^{T}\left.\operatorname {H} _{f}({\hat {x}})\right|_{\bar {P}}({\hat {x}}-{\bar {P}})\\&=15+(11,17)(x-1,y-2)^{T}+(x-1,y-2){\begin{pmatrix}10&6\\[0.5em]6&14\end{pmatrix}}(x-1,y-2)^{T}\\&=5x^{2}+7y^{2}-11x-17y+6xy+15\end{aligned}}$

Würde man diese Taylorentwicklung bis zur dritten Ordnung weiterführen, so würde sich schlussendlich wieder exakt die Funktion f ergeben, da diese dritten Grades ist und somit der Restterm Null werden würde.

--Chromate 12:51, 17. Jul. 2010 (CEST)

Im Prinzip finde ich das Beispiel nicht schlecht. Obwohl es vielleicht besser wäre, ein Beispiel zu nehmen, bei dem die Funktion nicht ganzrational ist.

Die Bezeichnungen passen nicht zu der allgemeinen Form im Artikel. Ein erster Schritt wäre vielleicht, die allgemeine Form für den Fall von zwei Variablen zu spezialisieren, bzw., die Entwicklung zweiter Ordnung erst einmal statt mit Multiindizes mit Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix anzugeben. Sonst versteht man nicht, wie man von der allgemeinen Form zum Beispiel kommt.

Auch sonst komm ich mit Deinen Bezeichnungen nicht so ganz zurecht. Den Punkt mit ${\hat {x}}$ zu bezeichnen, wenn die Koordinaten $x$ und $y$ heißen, finde ich etwas seltsam. Leider fällt mir da auch keine einfache Lösung ein. Und warum wird der allgemeine Punkt mit einem Kleinbuchstaben ${\hat {x}}$ bezeichnet, der spezielle aber mit einem Großbuchstaben? Und warum der Strich über dem P? Die Bezeichnung $\partial f$ für die Jacobi-Matrix kenne ich nicht. Spaltenvektoren würde ich gleich als solche schreiben, statt als Zeile mit T, aber Punkte können meines Erachtens einfach als geordnetes Paar geschrieben werden. Nur wenn man mit Matrizen rechnet, ist es wichtig, Vektoren als Spalten zu schreiben.

Zum Stil: "wir" zu schreiben ist eher Lehrbuchstil, aber nicht enzyklopädisch. -- Digamma 20:48, 17. Jul. 2010 (CEST)

Du hast recht damit dass die Darstellung noch ueberarbeitet werden muss. Ich habe mich jetzt strikt an die Vorgaben aus dem Artikel gehalten bzgl. der Benennung der Variablen und das Beispiel nochmals mit der Multiindexschreibweise dargestellt. Einzig bei der partiellen Ableitung bin ich mathematisch ein klein anders vorgegangen und habe ${\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}$ strikter als $\left.{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=a}$ bezeichnet. Ich bin im Uebrigen auch dafuer, dass wir das im Artikel so machen, da die andere Schreibweise zwar gaengig, aber mathematisch nicht exakt ist.

Ansonsten habe ich noch einen kleinen Fehler in der Berechnung gefunden. Jetzt sollte das Ergebnis aber tatsaechlich stimmen.

Zu deinem Punkt, dass eine nicht ganzrationale Funktion besser waere: Ich bin der Meinung, dass das zwar stimmt, aber anschaulicher ist es mit einer ganzrationalen Funktion zu rechnen. Wer will kann sich naemlich bis zur dritten Potenz entwickeln und wird feststellen, dass die Taylorentwicklung dann exakt der Funktion entspricht. Das habe ich auch als Anregung dazu geschrieben und dich denke fuer ein Beispiel ist das ideal.

Kannst du mal ueber die neue Darstellung mit der Multiindexschreibweise schauen, ob alles passt? Danke. --Chromate 23:13, 17. Jul. 2010 (CEST)

Beispiel für eine mehrdimensionale Entwicklung (Multiindexschreibweise)

Es soll die Funktion

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,~~x\mapsto x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}^{3}$

mit $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ um den Punkt $a={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ entwickelt werden.

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden. Es gilt also $k=2$. Wegen $|j|\leq k$ müssen, gemäß der Multiindexschreibweise die Tupel $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$, $(1,1)$ und $(0,2)$ berücksichtigt werden.

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:

${\begin{aligned}f(x)\approx &f(x)|_{x=a}+{\frac {1}{1!}}\left.{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=a}(x_{1}-a_{1})+{\frac {1}{1!}}\left.{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{2}}}\right|_{x=a}(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}\left.{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x=a}(x_{1}-a_{1})^{2}+{\frac {1}{1!1!}}\left.{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right|_{x=a}(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}\left.{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{2}^{2}}}\right|_{x=a}~(x_{2}-a_{2})^{2}\\=&f(x)|_{x=a}+(3x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})|_{x=a}~(x_{1}-a_{1})+(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2})|_{x=a}~(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2}}(6x_{1}+2x_{2})|_{x=a}~(x_{1}-a_{1})^{2}+(2x_{1}+2x_{2})|_{x=a}~(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2}}(2x_{1}+6x_{2})|_{x=a}~(x_{2}-a_{2})^{2}\\=&15+11(x_{1}-1)+17(x_{2}-2)+10(x_{1}-1)^{2}+6(x_{1}-1)(x_{2}-2)+14(x_{2}-2)^{2}\\=&5x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}+6x_{1}x_{2}-11x_{1}-17x_{2}+15\end{aligned}}$

Würde man diese Taylorentwicklung bis zur dritten Ordnung weiterführen, so würde sich schlussendlich wieder exakt die Funktion f ergeben, da diese dritten Grades ist und somit der Restterm Null werden würde. --Chromate 23:13, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich werde es mir später anschauen. Gerade habe ich aber in die englische Version in en:Taylor series geschaut. Wie es dort steht gefällt mir sehr gut. Dort wird die Taylor-Entwicklung bis zur Ordnung 2 in drei Versionen dargestellt, so dass man den Zusammenhang mit dem Beispiel sieht. Das Beispiel dort verwendet eine e-Funktion und eine Logarithmusfunktion, so dass es weniger trivial erscheint.

Zur Nicht-Exaktheit der Schreibweisen: ${\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}$ ist in der Tat nicht exakt, denn hier wird erst a eingesetzt und dann abgeleitet. Diese Schreibweise taucht aber im Text nicht auf. Ich schreibe in der Regel ${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)$. Hier wird die Funktion $f$ abgeleitet, danach wird $a$ eingesetzt. Auch die Schreibweisen ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(a)$ und $D^{j}f(a)$ sind so zu verstehen. Der Differentialoperator wirkt nur auf das $f$, nicht auf $f(a)$. Erst nach dem Ableiten wird $a$ eingesetzt. Die Schreibweisen mit dem senkrechten Strich sind mir aus der Differentialgeometrie vertraut, in der Analysis habe ich sie aber eher selten gesehen.

In dem Beispiel würde ich einfach die partiellen Ableitungen an der Stelle a vorher ausrechnen, und dann in die fertige Taylorformel einsetzen.

Eigentlich gefällt mir dein ursprünglicher Zugang mit der Hesse-Matrix besser, deswegen würde ich eher, wie im englischen Artikel, den Fall der Entwicklung bis zur Ordnung 2 als Alternative zur Multiindexversion allgemein mit der Hesse-Matrix hinschreiben, und dann das Beispiel mit der Hesse-Matrix rechnen, also im Prinzip so, wie Du es zuerst gemacht hast.-- Digamma 09:41, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe eben auch kurz den englischsprachigen Artikel ueberflogen. Auch wir koennen von mir aus die Logarithmusfunktion oder die e-Funktion entwickeln. Ich dachte mir halt, dass es vielleicht anschaulicher ist wenn man das Beispiel mit einer ganzrationalen Funktion macht. Aber wenn du meinst, dass - auch in Bezug auf die Beispiele in 1D - eine Entwicklung von einer nicht ganzrationalen Funktion mehr Sinn macht, dann machen wir das. Mir auch recht.

Weiterhin sind beide Konzepte, also die Entwicklung mit Jacobi- und Hesse-Matrix und die Mutliindexentwicklung dahingehend unterschiedlich, dass bei der Multiindexentwicklung keine Berechnung doppelt auftaucht. Bei ersten Variante mit Jacobi- und Hesse-Matrix hingegen kommen teils Terme doppelt oder spaeter auch noch haeufiger vor, so dass diese Rechnung fuer Entwicklungen jenseits der zweiten Ordnung eigentlich unguenstiger ist als die Multiindexentwicklung, da mehr Rechenaufwand. Vielleicht kann man sogar durch Gegenueberstellung der beiden Rechenarten eines Beispiels diesen Vorteil der sonst komplizierter wirkenden Multiindexschreibweise hervorheben. Was meinst du dazu?

Und welche Funktion sollen wir jetzt schlussendlich entwicklen? Einigen wir uns, sonst muessen wir das noch etliche Male durchkauen. Da ist mir meine Zeit dann aber doch etwas zu schade fuer. --Chromate 10:06, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ich bin eher für ein Beispiel mit nicht-ganzrationalen Funktionen. Wenn Du das machen würdest, würde es mich freuen. Wenn Du aber lieber dein Beispiel hier nimmst, ist das auch gut. Und wenn Du die Gegenüberstellung machen möchtest: Gerne. Falls es sich zeigen sollte, dass es zu umfangreich wird, dann kann man ja daraus einen neuen Artikel "Mehrdimensionale Taylor-Formel" machen. Die Form mit Jacobi- und Hessematrix finde ich gut bei der Entwicklung bis zur Ordnung 2, weil man die Struktur besser erkennen kann. Insbesondere wird sie ja bei der Untersuchung von Extremstellen verwendet und in der Morsetheorie. -- Digamma 10:41, 18. Jul. 2010 (CEST)

Okay, dann machen wir eine nicht-ganzrationale Funktion. Dann ist es im Artikel auch einheitlich. Ich schau mir das die Tage mal an, weiss aber noch nicht genau zeitlich wann ich dazu komme. Ich melde mich dann wieder, wenn ich Ergebnisse habe. Das mit der Gegenueberstellung moechte ich auch einbauen, mal sehen wie gut mir das gelingt. Ich melde mich dann wieder. --Chromate 11:08, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ich freue mich darauf. Noch ein kleiner Tipp: Wenn Du größere Änderungen an einem Artikel unternimmst, dann ist es vielleicht tatsächlich nicht sinnvoll, direkt den Artikel zu bearbeiten. Du kannst dann eine Unterseite unter Deiner Benutzerseite anlegen (z.B. Benutzer:Chromate/Taylor-Formel und die Änderungen dort erarbeiten. Wenn Du sie mit anderen diskutieren möchtest, dann kannst Du diese ja auf der Diskussionsseite bitten, sich die Seite anzuschauen. -- Digamma 11:19, 18. Jul. 2010 (CEST)

Unter der oben angegebenen Seite (Benutzer:Chromate/Taylor-Formel) ist nun ein erster Entwurf fertig gestellt. Wer Lust und Zeit hat kann gerne mal drueber schauen und ggf. Verbesserungsvorschläge machen. --Chromate 15:44, 31. Jul. 2010 (CEST)

Restglied in der Form von Peano

Ich vermisse die Form von Peano bei den Restgliedern, bin mir aber unsicher ob das hier rein sollte...wenn ja, wie wäre es mit sowas:

Für das Restglied in der Form von Peano muss f "nur" n-mal stetig differenzierbar sein:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )-f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

-- Macks 17:38, 18. Jan. 2009 (CET)

Ist nun eingefügt. --Mathmensch (Diskussion) 22:13, 30. Dez. 2013 (CET)

Mehr Beispiele

Imo sollten mehr Beispiele gegeben werden - zumindest für exp und ln - a^b und log_a(b) kann man ja der vollständigkeit halber noch dazu definieren... momentanen finde ich die seite für schüler und erstsemestler keine große hilfe...

Dann schau mal auf Taylorreihe. Dort sind deine geforderten Beispiele gegeben. Aber du hast recht dieser Artikel ist nicht sonderlich informativ; er sollte mit Taylorreihe zusammengelegt werden. -- Xorx77 10:45, 6. Mär. 2009 (CET)

Xi?

Kann wer bitte hinzufügen was dieses fantastische $\xi$ bedeuten soll? Dass es "zwischen x und a liegt" hilft allerherzlich wenig weiter. Danke! -- 91.11.209.110 17:54, 1. Jun. 2009 (CEST)

das ist eine Variable, deren Wert zwischen a und x liegt... und mehr kann man zu ihr auch nicht sagen; sonst stünde es da. - Xorx77 18:05, 1. Jun. 2009 (CEST)

Klar, aber von was hängt ihr konkreter Wert denn ab? Willkürlich wird sie doch auch in dem Bereich nicht sein? -- 91.11.209.110 18:37, 1. Jun. 2009 (CEST)

sie hängt von der betrachteten Funktion, dem Entwicklungspunkt und dem Grad des Polynoms ab. Will man also über $\xi$ allgemeingültige Aussagen machen, so kann man ihn tatsächlich als zufällig (aber nicht willkürlich, da keiner eine Auswahl trifft) betrachten.

Sehe ich das richtig, dass man - um eine Abschätzung zu machen - dasjenige $\xi$ nimmt, für das der Wert vom Restglied am grössten wird? Damit kann man dann ja sagen, dass das Restglied garantiert kleiner oder gleich diesem Wert ist. Oder man setzt eine der beiden Grenzen a bzw. x ein, damit man eine solche Aussage treffen kann. --129.132.244.191 17:10, 28. Nov. 2011 (CET)

Für konkrete Abschätzungen muss man den größten Wert des Restgliedes bestimmen. Dies geschieht durch eine Kurvendiskusion über $\xi$ und anschließendem Einsetzen der Ränder a und x in das Restglied. Der absolut größte so berechnete Wert des Restglieds liefert die Abschätzung. -- Xorx77 15:27, 29. Nov. 2011 (CET)

Voraussetzungen

Bin auch nur ein kleiner Mathe-Student, aber es reicht bei der Lagrange-Darstellung, wenn die Funktion n+1-mal differenzierbar ist... (nicht signierter Beitrag von 141.70.82.221 (Diskussion) 14:31, 27. Aug. 2010 (CEST))

Das ist richtig. Vielleicht kannst Du das selbst in den Artikel einbauen. :-) -- Digamma 12:18, 30. Aug. 2010 (CEST)

k = 0 ???

Wie kann es sein das die Summe des Taylor Polynoms bei 0 beginnt ? Dann müsste die Auflösung ja mit Fakultät 0! beginnen , was sie aber nicht tun sollte

Oder sehe ich das gerade mathematisch falsch ? (nicht signierter Beitrag von Dark-Water (Diskussion | Beiträge) 01:02, 19. Jan. 2011 (CET))

Doch das tut sie, und ja, das siehst du falsch. Das 0-te Glied lautet formal

${\frac {f^{(0)}(a)}{0!}}(x-a)^{0}$

Die 0-te Ableitung von $f$ ist $f$, also $f^{(0)}(a)=f(a)$, Null-Fakultät ist 1, also $0!=1$ und nullte Potenzen sind auch 1, also $(x-a)^{0}=1$, daraus ergibt sich als nulltes Glied $f(a)$. -- Digamma 09:35, 21. Jan. 2011 (CET)

Problematisch wird nur $0^{0}$. --Mathmensch (Diskussion) 20:48, 30. Dez. 2013 (CET)

Nein, auch das ist nicht problematisch. Es gilt $0^{0}=1$, siehe Potenz (Mathematik)#Null hoch Null. --Digamma (Diskussion) 08:39, 31. Dez. 2013 (CET)

Restglied richtig?

Hallo, in anderen Quellen (u.a. Mathe-Enzyklopädie) habe ich gefunden, dass das Restglied in der Schlömilch-Form den Term (x-a)ⁿ⁺¹ hat anstelle von (x-a)^p. Damit ändert sich im Cauchy-Restglied dieser Term ebenfalls zu (x-a)ⁿ⁺¹ anstatt nur (x-a). Kann das bitte noch einmal jemand verifizieren, der davon wirklich Ahnung hat? Danke. (nicht signierter Beitrag von EinZweifler (Diskussion | Beiträge) 21:51, 11. Mär. 2011 (CET))

Könntest Du die Quelle bitte genauer angeben? In jeder Form des Restglieds muss x letztlich in der Potenz n+1 vorkommen. -- Digamma 14:11, 12. Mär. 2011 (CET)

Ergänzung: Falls Du http://www.mathepedia.de/Satz_von_Taylor_Taylorreihen.aspx meinst:

Dort wird mit $\Theta$ gearbeitet, hier mit $\xi$, wobei $\xi =x_{0}+\Theta (x-x_{0})$. Der Faktor $(x-\xi )$ entspricht dann $(1-\Theta )(x-x_{0})$. Aus $(1-\Theta )^{n+1-p}(x-x_{0})^{n+1}$ wird dann

$(1-\Theta )^{n+1-p}(x-x_{0})^{n+1-p}(x-x_{0})^{p}=(x-\xi )^{n+1-p}(x-x_{0})^{p}$.

Es handelt sich also um zwei unterschiedliche, aber gleichwertige Darstellungen. -- Digamma 14:25, 12. Mär. 2011 (CET)

Ich habe die alternative Darstellung nach mathepedia ergänzt. -- Digamma 14:41, 12. Mär. 2011 (CET)

Dankeschön. Ja, das meinte ich. Ist mir nicht gleich aufgefallen, der Unterschied zwischen $\Theta$ und $\xi$. So ist es jetzt klarer, denke ich :-) (nicht signierter Beitrag von EinZweifler (Diskussion | Beiträge) 07:56, 15. Mär. 2011 (CET))

Ableitung f' von f nicht lesbar. (erl.)

Bei mir kann man den Unterschied zwischen f und seiner Ableitung nicht ordentlich erkennen: $f$ und $f'$ sehen quasi gleich aus. Ist das immer so oder nur bei mir? Lg --Star Flyer 21:05, 14. Dez. 2011 (CET)

Das Problem sollte mitlerweile gefixt sein oder? --Christian1985 (Diskussion) 17:53, 16. Apr. 2012 (CEST)

Taylor-Entwicklung

Kommentar zur Teilrevertierung der Änderung von heute:

Unter einer Reihenentwicklung (und entsprechend auch unter der Taylor-Entwicklung) versteht man die Darstellung der Funktion als unendliche Reihe. Wird die Reihe nach endlich vielen Gliedern abgeschnitten, dann handelt es sich gerade nicht um eine Taylor-Reihe, sondern um ein Taylor-Polynom und das ganze ist dannn keine Reihenentwicklung der Funktion mehr, sondern eine Näherung, die Taylor-Näherung, auch wenn oft von einer „Tayler-Entwicklung bis zur k-ten Ordnung“ o.ä. die Rede ist. Es handelt sich dann um eine Anwendung der Taylor-Formel und nicht der Taylor-Reihe.

Das gilt insbesondere für die Linearisierung (Entwicklung bis zur ersten Ordnung). Im Grunde ist das nur eine Anwendung der Definition der Differenzierbarkeit, vgl. Differenzierbarkeit #Definitionen, 1. Definition. --Digamma (Diskussion) 15:27, 16. Apr. 2012 (CEST)

Näherung für Sinus und Kosinus

Die Aussage, daß $T_{3,sin}(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}$ gilt, ist nicht falsch, aber es ist sogar $T_{4,sin}(x)$, da der $x^{4}$-Term verschwindet. Für die Fehlerabschätzung kann man also $R_{4}(x)$ verwenden, was zu einer strengeren Abschätzung des Fehlers führt. (nicht signierter Beitrag von 84.151.58.97 (Diskussion) 23:10, 12. Nov. 2012 (CET))

Stimmt. Möchtest du das selbst einbauen? --Digamma (Diskussion) 14:25, 13. Nov. 2012 (CET)

Ah! Stimmt ja! Wird sofort eingebaut. --Mathmensch (Diskussion) 20:44, 30. Dez. 2013 (CET)

Rest bei Annäherung durch Schmiegparabel

Bei der Annäherung durch die Tangente wird die Ableitung des Rests an der Stelle a zu 0. Soweit ich das richtig verstehe, wird aus dem Text davor bereits klar, dass neben der Ableitung des Rests an der Stelle a, der Rest selber dort 0 ist.

Aber welche Bedingungen der Rest bei der Annäherung durch die Schmiegparabel erfüllt, ist für mich aus dem Text nicht ersichtlich. Ist $\lim _{x\to a}{\frac {R_{2}(x)}{(x-a)^{2}}}$die formale Definition der zweiten Ableitung? Wo kann ich das nachlesen? Bei der Annäherung durch die Tangente konnte ich die Formel bei der Definition der Ableitung hinter dem Link finden. Wo jetzt diese Formel herkommt ist mir nicht klar. Eine Recherche in der Bronstein Formelsammlung war leider fruchtlos. Ich nehme mal an, dass die erste Ableitung von $R_{2}$ und $R_{2}$ selber an der Stelle a auch 0 sind. Vielleicht könnte man das noch anmerken.

--80.131.223.239 23:07, 16. Dez. 2013 (CET)

Der Rest erfüllt $\lim _{x\to a}{\frac {R_{2}(x)}{(x-a)^{2}}}=0$, wie im Artikel steht.

Natürlich erfüllt der Rest $R_{2}$ auch $R_{2}''(a)=0$, da $f''(a)=T_{f}''(a)$ gilt. Aber die richtige Antwort auf die Frage, welche Bedingung der Rest erfüllt, ist meiner Meinung nach nicht die, dass die zweite Ableitung 0 ist, sondern die, dass der Quotient ${\frac {R_{2}(x)}{(x-a)^{2}}}$ gegen 0 geht, wenn $x$ gegen $a$ geht. Bzw. mit anderen Worten: $R_{2}(x)$ geht für $x$ gegen $a$ schneller gegen 0 als $(x-a)^{2}$ --Digamma (Diskussion) 23:26, 16. Dez. 2013 (CET)

Linearität

Ist das Taylor-Polynom nicht eine lineare Abbildung? Wenn ja dann würde ich das hinschreiben, das ist insbesondere hilfreich wenn man das Taylorpolynom bildet von einem Polynom + einer weiteren Funktion. Dann spart man sich das für den Polynomteil. (nicht signierter Beitrag von 80.171.105.186 (Diskussion) 22:03, 14. Feb. 2015 (CET))

Ein Polynom ist im Allgemeinen nicht linear. --V4len (Diskussion) 12:13, 16. Feb. 2015 (CET)

Ich denke gemeint ist, dass $T_{n}(\alpha f+\beta g)=\alpha T_{n}f+\beta T_{n}g$ gilt. Das ist schon eine nützliche Eigenschaft, mir ist aber noch nicht ganz klar, wo und wie man das in den Artikel einbauen könnte. -- HilberTraum (d, m) 17:09, 16. Feb. 2015 (CET)

Restgliedabschätzung

Im Abschnitt "Restgliedabschätzung" taucht plötzlich ein r auf! Welche Bedeutung hat r? Warum wird es eingeführt? Wenn man z.B. das Restglied mit a = 0 an der Stelle x = 1 abschätzen will, welche Werte kann r dann haben??? 79.253.36.212 07:35, 26. Jan. 2023 (CET)