Leray-Spektralsequenz
In der Mathematik ist die Leray-Spektralsequenz ein Hilfsmittel zur Berechnung der Garbenkohomologie.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Betrachte den Funktor , der jeder Garbe über ihr direktes Bild über zuordnet. Seien seine abgeleiteten Funktoren. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit
- ,
die gegen
konvergiert.
Zugang über Doppelkomplexe für Garben von Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei eine stetige Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Für eine Überdeckung von definiere einen Doppelkomplex als Čech-Komplex für die Garbe der Differentialformen .
Falls eine gute Überdeckung ist, dann ist die Kohomologie dieses Doppelkomplexes die De-Rham-Kohomologie . Zu dem Doppelkomplex hat man eine Spektralsequenz mit .
Anwendung auf Faserbündel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für ein Faserbündel mit Faser erhält man eine gegen konvergierende Spektralsequenz mit .
Für Sphärenbündel kann man daraus die Gysin-Sequenz herleiten.
Die Verallgemeinerung der Leray-Spektralsequenz auf Serre-Faserungen wird als Leray-Serre-Spektralsequenz bezeichnet.
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Leray spectral sequence (Encyclopedia of Mathematics)
- Leray spectral sequence (nLab)