Gerichtete Unendlichkeit

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! (Artikel eintragen)

Die gerichtete Unendlichkeit ist eine Art von Unendlichkeit in der komplexen Ebene mit einem definierten komplexen Argument und einem unendlich großen Betrag. So ist z. B. zwar der Grenzwert von $1/x$, wobei $x$ eine positive reelle Zahl ist, die gegen $0$ geht, eine gerichtete Unendlichkeit mit dem komplexen Argument $0$, aber $1/0$ ist keine gerichtete Unendlichkeit, sondern eine komplexe Unendlichkeit.

Einige Rechenregeln

Für alle komplexen $z,w\neq 0$ und alle reellen $x\neq 0$ gilt:

• $z\cdot \infty =\arg(z)\cdot \infty$
• $0\cdot \infty {\text{ ist undefiniert, ebenso }}{\frac {z\ \infty }{w\ \infty }}$
• $x\cdot z\cdot \infty =\operatorname {sgn}(x)\cdot \arg(z)\cdot \infty$
• $(w\cdot \infty )\cdot (z\cdot \infty )=\arg(w\cdot z)\cdot \infty$

Hier ist $\arg$ die durch $\arg(z):={\frac {z}{\left|z\right|}}$ für alle komplexen Zahlen $z\neq 0$ erklärte Argumentfunktion und $\operatorname {sgn}$ ist die für alle reellen Zahlen definierte Vorzeichenfunktion.

Siehe auch

• Punkt im Unendlichen