Eingeschränktes direktes Produkt

In der Mathematik ist das eingeschränkte direkte Produkt eine topologische Konstruktion aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen.

Sie definiert einen topologischen Raum, der mit Hilfe des kartesischen Produkts aus einer gegebenen Familie topologischer Räume gebildet wird. Ist die Familie endlich, ist das eingeschränkte direkte Produkt das kartesische Produkt ausgestattet mit der Produkttopologie. Bei unendlichen Produkten erhält man aber im Allgemeinen eine andere Topologie als die Produkttopologie.

Anders als die Produkttopologie liefert das eingeschränkte direkte Produkt lokalkompakter Räume stets einen lokalkompakten Raum.

Definition

Sei $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie topologischer Räume und $Y_{i}\subseteq X_{i}$ sei für fast alle $i\in I$ eine offene kompakte Teilmenge. Das eingeschränkte direkte Produkt der $X_{i}$ bezüglich der $Y_{i}$ ist die Menge

$\prod (X_{i},Y_{i}):=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}X_{i}\mid {\text{für fast alle }}i\in I{\text{ gilt }}x_{i}\in Y_{i}\right\}.$

Das eingeschränkte direkte Produkt besitzt folgende Topologie:

Ein offenes Rechteck in $\prod (X_{i},Y_{i})$ ist eine Teilmenge der Form

$R=\prod _{i\in I}U_{i},$

wobei $U_{i}\subseteq X_{i}$ offen ist und für fast alle $i\in I$ die Gleichheit $U_{i}=Y_{i}$ gilt. Der Schnitt endlich vieler offener Rechtecke ist ein offenes Rechteck. Eine Teilmenge $U\subseteq \prod (X_{i},Y_{i})$ heißt offen, falls sie sich als Vereinigung offener Rechtecke schreiben lässt, die offenen Rechtecke bilden also eine Basis der Topologie auf $\prod (X_{i},Y_{i})$.

Notationen

Geläufige Notationen für das eingeschränkte direkte Produkt sind

$\prod (X_{i},Y_{i}),\qquad \prod _{i\in I}(X_{i},Y_{i}),\qquad {\widehat {\prod _{i\in I}}}^{Y_{i}}X_{i},\quad {\text{und }}\quad {\widehat {\prod _{i\in I}}}X_{i}.$

Für endliche Teilmengen

Definiere weiterhin für eine endliche Teilmenge $S$ von $I$

$X_{S}=\prod _{i\in S}X_{i}\times \prod _{i\notin S}Y_{i}.$

Dann ist $X_{S}$ eine offene Teilmenge von $\prod (X_{i},Y_{i})$ und die Teilraumtopologie von $\prod (X_{i},Y_{i})$ auf $X_{S}$ ist gleich der Produkttopologie auf $X_{S}$.

Bemerkung: Es gilt

$\prod (X_{i},Y_{i})=\bigcup \limits _{S\subset I{\text{ endlich}}}X_{S}$.

Eigenschaften

• Die von der Produkttopologie induzierte Topologie ist gröber. Das heißt, jede Teilmenge des eingeschränkten direkten Produkts, die bezüglich der von der Produkttopologie induzierte Topologie offen ist, ist offen.
• Sind alle $X_{i}$ lokalkompakt und die $Y_{i}$ kompakt, so ist auch $\prod (X_{i},Y_{i})$ lokalkompakt. Das direkte Produkt hingegen ist genau dann lokalkompakt, wenn zusätzlich fast alle $X_{i}$ kompakt sind.
• Die restringierte Produkttopologie hängt von der Gesamtheit der $X_{i}$ ab, aber nicht von den einzelnen $X_{i}$, d. h. sei $X_{i}'\subset X_{i}$ offen für alle $i$ und es gelte $X_{i}'=X_{i}$ für fast alle $i$. Dann sind die beiden eingeschränkten direkte Produkte und ihre entsprechenden Topologien kanonisch isomorph.
• Das eingeschränkte direkte Produkt kann folgendermaßen zerlegt werden. Sei $I=I_{1}{\overset {.}{\cup }}I_{2}$ eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge $I$. Dann gilt:

${\widehat {\prod _{i\in I_{1}}}}^{Y_{i}}X_{i}\times {\widehat {\prod _{i\in I_{2}}}}^{Y_{i}}X_{i}={\widehat {\prod _{i\in I}}}^{Y_{i}}X_{i}$

wobei die beiden Mengen und die beiden Topologien übereinstimmen (links haben wir die Produkttopologie bei den beiden Faktoren). Der Beweis dieser Aussage ist nicht schwer: Beachte, dass auf beiden Seiten die gleiche Menge definiert wird und die gleichen offenen Mengen erzeugen die jeweilige Topologie, also sind die beiden topologischen Räume gleich.

• Falls die $X_{i}$ sogar lokalkompakte Gruppen sind, dann können wir darauf entsprechende Maße $\mu _{i}$ fixieren. Wir können diese Maße so normieren, dass $\mu _{i}(Y_{i})=1$ ist. Dann definiere das Produktmaß $\mu$, indem es auf restringierten offen Rechtecken festgelegt wird. Da diese die Topologie erzeugen, genügt es $\mu$ darauf zu definieren. Definiere also

$\mu \left(\prod \limits _{i\in E}U_{i}\times \prod \limits _{i\in I\setminus E}Y_{i}\right):=\prod \limits _{i\in E}\mu _{i}(U_{i})\cdot \prod \limits _{i\in I\setminus E}\mu _{i}(Y_{i})=\prod \limits _{i\in E}\mu _{i}(U_{i}).$

Dies ist ein endlichen Produkt, da $\mu _{i}(Y_{i})=1$ ist und $E$ endlich ist.

Beispiele

• Ist $Y_{i}=X_{i}$ für fast alle $i$, so erhält man die Produkttopologie.
• Der Ring der Adele $\mathbb {A}$ ist das eingeschränkte direkte Produkt der $\mathbb {Q} _{p}$ bezüglich der $\mathbb {Z} _{p}$ (für $p=\infty$ nehmen wir einfach keine offene Teilmenge von $\mathbb {Q} _{p}=\mathbb {R}$, es reicht nach Definition ja, wenn für fast alle p eine solche gegeben ist).
• Die Gruppe der Idele $\mathbb {A} ^{\times }$ ist das eingeschränkte direkte Produkt der $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$ bezüglich der $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$. Man beachte, dass die Topologie auf $\mathbb {A} ^{\times }$ nicht mit der von $\mathbb {A}$ induzierten Teilraumtopologie übereinstimmt.

Literatur

• Anton Deitmar: Automorphe Formen. Springer, Berlin Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-12389-4, Seite 122f.
• John Cassels, Albrecht Froehlich: Algebraic number theory: proceedings of an instructional conference, organized by the London Mathematical Society, (a NATO Advanced Study Institute). Academic Press, London 1967, XVIII, 366 Seiten.