Reflexive Relation

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Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv. Die Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x für kein Element x der Menge gilt (also kein Element in Relation zu sich selbst steht).

Reflexiv und irreflexiv sind nicht das Gegenteil voneinander; es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Beispiele 2.1 Reflexiv 2.2 Irreflexiv 2.3 Weder reflexiv noch irreflexiv 3 Darstellung als gerichteter Graph 4 Eigenschaften 5 Siehe auch

[Bearbeiten] Formale Definition

Ist M eine Menge und eine zweistellige Relation auf M, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

R ist reflexiv :

R ist irreflexiv :

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Reflexiv

• Die Kleiner-Gleich-Relation auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation .

• Die gewöhnliche Gleichheit auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets x = x gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung zwischen Mengen ist reflexiv, da stets gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

[Bearbeiten] Irreflexiv

• Die Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie x < x gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation .

• Die Ungleichheit auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

[Bearbeiten] Weder reflexiv noch irreflexiv

• Die zweistellige Relation „findet hübsch“ auf der Menge aller Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv, denn manche Menschen finden sich selbst hübsch, manche Menschen finden sich selbst nicht hübsch.

• Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:
      
  (Begründung: Für x: = 1 gilt xRx, für x: = 2 gilt .)

[Bearbeiten] Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ) gezogen, wenn gilt.

Die Reflexivität von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten a gibt es eine Schleife  . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten a eine Schleife gibt.

[Bearbeiten] Eigenschaften

• Mit Hilfe der identischen Relation Id_M (die aus allen Paaren (x,x) besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:

  R ist reflexiv

  R ist irreflexiv

• Ist die Relation R reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation R ^{− 1}. Beispiele: die zu konverse Relation ist , die zu konverse ist .

• Ist die Relation R reflexiv, dann ist die komplementäre Relation R^c irreflexiv. Ist R irreflexiv, dann ist R^c reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch

  .

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Reflexiv-transitive Hülle