Projektive Gerade

In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie, ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei $K$ ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei $V=K^{2}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale $K$ -Vektorraum. Die projektive Gerade $P^{1}K$ ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von $V$ .

Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum

P^{1}K=(K^{2}\setminus \left\{0\right\})/\sim

bezüglich der Äquivalenzrelation

(x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})\Longleftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}:x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2}

.

Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.

Homogene Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als

\left[x:y\right]

mit $x,y\in K,(x,y)\not =(0,0)$ dargestellt werden, wobei $\left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]$ für alle $\lambda \in K\setminus \{0\}$ gilt.

Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf der **riemannschen Zahlenkugel** sind die komplexen Zahlen einschließlich ∞ darstellbar.

Die projektive Gerade $P^{1}K$ kann mit $K\cup \left\{\infty \right\}$ , der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade $K^{1}$ identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade $K=K^{1}$ mit der in homogenen Koordinaten durch

\left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}

gegebenen Teilmenge der $P^{1}K$ identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der $P^{1}K$ bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":

\infty =[1:0].

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die reelle projektive Gerade $P^{1}\mathbb {R}$ ist homöomorph zum Kreis $S^{1}$ .
Die komplexe projektive Gerade $P^{1}\mathbb {C}$ wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre $S^{2}$ .
Die projektive Gerade $P^{1}F_{q}$ über dem endlichen Körper $F_{q}$ hat $q+1$ Elemente.

Automorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Möbiustransformation auf $P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$

Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (2,K)$ wirkt auf $K^{2}$ durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe $\operatorname {PGL} (2,K)$ ist die Faktorgruppe $\operatorname {GL} (2,K)/K^{\times }$ , wobei $K^{\times }$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen $k\cdot \mathrm {id} _{K^{2}}$ der Identität $\mathrm {id} :K^{2}\rightarrow K^{2}$ ist mit $k$ aus $K\setminus \{0\}$ . Die Wirkung von $\operatorname {GL} (2,K)$ auf $K^{2}$ induziert eine wohldefinierte Wirkung von $\operatorname {PGL} (2,K)$ auf $P^{1}K$ . Die Automorphismen von $P^{1}K$ sind per Definition die durch Elemente von $\operatorname {PGL} (2,K)$ beschriebenen Abbildungen $P^{1}K\to P^{1}K$ .

In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:

\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}

nach der Identifizierung $\left[x_{0}:x_{1}\right]\simeq z:={\frac {x_{0}}{x_{1}}}\in K\cup \left\{\infty \right\}$ .

Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.

Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.

Im Fall $K=\mathbb {C}$ bezeichnet man die Automorphismen von $P^{1}\mathbb {C}$ als Möbiustransformationen.