Goldene Ellipse

Eine Goldene Ellipse ist eine Ellipse, bei der das Seitenverhältnis ihrer beiden Halbachsen $a$ und $b$ dem Goldenen Schnitt entspricht.

Äquivalente Charakterisierung

Gegeben seien ein Kreisring mit äußerem Radius $a$ und innerem Radius $b$ sowie eine Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$, wobei $a$ und $b$ positive reelle Zahlen sind.

Dann entspricht das Verhältnis ${\frac {a}{b}}$ genau dann dem Goldenen Schnitt $\Phi$, wenn der Kreisring und die Ellipse flächengleich sind.

Der Beweis ergibt sich aus folgender Äquivalenzkette:

$\pi a^{2}-\pi b^{2}=\pi ab\Leftrightarrow a^{2}-ba-b^{2}=0\Leftrightarrow a={\frac {b}{2}}\ \pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+b^{2}}}\Leftrightarrow a={\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {5}})\cdot b$

Da nur die positive Lösung infrage kommt, folgt nach Division durch $b$:

${\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})=\Phi$

Beziehung zum Goldenen Rechteck

Die Goldene Ellipse kann einem Goldenen Rechteck mit den Seitenlängen $2a$ und $2b$ einbeschrieben werden.

Literatur

• Anthony David Rawlins: A note on the golden ratio. Mathematical Gazette, 79, (1995), Seite 104

Weblinks

• Daniel Favre Golden ratio (Sectio Aurea) in the Elliptical Honeycomb ResearchGate, Januar 2016
• Tadeusz E. Dorozinski: Goldene Ellipse auf 3doro.de, abgerufen am 30. September 2022