Satz von Brauer

Der Satz von Brauer ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen von Richard Brauer. Er besagt, dass jede lineare Darstellung einer endlichen Gruppe $G$ in mehr oder minder einfacher Weise aus Darstellungen von sogenannten elementaren Untergruppen gewonnen werden kann. Dabei sind diese elementaren Untergruppen direktes Produkt einer p-Gruppe und einer zyklischen Gruppe. Zum Verständnis der Darstellungstheorie von $G$ ist es also ausreichend, die Darstellungen ihrer zyklischen und ihrer p-Untergruppen zu kennen.

Notation

Zuerst benötigen wir einige Definitionen:

Eine Gruppe heißt $p$-elementar, falls sie das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung $p$ mit einer $p$-Gruppe ist.

Eine Untergruppe von $G$ heißt elementar, falls sie $p$-elementar für mindestens eine Primzahl $p$ ist.

Eine Darstellung von $G$ heißt monomial, falls sie von einer $1$-dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von $G$ induziert ist.

Satz von Brauer

Jeder Charakter einer endlichen Gruppe $G$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren elementarer Untergruppen induziert werden.

Ein Beweis und eine ausführlichere Erläuterung der von Brauer aufgestellten Theorie findet sich in Büchern von Jean-Pierre Serre und Serge Lang.

Anwendungen

Da $p$-elementare Gruppen nilpotent und damit überauflösbar sind, kann folgender Satz aus angewendet werden:

Satz

Sei $G$ eine überauflösbare Gruppe. Dann ist jede irreduzible Darstellung von $G$ induziert von einer $1$-dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von $G.$ D. h., jede irreduzible Darstellung von $G$ ist monomial.

Damit erhalten wir als Folgerung aus dem Satz von Brauer:

Satz

Jeder Charakter von $G$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von monomialen Charakteren.

Weblinks

• Der Induktionssatz von Brauer