Einfach zusammenhängende algebraische Gruppe

In der Mathematik sind einfach zusammenhängende algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Definition

Eine halbeinfache algebraische Gruppe $G$ über einem Körper $k$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede Isogenie

$f\colon H\to G$

einer zusammenhängenden algebraischen Gruppe $H$ auf $G$ ein Isomorphismus ist.

Beispiele

• Die spezielle lineare Gruppe $SL_{n}$ ist einfach zusammenhängend.
• Die symplektische Gruppe $Sp_{2n}$ ist einfach zusammenhängend.
• Eine halbeinfache algebraische Gruppe $G$ über $k=\mathbb {C}$ ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn die topologische Gruppe $G(\mathbb {C} )$ ein einfach zusammenhängender Raum ist.

Literatur

• G. Hochschild, "The structure of Lie groups", Holden-Day (1965)
• R. Hermann, "Lie groups for physicists", Benjamin (1966)
• J.E. Humphreys, "Linear algebraic groups", Springer (1975)

Weblinks

• Simply-connected Group (Encyclopedia of Mathematics)