Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

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Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

[Bearbeiten] Aussage

Sei S eine Rotationsfläche und eine reguläre Kurve auf S. Es bezeichne r(s) den Radius des Breitenkreises durch sowie α(s) den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

• Ist c eine geodätische Linie, so ist die Funktion längs c konstant.
• Ist längs c konstant und c kein Breitenkreis, so ist c eine geodätische Linie.

[Bearbeiten] Beweis

Sei eine Parametrisierung der Fläche S, wobei wir o. B. d. A. v als Bogenlänge der erzeugenden Kurve (r(v),h(v)) annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

E(u,v) = (r(v))², F(u,v) = 0, G(u,v) = 1.

Sei o. B. d. A. nach der Bogenlänge s parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der u-Linien (Breitenkreise) und v-Linien (Meridiane):

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve zu

 (1)

Differenzieren der Funktion liefert:

Mit folgt aus (1)

und damit die Behauptung.

[Bearbeiten] Anwendung in der Landesvermessung

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien a und b die Halbachsen des Referenzellipsoids und e² = (a² − b²) / a² das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite φ beträgt

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite β gemäß der Formel ein, so folgt die Konstanz von

cosβsinA.

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.