Lebesguezahl

Eine Lebesguezahl ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer offenen Überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue.

Sie dient oft als Hilfsmittel, wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind.

Satz von der Existenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von der Existenz einer Lebesguezahl oder das Lemma von Lebesgue ist ein Lemma aus dem Gebiet der Topologie.

Er besagt, dass für jeden kompakten metrischen Raum $X$ mit Metrik $d$ gilt:

Zu jeder offenen Überdeckung ${\mathcal {U}}$ existiert eine Zahl $\delta >0$ sodass jede Teilmenge $A\subseteq X$ mit Durchmesser $d(A)<\delta$ in einer Überdeckungsmenge $U\in {\mathcal {U}}$ enthalten ist, also $A\subseteq U$ . Eine solche Zahl $\delta$ heißt Lebesguezahl der Überdeckung ${\mathcal {U}}$ für $X$ .

Jede kleinere Zahl ist somit natürlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Überdeckung und diesem Raum.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn $X\in {\mathcal {U}}$ , kann jede Zahl $\delta >0$ gewählt werden, da ja alle Teilmengen $A\subseteq X$ in einer Überdeckungsmenge enthalten sind.

Sei also nun $X\not \in {\mathcal {U}}$ . Da $X$ kompakt ist, lässt sich aus ${\mathcal {U}}$ eine endliche Teilüberdeckung wählen, sei also $\{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}$ eine (endliche) Überdeckung von X.

Für alle $i\in \{1,\dots ,n\}$ , setze $C_{i}:=X\setminus A_{i}$ und definiere eine Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ durch $\textstyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})$ .

Für ein beliebiges, aber festes $x\in X$ wähle nun $i$ so, dass $x\in A_{i}$ . Wähle nun ein $\epsilon >0$ klein genug, sodass die $\epsilon$ -Umgebung von $x$ in der gewählten Überdeckungsmenge liegt, also $U_{\epsilon }(x)\subseteq A_{i}$ . Nun ist $d(x,C_{i})\geq \epsilon$ , also ist $f(x)\geq {\frac {\epsilon }{n}}$ . Die Funktion $f$ ist somit auf ganz $X$ positiv.

Da $f$ stetig und auf einem Kompaktum definiert ist, nimmt es ein Minimum $\delta >0$ an. Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl:

Sei $B\subseteq X,d(B)<\delta$ eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner $\delta$ . Für jedes $x\in B$ liegt $B$ nun in der $\delta$ -Umgebung von $x$ . Wähle nun ein beliebiges $x_{0}\in B$ .

Sei nun $m$ so gewählt, dass $d(x_{0},C_{i})$ für $i=m$ maximal wird. Nun ist $\delta \leq f(x_{0})\leq d(x_{0},C_{m})$ und die $\delta$ -Umgebung $U_{\delta }(x_{0})$ von $x_{0}$ und damit $B$ liegen ganz in $A_{m}=X\setminus C_{m}$ aus der Überdeckung ${\mathcal {U}}$ . Damit ist jetzt also ein $\delta$ mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden.