Rektifizierbare Menge

Die Rektifizierbare Menge ist ein zentraler Begriff aus der geometrischen Maßtheorie. Eine solche Menge hat stückweise glatte Eigenschaften und teilt somit fast überall Eigenschaften einer differenzierbarer Mannigfaltigkeit. Insbesondere sind diese Mengen von Bedeutung, weil sie einen approximativen Tangentialraum induzieren.

Definition

Seien $m,n\in \mathbb {N}$ mit $m\leq n$. Eine Menge $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt abzählbar $m$-rektifizierbar, falls Folgendes gilt:

Es existieren eine Menge $S_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit ${\mathcal {H}}^{m}(S_{0})=0$ und eine Familie $(F_{j}\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n})_{j\in \mathbb {N} }$ von Lipschitz-Funktionen, sodass gilt

$S\subseteq S_{0}\cup \bigcup _{j=1}^{\infty }F_{j}(\mathbb {R} ^{m})$;

dabei bezeichnet ${\mathcal {H}}^{m}$ das $m$-dimensionale Hausdorff-Maß auf $\mathbb {R} ^{m}$.

Äquivalente Definition

Da sich für eine Teilmenge $S_{j}\subset \mathbb {R} ^{m}$ eine Lipschitz-Funktion $f\colon S_{j}\to \mathbb {R} ^{n}$ zu einer Lipschitz-Funktion $F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ fortsetzen lässt, wobei für die Lipschitz-Konstanten $C_{F}=rC_{f}$ mit einer Konstante $r$ gilt, lässt sich der Begriff auch mit folgenden gleichwertigen Bedingungen formulieren:

Es existieren eine Menge $S_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit ${\mathcal {H}}^{m}(S_{0})=0$, eine Familie $(S_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ von Teilmengen des $\mathbb {R} ^{m}$ und eine Familie $(F_{j}\colon S_{j}\to \mathbb {R} ^{n})_{j\in \mathbb {N} }$ von Lipschitz-Funktionen, sodass gilt

$S=S_{0}\cup \bigcup _{j=1}^{\infty }F_{j}(S_{j})$.

Approximativer Tangentialraum

Sei $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ von Hausdorff-Dimension $m$ und ${\mathcal {H}}^{m}$-messbar mit ${\mathcal {H}}^{m}(S\cap K)<\infty$ für jede kompakte Menge $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dann nennt man einen $m$-dimensionalen linearen Unterraum $L$ von $\mathbb {R} ^{n}$ den ${\mathcal {H}}^{m}$-approximativen Tangentialraum von $S$ in $x\in \mathbb {R} ^{n}$ genau dann, wenn

$\lim \limits _{\lambda \to 0+}\int _{\lambda ^{-1}(S-x)}f(y)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)=\int _{L}f(y)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)$

für alle $f\in C_{c}(\mathbb {R} ^{n})$. Dieser existiert genau dann für ${\mathcal {H}}^{m}$-fast jedes $x\in S$, wenn $S$ abzählbar $m$-rektifizierbar ist.

Erläuterungen

Es gilt $y\in \lambda ^{-1}(S-x)$ genau dann, wenn $\lambda y+x\in S$.