Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.

Zum Begriff

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension $d$ ($d\geq 1$ natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}$ zuordnen ($n,k_{1},\ldots ,k_{d-1}$ sind die jeweiligen Koordinaten, $k_{d}$ ergibt sich durch $n-k_{1}-\ldots -k_{d-1}$). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein $d$-dimensionales, in $n$-Richtung unbeschränktes „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften

• Die $n$-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes $n$) für $n>0$ lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für $n-1$) berechnen: ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,\ldots ,k_{d}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{d}}}+\ldots +{\binom {n-1}{k_{1},\ldots ,k_{d}-1}}$. Auf der Ebene $0$ ist der einzige Eintrag eine $1$, aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
• Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt $d^{n-1}$.
• Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch ${\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1},0}}={\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1}}}$ ausdrücken.