Lp-Kohomologie
In der Mathematik ist -Kohomologie eine Kohomologietheorie für Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten. Sie wird vor allem verwendet, um die "Geometrie im Unendlichen" zu untersuchen.
Simpliziale Lp-Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein endlichdimensionaler Simplizialkomplex beschränkter Geometrie (d. h. es gibt ein , so dass jeder Simplex höchstens Nachbarn hat). Wir statten mit der Längenmetrik aus, in der jeder Simplex isometrisch zum Standardsimplex ist. Für sei die Menge der -Simplizes von . Definiere die -Koketten von durch
- .
Sie bilden mit der -Norm einen topologischen Vektorraum.
Der Korand-Operator wird definiert durch für alle . Dann definiert man die -Kohomologie von durch
und die reduzierte -Kohomologie durch
- .
Beide sind topologische Vektorräume mit der von der -Norm induzierten Topologie.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Invarianz unter Quasi-Isometrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei eine Quasi-Isometrie zwischen gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplexen, dann sind und Isomorphismen topologischer Vektorräume. (Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig kontrahierbar, wenn es zu jedem ein gibt, so dass jeder -Ball in einem -Ball kontrahierbar ist.)
Geometrische Gruppenwirkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn eine Gruppe geometrisch auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex wirkt, dann ist
- .
Falls zusätzlich das Zentrum von unendlich ist, gilt für alle und . Dies ist insbesondere der Fall für unendliche nilpotente Gruppen.
Dualitäten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für ist die -Kohomologie dual zur -Homologie .
Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension quasi-isometrisch zu einem Simplizialkomplex beschränkter Geometrie hat man zusätzlich die Poincaré-Dualität .
Definition mittels Differentialformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann äquivalent definiert werden als Quotientenraum der geschlossenen -Formen modulo der Differentiale von -Formen mit .
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hyperbolischer Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei der -dimensionale hyperbolische Raum. Dann gilt für oder jeweils und für jeweils .
Heintze-Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für Heintze-Gruppen mit und gilt genau dann, wenn .
Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ist für alle .
Lp-Kohomologie von Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Lp-Kohomologie einer topologischen Gruppe ist definiert als stetige Gruppenkohomologie mit Koeffizienten .
Wenn eigentlich diskontinuierlich auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex wirkt, ist .
Für Gruppen, die lokal kompakt sind, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und eine eigentliche links-invariante Metrik tragen, ist die Lp-Kohomologie invariant unter Quasi-Isometrien. Insbesondere lässt sich die Berechnung der Lp-Kohomologie einfacher Lie-Gruppen auf die Berechnung der Lp-Kohomologie einer parabolischer Untergruppe zurückführen.[1]
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Michail Leonidowitsch Gromow: Asymptotic invariants of infinite groups in "Geometric Group Theory", Cambridge University Press, 1993.
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ M. Bourdon, B. Rémy: Quasi-isometric invariance of continuous group Lp-cohomology, and first applications to vanishings. Annales Henri Lebesgue 3, 1291–1326 (2020)