Körper (Geometrie)
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In der Geometrie versteht man unter einem Körper eine dreidimensionale beschränkte geometrische Form, welche durch Grenzflächen beschrieben werden kann. Eine geometrische Form heißt dabei dreidimensional, wenn sie in keiner Ebene vollständig enthalten ist, und beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, welche diese Form vollständig enthält. Genauer heißt eine geometrische Form der soeben beschriebenen Art ein dreidimensionaler Körper, da diese Begriffsbildung auch auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann. Die bekanntesten Körper besitzen flache oder kreis- bzw. kugelförmige Grenzflächen. Als Beispiele dienen Zylinder, Kegel, Kugel, Prisma, Pyramide, Tetraeder, Würfel, sowie die fünf regulären Polyeder. Wenn ein Körper ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird, spricht man von einem Polytop oder von einem beschränkten Polyeder (Vielflächner).
(Für die Polyedergeometrie sind folgende Definitionen zweckmäßig: Ein konvexes Polytop (beschränktes konvexes Polyeder) ist die konvexe Hülle endlich vieler Punkte. Es heißt ausgeartet, wenn es ganz in einem echten affinen Unterraum liegt. Ein Polytop ist die Vereinigung endlich vieler konvexer Polytope.)
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[Bearbeiten] Allgemeine Körper
Das sind solche Körper, mit denen man prinzipiell alle anderen Körper erstellen oder beschreiben kann, wie es z.B. in einem Raytracing-Programm geschieht:
- Spat mit den Sonderfällen Quader und Hexaeder
- Prisma mit der Verallgemeinerung Zylinder und dem Spezialfall Hexaeder (=Würfel).
- Pyramiden mit der Verallgemeinerung Kegel und dem Spezialfall Tetraeder
- Antiprismen mit dem Spezialfall Oktaeder
- Ellipsoid mit der Kugel als Spezialfall.
- Torus
[Bearbeiten] Platonische und Archimedische Körper
- Sich durchdringende Körper, Kerne und Hüllen:
Der gemeinsame Raum von zwei sich durchdringenden Körpern wird Kern genannt.
Platonische Körper und Archimedische Körper hängen eng miteinander zusammen.
| Körper | dazugehöriger dualer Körper | Körper aus der Durchdringung | Kern | Hülle | Sonstiges |
| Tetraeder | Tetraeder | Zwillingstetraeder | Oktaeder | Hexaeder | Pyramide |
| Hexaeder | Oktaeder | Hexaeder-Oktaeder-Durchdringung | Kuboktaeder | Rhombendodekaeder | Prisma |
| Oktaeder | Hexaeder | Hexaeder-Oktaeder-Durchdringung | Kuboktaeder | Rhombendodekaeder | Bipyramide und Antiprisma |
| Dodekaeder | Ikosaeder | Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung | Ikosidodekaeder | Rhombentriakontaeder | |
| Ikosaeder | Dodekaeder | Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung | Ikosidodekaeder | Rhombentriakontaeder | |
| Kuboktaeder | Rhombendodekaeder | Kuboktaeder-Rhombendodekaeder-Durchdringung | ? | ? | |
| Rhombendodekaeder | Kuboktaeder | Kuboktaeder-Rhombendodekaeder-Durchdringung | ? | ? |
Kernkörper und Hüllenkörper sind wiederum zueinander dual.
Catalanischer Körper (auch Dual-Archimedischer Körper)
Andere häufig auftretende Körper sind
[Bearbeiten] Fraktale Körper
Fraktale Körper sind solche Körper, deren Volumen gegen Null und deren Oberfläche gegen Unendlich strebt (im Dreidimensionalen). Diese Körper entstehen dadurch, dass man einen "primitiven" Körper wie einen Würfel oder ein Tetraeder nimmt und nach bestimmten Regeln Volumen in Form von anderen Körpern aus ihm entfernt und dabei seine Oberfläche vergrößert:
Siehe auch: Fraktale Geometrie
[Bearbeiten] Weiteres
Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen vieler Körper.
Symmetrieeigenschaften einzelner Körper lassen sich in der Gruppentheorie darstellen.
Kristalle sind aus (idealisierten) Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen.
