Farey-Graph

Farey-Graph

In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Definition

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist $\mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}$, also die Menge aller Paare

$\left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} \ {\mbox{teilerfremd}},q\geq 0\right\}$,

wobei $\infty$ als ${\frac {1}{0}}$ aufgefasst wird.

Zwei Knoten ${\frac {a}{c}}$ und ${\frac {b}{d}}$ sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

$\det \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\pm 1$

gilt.

Anwendungen

• Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme $F_{n}$ beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung $\cup _{n}F_{n}$ aller Farey-Diagramme.
• In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
• Die Modulgruppe $SL(2,\mathbb {Z} )$ und ihr Quotient $PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\mathbb {Z} )/\pm I$ wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf $\mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}$ und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
• Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung $\mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}=P^{1}\mathbb {Q} \subset P^{1}\mathbb {R} =\partial _{\infty }H^{2}$ und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
• Die Coxeter-Gruppe $G=\langle a,b,c\vert a^{2}=b^{2}=c^{2}=1\rangle$ (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch

$a\to \pm \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right),b\to \pm \left({\begin{array}{cc}1&-1\\2&-1\end{array}}\right),c\to \pm \left({\begin{array}{cc}1&-2\\1&-1\end{array}}\right)$,

jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von $G$ auf der hyperbolischen Ebene.

• Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von $SL(2,\mathbb {Z} )$ auf dem Farey-Graphen.

Weblinks

• The Farey diagram (PDF; 675 kB)
• Distance formula in Farey graph