Jacobische Differentialgleichung

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y'=f\left({\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}\right)\ .$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt,

$y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).$

Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung

Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob $\det {\begin{pmatrix}a&b\\\alpha &\beta \\\end{pmatrix}}$ verschwindet oder nicht.

Nichtverschwindende Determinante

Wegen $\det {\begin{pmatrix}a&b\\\alpha &\beta \\\end{pmatrix}}\neq 0$ gibt es (eindeutige) $x^{\star },y^{\star }\in \mathbb {R}$ mit

${\begin{array}{lcll}&ax^{\star }+by^{\star }&=&-c\\\wedge &\alpha x^{\star }+\beta y^{\star }&=&-\gamma \ .\\\end{array}}$

Dann folgt

${\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}={\frac {a(x-x^{\star })+b(y-y^{\star })}{\alpha (x-x^{\star })+\beta (y-y^{\star })}}={\frac {a+b{\frac {y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}}\ .$

Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung

$u'=f\left({\frac {a+b{\frac {u}{x}}}{\alpha +\beta {\frac {u}{x}}}}\right)=g\left({\frac {u}{x}}\right)\ ,\ g(s):=f\left({\frac {a+bs}{\alpha +\beta s}}\right)$

ist $y(x):=y^{\star }+u(x-x^{\star })$ Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält

$y'(x)=u'(x-x^{\star })=f\left({\frac {a+b{\frac {u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}}}\right)=f\left({\frac {a+b{\frac {y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}}\right)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right).$

Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.

Verschwindende Determinante

Sei nun $\det {\begin{pmatrix}a&b\\\alpha &\beta \\\end{pmatrix}}=0$. Es sind drei Fälle zu unterscheiden.

• Der Fall $b=\beta =0$

Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von $y$ abhängt.

• Der Fall $a=\lambda \alpha ,b=\lambda \beta ,\beta \neq 0$

Für alle Lösungen $z$ der separierten Differentialgleichung

$z'=\alpha +\beta f\left({\frac {\lambda z+c}{z+\gamma }}\right)$

ist $y(x):={\frac {1}{\beta }}(z(x)-\alpha x)$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt

$y'(x)={\frac {1}{\beta }}(\alpha +\beta f\left({\frac {\lambda z(x)+c}{z(x)+\gamma }}\right)-\alpha )=f\left({\frac {\lambda (\alpha x+\beta y(x))+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)\ .$

Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.

• Der Fall $\alpha =\beta =0,b\neq 0$

Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen $z$ der separierten Differentialgleichung

$z'=a+bf\left({\frac {z+c}{\gamma }}\right)$

ist $y(x):={\frac {1}{b}}(z(x)-ax)$ Lösung der jacobischen Differentialgleichung.

Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen

→ Hauptartikel: Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung $y'=g\left({\frac {y}{x}}\right)$. Für jede Lösung $z$ der separierten Differentialgleichung

$z'(x)={\frac {1}{x}}(g(z)-z)$

ist $y(x):=x\cdot z(x)$ Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen

$y'(x)=z(x)+xz'(x)=g(z(x))=g\left({\frac {y(x)}{x}}\right)\ .$

Die Differentialgleichung für $z$ kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2