Formelsammlung Trigonometrie

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Trigonometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Dreieckberechnung

Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck $ABC$ habe die Seiten $a=BC$, $b=CA$ und $c=AB$, die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bei den Ecken $A$, $B$ und $C$. Ferner seien $r$ der Umkreisradius, $\rho$ der Inkreisradius und $\rho _{a}$, $\rho _{b}$ und $\rho _{c}$ die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken $A$, $B$ bzw. $C$ gegenüberliegen) des Dreiecks $ABC$. Die Variable $s$ steht für den halben Umfang des Dreiecks $ABC$:

$s={\frac {a+b+c}{2}}$.

Schließlich wird die Fläche des Dreiecks $ABC$ mit $F$ bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Es ist zu beachten, dass hier die Bezeichnungen für den Umkreisradius $r$, den Inkreisradius $\rho$ und die drei Ankreisradien $\rho _{a}$, $\rho _{b}$, $\rho _{c}$ benutzt werden. Oft werden davon abweichend für dieselben Größen auch die Bezeichnungen $R$, $r$, $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ verwendet.

Winkelsumme

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Sinussatz

Formel 1:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}$

Formel 2:

wenn $\alpha =90^{\circ }$

$\sin \beta ={\frac {b}{a}}$

$\sin \gamma ={\frac {c}{a}}$

wenn $\beta =90^{\circ }$

$\sin \alpha ={\frac {a}{b}}$

$\sin \gamma ={\frac {c}{b}}$

wenn $\gamma =90^{\circ }$

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\sin \beta ={\frac {b}{c}}$

Kosinussatz

Formel 1:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma$

Formel 2:

wenn $\alpha =90^{\circ }$

$\cos \beta ={\frac {c}{a}}$

$\cos \gamma ={\frac {b}{a}}$

wenn $\beta =90^{\circ }$

$\cos \alpha ={\frac {c}{b}}$

$\cos \gamma ={\frac {a}{b}}$

wenn $\gamma =90^{\circ }$

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (Satz des Pythagoras)

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

$\cos \beta ={\frac {a}{c}}$

Projektionssatz

$a=b\,\cos \gamma +c\,\cos \beta$

$b=c\,\cos \alpha +a\,\cos \gamma$

$c=a\,\cos \beta +b\,\cos \alpha$

Die Mollweideschen Formeln

${\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\frac {c+a}{b}}={\frac {\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\sin {\frac {\beta }{2}}}},\quad {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}$

${\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\frac {c-a}{b}}={\frac {\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\beta }{2}}}},\quad {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}$

Tangenssatz

Formel 1:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Analoge Formeln gelten für ${\frac {a+b}{a-b}}$ und ${\frac {c+a}{c-a}}$:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

${\frac {c+a}{c-a}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}$

Wegen $\tan(-x)=-\tan(x)$ bleibt eine dieser Formel gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:

${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}$

Formel 2:

wenn $\alpha =90^{\circ }$

$\tan \beta ={\frac {b}{c}}$

$\tan \gamma ={\frac {c}{b}}$

wenn $\beta =90^{\circ }$

$\tan \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\tan \gamma ={\frac {c}{a}}$

wenn $\gamma =90^{\circ }$

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

$\tan \beta ={\frac {b}{a}}$

Formeln mit dem halben Umfang

Im Folgenden bedeutet $s$ immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks $ABC$, also $s={\frac {a+b+c}{2}}$.

$s-a={\frac {b+c-a}{2}}$

$s-b={\frac {c+a-b}{2}}$

$s-c={\frac {a+b-c}{2}}$

$\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=a$

$\left(s-c\right)+\left(s-a\right)=b$

$\left(s-a\right)+\left(s-b\right)=c$

$\left(s-a\right)+\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=s$

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{bc}}}$

$\sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{ca}}}$

$\sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{ab}}}$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-a\right)}{bc}}}$

$\cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)}{ca}}}$

$\cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-c\right)}{ab}}}$

$\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s\left(s-a\right)}}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{s\left(s-b\right)}}}$

$\tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{s\left(s-c\right)}}}$

$s=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$s-a=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

Flächeninhalt und Umkreisradius

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit $F$ bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit $A$, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke $A$ auszuschließen):

Heronsche Formel:

$F={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}$

$F={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}$

Weitere Flächenformeln:

$F={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$

$F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$, wobei $h_{a}$, $h_{b}$ und $h_{c}$ die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $ABC$ sind.

$F=2r^{2}\sin \,\alpha \,\sin \,\beta \,\sin \,\gamma$

$F={\frac {abc}{4r}}$

$F=\rho s=\rho _{a}\left(s-a\right)=\rho _{b}\left(s-b\right)=\rho _{c}\left(s-c\right)$

$F={\sqrt {\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}}$

$F=4\rho r\cos \,{\frac {\alpha }{2}}\,\cos \,{\frac {\beta }{2}}\,\cos \,{\frac {\gamma }{2}}$

$F=s^{2}\tan \,{\frac {\alpha }{2}}\,\tan \,{\frac {\beta }{2}}\,\tan \,{\frac {\gamma }{2}}$

$F=\rho ^{2}{\sqrt {\dfrac {h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{(h_{a}-2\rho )(h_{b}-2\rho )(h_{c}-2\rho )}}}$, mit ${\dfrac {1}{\rho }}={\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}$

$F={\sqrt {\dfrac {r\,h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{2}}}$

$F={\dfrac {\,h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{2\rho \,{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )}}}$

Erweiterter Sinussatz:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}$

$a=2r\,\sin \alpha$

$b=2r\,\sin \beta$

$c=2r\,\sin \gamma$

$r={\frac {abc}{4F}}$

In- und Ankreisradien

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius $\rho$ und die Ankreisradien $\rho _{a}$, $\rho _{b}$ und $\rho _{c}$ des Dreiecks $ABC$ vorkommen.

$\rho =\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\tan {\frac {\beta }{2}}=\left(s-c\right)\tan {\frac {\gamma }{2}}$

$\rho =4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}$

$\rho =r\left(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)$

$\rho ={\frac {F}{s}}={\frac {abc}{4rs}}$

$\rho ={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}$

$\rho ={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {b}{\cot {\frac {\gamma }{2}}+\cot {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {c}{\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}}}$

$a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=s^{2}+\rho ^{2}+4\cdot \rho \cdot r$

Wichtige Ungleichung: $2\rho \leq r$; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck $ABC$ gleichseitig ist.

$\rho _{a}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\cot {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-c\right)\cot {\frac {\beta }{2}}$

$\rho _{a}=4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\rho _{a}=r\left(-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)$

$\rho _{a}={\frac {F}{s-a}}={\frac {abc}{4r\left(s-a\right)}}$

$\rho _{a}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s-a}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{b+c-a}}}$

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für $\rho _{a}$ gilt in analoger Form für $\rho _{b}$ und $\rho _{c}$.

${\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}$

Höhen

Die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $ABC$ werden mit $h_{a}$, $h_{b}$ und $h_{c}$ bezeichnet.

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ={\frac {2F}{a}}=2r\sin \beta \sin \gamma =2r\left(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma \right)$

$h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma ={\frac {2F}{b}}=2r\sin \gamma \sin \alpha =2r\left(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma \right)$

$h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\frac {2F}{c}}=2r\sin \alpha \sin \beta =2r\left(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \right)$

$h_{a}={\frac {a}{\cot \beta +\cot \gamma }};\;\;\;\;\;h_{b}={\frac {b}{\cot \gamma +\cot \alpha }};\;\;\;\;\;h_{c}={\frac {c}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

$F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$

${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}$

Hat das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $C$ (ist also $\gamma =90^{\circ }$), dann gilt

$h_{c}={\frac {ab}{c}}$

$h_{a}=b$

$h_{b}=a$

Seitenhalbierende

Die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks $ABC$ werden $s_{a}$, $s_{b}$ und $s_{c}$ genannt.

$s_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+bc\cos \alpha }}$

$s_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+ca\cos \beta }}$

$s_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}+ab\cos \gamma }}$

$s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}={\frac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$

Winkelhalbierende

Wir bezeichnen mit $w_{\alpha }$, $w_{\beta }$ und $w_{\gamma }$ die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck $ABC$.

$w_{\alpha }={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}={\frac {2F}{a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\sqrt {bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}}$

$w_{\beta }={\frac {2ca\cos {\frac {\beta }{2}}}{c+a}}={\frac {2F}{b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\sqrt {ca(c+a-b)(a+b+c)}}{c+a}}$

$w_{\gamma }={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {2F}{c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\sqrt {ab(a+b-c)(a+b+c)}}{a+b}}$

Allgemeine Trigonometrie in der Ebene

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis:

${\overline {CP}}=\sin b$	${\overline {SP}}=\cos b$
${\overline {DT}}=\tan b$	${\overline {EK}}=\cot b$
${\overline {OT}}=\operatorname {sec} \,b$	${\overline {OK}}=\operatorname {csc} \,b$

Periodizität

$\sin x\quad =\quad \sin(x+2n\pi );\quad n\in \mathbb {Z}$

$\cos x\quad =\quad \cos(x+2n\pi );\quad n\in \mathbb {Z}$

$\tan x\quad =\quad \tan(x+n\pi );\quad n\in \mathbb {Z}$

$\cot x\quad =\quad \cot(x+n\pi );\quad n\in \mathbb {Z}$

Gegenseitige Darstellung

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$      („Trigonometrischer Pythagoras“)

$1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

$1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x$

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

$\sin x\;=\;{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	für	$x\in \left[0,\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },180^{\circ }[$
$\sin x\;=\;-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	für	$x\in \left[\pi ,2\pi \right[\quad =\quad [180^{\circ },360^{\circ }[$
$\sin x\;=\;{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[$
$\sin x\;=\;-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[$
$\cos x\;=\;{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;[270^{\circ },360^{\circ }[$
$\cos x\;=\;-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	für	$x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad [90^{\circ },270^{\circ }[$
$\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[$
$\cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[$
$\tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {\pi }{2}},\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]90^{\circ },180^{\circ }[$
$\tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	für	$x\in \left[\pi ,{\frac {3\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [180^{\circ },270^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[$
$\tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[$
$\tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	für	$x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[$

Vorzeichen der Winkelfunktionen

$\sin x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },180^{\circ }\right[$

$\sin x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]180^{\circ },360^{\circ }\right[$

$\cos x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right]$

$\cos x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },270^{\circ }\right[$

$\tan x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]180^{\circ },270^{\circ }\right[$

$\tan x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },180^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[$

Die Vorzeichen von $\cot$, $\sec$ und $\csc$ stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen $\tan$, $\cos$ bzw. $\sin$.

Wichtige Funktionswerte

Darstellung wichtiger Funktionswerte von Kosinus (1. Klammerwert) und Sinus (2. Klammerwert) auf dem Einheitskreis

$\alpha$	$\alpha$ (rad)	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$	$\cot \alpha$
$0^{\circ }$	$\,0$	$\,0$	$\,1$	$\,0$	$\pm \infty$
$15^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{12}}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$
$18^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$
$30^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$
$36^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$
$45^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$1\,$	$1\,$
$54^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$
$60^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
$72^{\circ }$	${\tfrac {2\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$
$75^{\circ }$	${\tfrac {5\pi }{12}}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$
$90^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{2}}$	$\,1$	$\,0$	$\pm \infty$	$\,0$
$108^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)$	$-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$
$120^{\circ }$	${\tfrac {2\pi }{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
$135^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{4}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$-1\,$	$-1\,$
$180^{\circ }$	$\pi \,$	$\,0$	$\,-1$	$\,0$	$\pm \infty$
$270^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{2}}$	$\,-1$	$\,0$	$\pm \infty$	$\,0$
$360^{\circ }$	$2\pi$	$\,0$	$\,1$	$\,0$	$\pm \infty$

Mit Hilfe der Additionstheoreme sind noch viele weitere Werte durch algebraische Ausdrücke (ggfs. mit verschachtelten Quadratwurzeln) darstellbar, insbesondere alle ganzzahligen Vielfachen von $3^{\circ }$.

Symmetrien

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

${\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin(x)\\\cos(-x)&=+\cos(x)\\\tan(-x)&=-\tan(x)\\\cot(-x)&=-\cot(x)\\\sec(-x)&=+\sec(x)\\\csc(-x)&=-\csc(x)\\\end{aligned}}$

Phasenverschiebungen

$\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \sin \left(x+90^{\circ }\right)=\cos x\;$

$\cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cos \left(x+90^{\circ }\right)=-\sin x\;$

$\tan \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cot x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \tan \left(x+90^{\circ }\right)=-\cot x\;$

$\cot \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cot \left(x+90^{\circ }\right)=-\tan x\;$

Rückführung auf spitze Winkel

$\sin x\ \;=\;\;\;\sin \left(\pi -x\right)\,\quad {\text{bzw.}}\quad \sin x\ =\;\;\;\sin \left(180^{\circ }-x\right)$

$\cos x\ \,=-\cos \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \cos x\ =-\cos \left(180^{\circ }-x\right)$

$\tan x\ =-\tan \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \tan x\ =-\tan \left(180^{\circ }-x\right)$

Darstellung durch den Tangens des halben Winkels

Mit der Bezeichnung $t=\tan {\tfrac {x}{2}}$ gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges $x$

$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},$		$\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$
$\tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}},$		$\cot x={\frac {1-t^{2}}{2t}},$
$\sec x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\csc x={\frac {1+t^{2}}{2t}}.$

Additionstheoreme

Figur 1

Figur 2

Für Sinus und Kosinus lassen sich die Additionstheoreme aus der Verkettung zweier Drehungen um den Winkel $x$ bzw. $y$ herleiten. Das ist elementargeometrisch möglich; sehr viel einfacher ist das koordinatenweise Ablesen der Formeln aus dem Produkt zweier Drehmatrizen der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Alternativ folgen die Additionstheoreme aus der Anwendung der Eulerschen Formel auf die Beziehung $\textstyle e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}$. Die Ergebnisse für das Doppelvorzeichen ergeben sich durch Anwendung der Symmetrien.

$\sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y$

$\cos(x\pm y)=\cos x\cdot \cos y\mp \sin x\cdot \sin y$

Geometrische Herleitungen sind in Figur 1 und Figur 2 für Winkel $\alpha$ und $\beta$ zwischen 0° und 90° veranschaulicht.

Zu Figur 1:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Zu Figur 2:

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Durch Erweiterung mit $\textstyle {1 \over \cos x\cos y}$ bzw. $\textstyle {1 \over \sin x\sin y}$ und Vereinfachung des Doppelbruchs:

$\tan(x\pm y)={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}}={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\;\tan y}}$

$\cot(x\pm y)={\frac {\cos(x\pm y)}{\sin(x\pm y)}}={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}$

Für $x=y$ folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für $y=\pi /2$ die Phasenverschiebungen.

$\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x-\sin ^{2}y$

$\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}y$

Additionstheoreme für Arkusfunktionen

Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme

Summanden	Summenformel	Gültigkeitsbereich
$\arcsin x+\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\leq 0$ oder $x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ und $y>0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ und $y<0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
$\arcsin x-\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\geq 0$ oder $x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ und $y<0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ und $y>0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
$\arccos x+\arccos y=$	$\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$
	$2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$
$\arccos x-\arccos y=$	$-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x\geq y$
	$\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x<y$
$\arctan x+\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$xy<1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x>0$ und $xy>1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x<0$ und $xy>1$
$\arctan x-\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$xy>-1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x>0$ und $xy<-1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x<0$ und $xy<-1$

Doppelwinkelfunktionen

Figur 3

$\sin(2x)=2\sin x\cdot \;\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$

Eine geometrische Herleitung ist in Figur 3 für Winkel $\alpha$ und $\beta$ zwischen 0° und 90° veranschaulicht.

Zu Figur 3:

Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich ${\frac {1}{2}}\cdot 2\sin \alpha \cdot 2\cos \alpha ={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot \sin(2\alpha )$. Hieraus folgt $2\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\sin(2\alpha )$.

Weitere Beziehungen:

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}$

$\cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}={\frac {\cot x-\tan x}{2}}$

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel $z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\iff z^{n}=r^{n}\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{n}$ und der DeMoivre-Formel $z^{n}=r^{n}\left(\cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)\right)$. Damit ergibt sich $\cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)=\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{n}$. Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für $\cos$ und $\sin$ bzw. die allgemeine Reihendarstellung.

Die Formel für $\cos(nx)$ steht über $T_{n}(\cos x)=\cos(nx)$ mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

$\sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x\,$

$=\;\sin x\left(4\cos ^{2}x-1\right)$

$\sin(4x)=8\sin x\;\cos ^{3}x-4\sin x\;\cos x$

$=\;\sin x\left(8\cos ^{3}x-4\cos x\right)$

$\sin(5x)=5\sin x-20\sin ^{3}x+16\sin ^{5}x\;$

$=\;\sin x\left(16\cos ^{4}x-12\cos ^{2}x+1\right)$

$\sin(nx)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\ldots +\ldots$

$=\;\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j+1}\sin ^{2j+1}x\;\cos ^{n-2j-1}x$

$=\;\sin x\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n-k-1 \choose k}2^{n-2k-1}\cos ^{n-2k-1}x$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x\,$

$\cos(4x)=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1\,$

$\cos(5x)=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\,$

$\cos(6x)=32\cos ^{6}x-48\cos ^{4}x+18\cos ^{2}x-1\,$

$\cos(nx)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\ldots +\ldots$

$=\;\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j}\sin ^{2j}x\;\cos ^{n-2j}x$

$\tan(3x)={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}$

$\tan(4x)={\frac {4\tan x-4\tan ^{3}x}{1-6\tan ^{2}x+\tan ^{4}x}}$

$\cot(3x)={\frac {\cot ^{3}x-3\cot x}{3\cot ^{2}x-1}}$

$\cot(4x)={\frac {\cot ^{4}x-6\cot ^{2}x+1}{4\cot ^{3}x-4\cot x}}$

Halbwinkelformeln

Figur 4

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln, welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:

$\sin {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0,2\pi \right]$

$\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[-\pi ,\pi \right]$

$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus \pi (2\mathbb {Z} +1)$

$\cot {\frac {x}{2}}={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus 2\pi \mathbb {Z}$

Eine geometrische Herleitung der dritten Formel ist in Figur 4 für Winkel $\alpha$ und $\beta$ zwischen 0° und 90° veranschaulicht. Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich unmittelbar $\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}$.

Außerdem gilt:

$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[$

$\cot {\frac {x}{2}}=\cot x+{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0,\pi \right[$

Siehe auch: Halbwinkelsatz

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:

${\begin{aligned}\sin x+\sin y&=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\\\sin x-\sin y&=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}\\\cos x+\cos y&=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\\\cos x-\cos y&=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}$

$\left.{\begin{matrix}\tan x+\tan y={\dfrac {\sin(x+y)}{\cos x\cos y}}\\[1em]\tan x-\tan y={\dfrac {\sin(x-y)}{\cos x\cos y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \tan x\pm \tan y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}$

$\left.{\begin{matrix}\cot x+\cot y={\dfrac {\sin(y+x)}{\sin x\sin y}}\\[1em]\cot x-\cot y={\dfrac {\sin(y-x)}{\sin x\sin y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \cot x\pm \cot y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}$

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

${\begin{aligned}\cos x+\sin x&={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)\\\cos x-\sin x&={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}$

Produkte der Winkelfunktionen

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:

$\sin x\;\sin y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)-\cos(x+y){\Big )}$

$\cos x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)+\cos(x+y){\Big )}$

$\sin x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\sin(x-y)+\sin(x+y){\Big )}$

$\tan x\;\tan y={\frac {\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}}=-{\frac {\tan x-\tan y}{\cot x-\cot y}}$

$\cot x\;\cot y={\frac {\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}}=-{\frac {\cot x-\cot y}{\tan x-\tan y}}$

$\tan x\;\cot y={\frac {\tan x+\cot y}{\cot x+\tan y}}=-{\frac {\tan x-\cot y}{\cot x-\tan y}}$

$\sin x\;\sin y\;\sin z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z){\Big )}$

$\cos x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z){\Big )}$

$\sin x\;\sin y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z){\Big )}$

$\sin x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z){\Big )}$

$\prod _{m=1}^{n}\cos(x_{m})={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k_{1}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\exp \left({\text{i}}\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)\right]={\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k_{2}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\cos \left(x_{1}+\sum _{\nu =2}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)\right]$

$\prod _{m=1}^{n}\sin(x_{m})={\frac {1}{(2{\text{i}})^{n}}}\sum _{k_{1}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\prod _{\mu =1}^{n}(-1)^{k_{\mu }}\cdot \exp \left({\text{i}}\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)\right]={\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k_{2}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\prod _{\mu =2}^{n}(-1)^{k_{\mu }}\cdot {\begin{cases}\displaystyle (-1)^{n/2}\cdot \cos \left(x_{1}+\sum _{\nu =2}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)&{\text{gerade}}\;n\\\displaystyle (-1)^{(n-1)/2}\cdot \sin \left(x_{1}+\sum _{\nu =2}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)&{\text{ungerade}}\;n\end{cases}}\right]$

Aus der Doppelwinkelfunktion für $\sin(2x)$ folgt außerdem:

$\sin x\;\cos x={\frac {1}{2}}\sin(2x)$

Potenzen der Winkelfunktionen

Sinus

$\sin ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1-\cos(2x){\Big )}$

$\sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\,\sin x-\sin(3x){\Big )}$

$\sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3-4\,\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}$

$\sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\sin x-5\,\sin(3x)+\sin(5x){\Big )}$

$\sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10-15\,\cos(2x)+6\,\cos(4x)-\cos(6x){\Big )}$

$\sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\cos \left((n-2k)\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)\right)\ ;\quad n\in \mathbb {N}$

$\sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{{\frac {n}{2}}-k}\,{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}$

$\sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n-1}}}\,\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-k}\,{n \choose k}\,\sin {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}$

Kosinus

$\cos ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1+\cos(2x){\Big )}$

$\cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\,\cos x+\cos(3x){\Big )}$

$\cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3+4\,\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}$

$\cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\cos x+5\,\cos(3x)+\cos(5x){\Big )}$

$\cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10+15\,\cos(2x)+6\,\cos(4x)+\cos(6x){\Big )}$

$\cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\cos((n-2k)x);\quad n\in \mathbb {N}$

$\cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}$

$\cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n-1}}}\,\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}$

Tangens

$\tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}=\sec ^{2}(x)-1$

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

$\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\sin(\arctan x)=\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\sin(\operatorname {arccot} x)=\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin x)=\cot(\arccos x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos x)=\cot(\arcsin x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

$\tan(\operatorname {arccot} x)=\cot(\arctan x)={\frac {1}{x}}$

Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (Letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}&=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta &=1\\\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}&=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma &=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma &=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma &=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma &=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}2\alpha +\sin ^{2}2\beta +\sin ^{2}2\gamma &=-2\cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma +2\\-\sin ^{2}2\alpha +\sin ^{2}2\beta +\sin ^{2}2\gamma &=-2\cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\beta +\cos ^{2}2\gamma &=2\cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma +1\\-\cos ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\beta +\cos ^{2}2\gamma &=2\cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma +1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=-2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1\\-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=-2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}+1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+2\\-\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}$

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase

${\begin{aligned}a\sin \alpha +b\cos \alpha =&{\begin{cases}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\alpha +\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)\right)&{\text{, für alle }}a>0\\{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha -\arctan \left({\tfrac {a}{b}}\right)\right)&{\text{, für alle }}b>0\end{cases}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}a\cos \alpha +b\sin \alpha =\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha +\arctan \left(-{\tfrac {b}{a}}\right)\right)\end{aligned}}$

$a\sin(x+\alpha )+b\sin(x+\beta )={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha -\beta )}}\cdot \sin(x+\delta ),$

wobei $\delta =\operatorname {atan2} (a\sin \alpha +b\sin \beta ,a\cos \alpha +b\cos \beta ).$

Allgemeiner ist

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),$

wobei

$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j})$

und

$\delta =\operatorname {atan2} \left(\sum _{i}a_{i}\sin \delta _{i},\sum _{i}a_{i}\cos \delta _{i}\right).$

Ableitungen und Stammfunktionen

Siehe Formelsammlung Ableitungen und Stammfunktionen

Bestimmte Integrale

Die Lösungen der nachfolgenden bestimmten Integrale stehen im Zusammenhang mit der Euler’schen Betafunktion, welche weiterhin mit der Gammafunktion verknüpft ist. Das zweite Integral ist z. B. in der Physik bei der Berechnung von Kräften zwischen zylinderförmigen Dauermagneten unter Verwendung der sogenannten Multipol-Entwicklung hilfreich.

$\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{\nu _{1}}\varphi \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi ={\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\;,\quad {\text{Re}}\left({\frac {\nu _{j}+1}{2}}\right)>0$

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{\nu _{1}}\varphi \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi =\operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{1}}}{2}},\quad \nu _{j}=0,1,2,3,\dots$

$\int _{0}^{2\pi }\cos ^{\nu _{1}}\varphi \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi =2\cdot \operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{1}}}{2}}\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{2}}}{2}},\quad \nu _{j}=0,1,2,3,\dots$

Reihenentwicklung

Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt $x=0$) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle $x$ aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert ($B_{n}$ bzw. $\beta _{n}$ bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}(1-2^{2n})\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\,\cdots \qquad |x|<{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot x&={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\,\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}$

Produktentwicklung

$\sin(x)=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)$

$\cos(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)$

$\sin(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right)$

$\cos(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right)$

$\tan(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right)$

$\csc(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi }}\right)$

$\sec(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right)$

$\cot(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{x+n\pi }}\right)$

Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion

Ferner besteht zwischen den Funktionen $\sin x$, $\cos x$ und der komplexen Exponentialfunktion $\exp(\mathrm {i} x)$ folgender Zusammenhang:

$\exp(\pm \mathrm {i} x)=\cos x\pm \mathrm {i} \sin x=e^{\pm \mathrm {i} x}$ (Eulersche Formel)

Weiterhin wird $\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}=:\operatorname {cis} (x)$ geschrieben.

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

$\cos x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)+\exp(-\mathrm {i} x)}{2}}$

$\sin x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)-\exp(-\mathrm {i} x)}{2\mathrm {i} }}$

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische Trigonometrie

Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

Literatur, Weblinks

• Abramowitz-Stegun: online (Formeln, Theorieteil – ohne den reinen Tabellenteil); eine HTML- oder PDF-Version kann (legal) heruntergeladen werden.