Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring $R$ ist ein Ausdruck der Form

$p(X)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}X^{k},\quad a_{k}\in R$,

bei dem nur endlich viele Ringelemente $a_{k}$ von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: ${}\quad \quad \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\,+\,\sum _{i\in \mathbb {Z} }b_{i}X^{i}=\sum _{i\in \mathbb {Z} }(a_{i}+b_{i})X^{i}$,

Multiplikation: $\sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\,\cdot \,\sum _{j\in \mathbb {Z} }b_{j}X^{j}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}$.

Diese Operationen machen die Menge $R[X,X^{-1}]$ zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über $R$. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen $a\in R$ in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: $a\cdot \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\,=\,\sum _{i\in \mathbb {Z} }(aa_{i})\,X^{i}$.

In vielen Anwendungen ist $R$ ein Körper, $R[X,X^{-1}]$ ist dann eine $R$-Algebra.

Eigenschaften

• Man erhält $R[X,X^{-1}]$ aus dem Polynomring $R[X]$, indem man die Unbestimmte $X$ invertiert. Der Laurent-Ring über $R$ ist damit die Lokalisierung von $R[X]$ nach der von den positiven Potenzen von $X$ erzeugten Halbgruppe.
• Die Einheiten von $R[X,X^{-1}]$ sind von der Form $aX^{i}$, wobei $a\in R$ eine Einheit und $i\in \mathbb {Z}$ ist.
• Der Laurent-Ring über $R$ ist isomorph zum Gruppenring von $\mathbb {Z}$ über $R$.

Derivationen des Laurent-Rings

Es sei $R$ ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf $R[X,X^{-1}]$ eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

${\frac {\partial }{\partial X}}:\,\sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}X^{i}\mapsto \sum _{i\in \mathbb {Z} }i\cdot a_{i}X^{i-1}$

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes $p(X)\in R[X,X^{-1}]$ durch die Definition $\textstyle T_{p(X)}:=p(X){\frac {\partial }{\partial X}}$ eine Derivation gegeben und man kann beweisen, dass dies die allgemeinste Derivation auf $R[X,X^{-1}]$ ist. Ist nämlich $T$ eine solche Derivation, so ist $p(X):=T(1\cdot X)\in R[X,X^{-1}]$ und man kann $T=T_{p(X)}$ zeigen.

Die Derivationen $\textstyle d_{n}:=T_{-X^{n+1}}=-X^{n+1}{\frac {\partial }{\partial X}},\,n\in \mathbb {Z}$, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

• $[d_{m},d_{n}]\,=\,(m-n)d_{m+n}$ für alle $m,n\in \mathbb {Z}$.

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

• $d_{0}(X^{n})=-n\cdot X^{n}$ für alle $n\in \mathbb {Z}$.

Daher nennt man $-d_{0}\,$ auch die Grad-Derivation.