Erster Lemoinescher Kreis

Schnittpunkte $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{a},Q_{c}$ der Parallelen durch den Symmedianenpunkt $S$ mit den Dreiecksseiten, Mittelpunkt des lemoineschen Kreis $L$, Umkreismittelpunkt $O$, $\triangle SP_{a}Q_{a}\sim \triangle SP_{b}Q_{b}\sim \triangle SP_{c}Q_{c}$, $\triangle P_{a}P_{b}P_{c}\cong \triangle Q_{a}Q_{a}Q_{c}$ $\triangle Q_{a}Q_{a}Q_{c}\sim \triangle ABC$.

Der (erste) Lemoinesche Kreis eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie. Er ist nach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine (1840–1912) benannt.

Schneidet man in einem Dreieck jede Parallele zu einer Dreieckseite durch den Lemoinepunkt mit den beiden anderen Dreiecksseiten, so erhält man sechs Schnittpunkte, die auf einem gemeinsamen Kreis liegen, dem (ersten) Lemoineschen Kreis.

Der Mittelpunkt des Lemoineschen Kreises ist die Mitte der Verbindungsstrecke zwischen Lemoinepunkt und Umkreismittelpunkt, sein Radius kann wie folgt berechnet werden:

${\begin{aligned}r_{L}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {R^{2}+r_{C}^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}R\sec(\omega )\\&={\frac {abc{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2}){\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}\end{aligned}}$

Hierbei sind $a,b,c$ die Seiten und $\omega$ der Brocard-Winkel des Dreiecks sowie $R$ der Radius seines Umkreises und $r_{C}$ der Radius seines Kosinus-Kreises.

Die drei von den Schnittpunkten mit dem Lemoinepunkt gebildeten Dreiecke $\triangle SP_{a}Q_{a}$, $\triangle SP_{b}Q_{b}$ und $\triangle SP_{c}Q_{c}$ sind ähnlich zueinander. Die Strecken $P_{b}Q_{c},P_{c}Q_{a},P_{a}Q_{b}$ sind gleich lang und jeweils antiparallel zu den gegenüberliegenden Dreiecksseiten. Genauer gilt für die Streckenlängen die folgende Identität:

$r_{C}=|P_{b}Q_{c}|=|P_{c}Q_{a}|=|P_{a}Q_{b}|$

Die beiden von den Schnittpunkten gebildeten Dreiecke $\triangle P_{a}P_{b}P_{c}$ und $\triangle Q_{a}Q_{a}Q_{c}$ sind kongruent und ähnlich zum Ausgangsdreieck $\triangle ABC$.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 273–274, 278 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
• G. Wotherspoon: The Radii of the Cosine and Lemoine Circles In: The Mathematical Gazette, Band 14, Nr. 199 (März, 1929), S. (JSTOR)
• A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 42–52
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Lemoinescher Kreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: First Lemoine Circle. In: MathWorld (englisch).
• Wolfgang Ströher: Dreiecksgeometrie, Skript, TU Wien, S. 90–93