Erdős-Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Erdős-Raum ein spezieller topologischer Raum, der von Paul Erdős im Jahr 1940 entdeckt wurde. Der Erdős-Raum ist definiert als ein Teilraum $E\subset \ell ^{2}$ des Hilbertraumes der quadratsummierbaren Folgen, bestehend aus allen Folgen, deren Elemente alle rational sind.

$E$ ist ein total unzusammenhängender, eindimensionaler topologischer Raum und homöomorph zu $E\times E$ mit der Produkttopologie. Wird die Menge aller Homöomorphismen des euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{n}$ (für $n\geq 2$), welche die Teilmenge $\mathbb {Q} ^{n}$ der rationalen Vektoren invariant lassen, mit der Kompakt-Offen-Topologie ausgestattet, ist der Raum homöomorph zu $E$.

Der Erdős-Raum spielt auch in der komplexen Dynamik bei der Iteration der Funktion $f(z)=e^{z}-1$ eine Rolle. Sei $f^{n}$ die $n$-fache Komposition von $f$, dann besteht die Menge der Punkte $z\in \mathbb {C}$ mit ${\text{Im}}(f^{n}(z))\to \infty$ aus paarweise disjunkten und zu $[0,\infty )$ homöomorphen Strahlen, welche also von Startpunkten $z\in \mathbb {C}$ “in die Unendlichkeit laufen”. Die Menge dieser Startpunkte ist homöomorph zu $E$.