Schubkorrekturfaktor

Der Schubkorrekturfaktor $\kappa$ dient in der Technischen Mechanik zur Berücksichtigung der Veränderung infolge Verwölbung durch Querkraftschub der Schubfläche $A_{S}$ im Vergleich zur eigentlich ebenen Balken-Querschnittsfläche $A$.

Herleitung für dickwandige Querschnitte

Bei der Herleitung des Schubkorrekturfaktors $\kappa$ wird die Formänderungsenergie $\Pi _{Q}$ der Querkraft $Q$ (Schnittgröße) mit der Formänderungsenergie $\Pi _{\tau }$ der realen Schubspannung $\tau _{(z)}$ gleichgesetzt.

Die Formänderungsenergie $\Pi _{Q}$ der Querkraft $Q$ kann mit der mittleren Gleitung $\gamma _{m}$ bestimmt werden:

$\Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot Q\cdot \gamma _{m}$

Für die mittlere Gleitung $\gamma _{m}$ setzen wir das Elastizitätsgesetz der Querkraft ein:

$Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma ={\frac {Q}{\kappa \cdot G\cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}$

Die Formänderungsenergie $\Pi _{\tau }$ der realen Schubspannung $\tau _{(z)}$ ergibt sich, indem die reale Schubspannung $\tau _{(z)}$ über die Balken-Querschnittsfläche integriert wird:

$\Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot \tau _{(z)}\cdot \gamma \cdot dA$

Für $\gamma$ wird das Hookesche Gesetz mit $\tau =G\cdot \gamma$ eingesetzt:

$\Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\tau _{(z)}^{2}}{G}}\cdot dA$

Weiterhin wird für die reale Schubspannungsverteilung $\tau _{(z)}$ die Gleichung

$\tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(z)}}{I_{y}\cdot b_{(z)}}}$

eingesetzt:

$\Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA$

mit:

$A$ Balken-Querschnittsfläche

$S_{y(z)}$ Statisches Moment

$G$ Schubmodul

$I_{y}$ axiales Flächenträgheitsmoment

$b_{(z)}$ Querschnittsbreite an der Stelle $z$

Werden beide Formänderungsenergien gleichgesetzt:

$\Pi _{Q}=\Pi _{\tau }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}={\frac {1}{2}}\cdot \int _{A}{\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA$

kann direkt nach dem Schubkorrekturfaktor $\kappa$ für dickwandige Querschnitte aufgelöst werden:

${\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA$

Herleitung für dünnwandige Querschnitte

Auf gleiche Weise lässt sich auch der Schubkorrekturfaktor für dünnwandige Querschnitte herleiten. Hierbei muss lediglich die reale Schubspannung mit

$\tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_{y}\cdot b_{(\zeta )}}}$

eingesetzt werden. Damit folgt für den Schubkorrekturfaktor:

${\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{\zeta }{\frac {S_{y(\zeta )}^{2}}{t_{(\zeta )}^{2}}}\cdot d\zeta$

Darin ist $\zeta$ die Laufkoordinate entlang der Profilmittellinie des dünnwandigen Querschnittes und $t_{(\zeta )}$ die Querschnittsbreite an der jeweiligen Laufkoordinate.

Beispiele

Querschnitt	Schubkorrekturfaktor
Rechteck	${\frac {5}{6}}=0{,}83{\overline {3}}$
Vollkreis	${\frac {3}{4}}=0{,}75$
dünnwandiger Kreisring	$0{,}5$
I-Profil (DIN 1025-1)	$\approx 0{,}35\dots 0{,}45$
I-Profil, mittelbreit (DIN 1025-2)	$\approx 0{,}1\dots 0{,}25$
I-Profil, Breitflansch (DIN 1025-3)	$\approx 0{,}18\dots 0{,}45$
T-Profil (DIN 59051)	$\approx 0{,}45\dots 0{,}5$

Für dünnwandige Profile kann auch die von Robert Land eingeführte Näherung verwendet werden:

$\kappa \approx {\frac {A_{\text{Steg}}}{A}}$

Anmerkung

In mancher Literatur wird für $\kappa$ der Kehrwert ${\frac {1}{\kappa }}$ verwendet. Damit würde z. B. die Formänderungsenergie der Querkraft

$\Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\kappa \cdot Q^{2}}{G\cdot A}}$

lauten.

Literatur

Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4.