Logarithmische Gammaverteilung

Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Heavy-tailed-Verteilung ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung.

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $a>0$ und $b>0$ genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {b^{a}}{\Gamma (a)}}x^{-(b+1)}(\ln x)^{a-1}&x\geq 1\\0&x<1\end{cases}}$

besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann

$F(x)={\begin{cases}{\dfrac {\gamma (a,b\ln x)}{\Gamma (a)}}&x\geq 1\\0&x<1\end{cases}}$,

wobei $\gamma (p,q)$ die unvollständige Gammafunktion ist.

Eigenschaften

Erwartungswert

Für $b>1$ ergibt sich der Erwartungswert zu

$\operatorname {E} (X)=\left(1-{\frac {1}{b}}\right)^{-a}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich für $b>2$ als

$\operatorname {Var} (X)=\left(1-{\frac {2}{b}}\right)^{-a}-\left(1-{\frac {1}{b}}\right)^{-2a}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\left(1+{\frac {1}{b(b-2)}}\right)^{a}-1}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich für $b>3$ geschlossen darstellen als

$\operatorname {v} (X)={\frac {\left({\frac {b}{b-3}}\right)^{a}-3\left({\frac {b^{2}}{(b-2)(b-1)}}\right)^{a}+2\left({\frac {b}{b-1}}\right)^{3a}}{\left(\left({\frac {b}{b-2}}\right)^{a}-\left({\frac {b}{b-1}}\right)^{2a}\right)^{\frac {3}{2}}}}$.

Momente

Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als $b$.

Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen

Sind $X_{1}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1},b)$ und $X_{2}\sim {\mathcal {LG}}(p_{2},b)$ unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch das $X_{1}\cdot X_{2}$ logarithmisch gammaverteilt, und zwar

$X_{1}\cdot X_{2}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1}+p_{2},b).$

Allgemein gilt: Sind $X_{i}\sim {\mathcal {LG}}(p_{i},b)\quad i=1,\ldots ,n$ stochastisch unabhängig dann ist

$\prod _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {LG}}(p_{1}+\dotsb +p_{n},b).$

Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariable $X$ Gamma-verteilt ist, dann ist $Y=e^{X}$ Log-Gamma-verteilt.

Beziehung zur Paretoverteilung

Die Paretoverteilung mit den Parametern $k$ und $x_{\mathrm {min} }=1$ entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern $a=1$ und $b=k$.