Proportionalität
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Proportionalität besteht zwischen zwei Größen, wenn sie sich immer im gleichen Verhältnis ändern.
[Bearbeiten] Grundlagen
Bei proportionalen Größen ist also die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor.
Beispiele:
- Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl π = 3,14159…
- Bei einem Kauf ist der Betrag der Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (19 Prozent).
- Die Masse einer Flüssigkeit ist proportional ihrem Volumen (siehe ausführliches Beispiel unten).
Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität (siehe Lineare Funktion). Linear ist jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, dessen Darstellung in x-y-Koordinaten eine Gerade ist; Proportionalität bedeutet, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (Koordinatenursprung) geht.
Gegenteil der Proportionalität ist die Antiproportionalität (inverse, umgekehrte oder indirekte Proportionalität). Dabei ist die eine Größe proportional dem Kehrwert der anderen Größe.
[Bearbeiten] Mathematische Definition
1. Geometrische Definition:
Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3-6. Definition 5 lautet: „Man sagt, dass Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.“ Definition 6: „Und die dieses Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend heißen.“
2. Arithmetische Definition
Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten x und ihren Funktionswerten y, d. h. es gilt der Zusammenhang
.
Die Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass der Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung verläuft. Der Faktor m in der Gleichung, der Proportionalitätsfaktor, gibt die Geradensteigung an.
Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an:
| Volumen x in m3 | Masse y in t |
|---|---|
| 3 | 2,4 |
| 4 | 3,2 |
| 7 | 5,6 |
Die drei Wertepaare sind im Bild rechts als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten y/x, Masse/Volumen, so erhält man stets den gleichen Wert, 0,8 t/m3, die Dichte des Öls. Allgemein gibt der Quotient y/x die Steigung m der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung. Auch der umgekehrte Quotient ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall das spezifische Volumen. Im Beispiel erhält man Volumen/Masse = 1,25 m3/t, also wie viel Volumen eine Tonne des Öls einnimmt.
Den Kalkül zur Berechnung proportionaler Funktionen nennt man den Dreisatz (früher auch: Regeldetri).
[Bearbeiten] Schreibweise
Für „a ist proportional zu b“ schreibt man kurz:
Ebenfalls weit verbreitet ist die Schreibweise:
Ersteres Zeichen ist eine Tilde (HTML ∼/∼, TeX \sim, Unicode U+223C bzw. auch ASCII 126/U+007E), zweiteres »∝« (HTML ∝/∝, TEX \propto, Unicode U+221D) leitet sich aus dem mittelalterlichen »æ« für lat. aequalis, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens ab (vgl. dort, Geschichte).
