Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

$ds^{2}=-{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}dt^{2}+{\Big [}1-{\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}^{d-3}{\Big ]}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-2}^{2},$

wobei $c=1$ gesetzt wurde und $d$ die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der „gewöhnlichen“ Raumzeit wäre also $d=4$. Mit $d\Omega _{d-2}^{2}$ wird die Standardmetrik auf der $d-2$-dimensionalen Einheitssphäre $S^{d-2}$ bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

$d\Omega _{1}^{2}=d\varphi ^{2},\quad d\Omega _{i+1}^{2}=d\theta _{i}^{2}+\sin ^{2}\theta _{i}d\Omega _{i}^{2}\;(i\geq 1),$

wobei die Koordinate $\varphi$ Werte zwischen $0$ und $2\pi$ annimmt, während die Koordinaten $\theta _{i}$ Werte zwischen $0$ und $\pi$ annehmen. Für $d=6$ ergibt sich beispielsweise

$d\Omega _{4}^{2}=d\theta _{3}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}d\theta _{2}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}d\theta _{1}^{2}+\sin ^{2}\theta _{3}\sin ^{2}\theta _{2}\sin ^{2}\theta _{1}d\varphi ^{2}.$

Für $d\geq 5$ ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für $d=4$ durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene $\theta _{1}=\theta _{2}=\ldots ={\frac {\pi }{2}}$ betrachtet und die Koordinate $u(\varphi )={\frac {a}{r}}$ einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen $E$ („Energie“) und $l$ („Drehimpuls“) die Gleichung

${\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {1}{2}}u^{d-1}-{\frac {a^{2}}{l^{2}}}u^{d-3}={\frac {a^{2}}{l^{2}}}(E-1),$

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über $u$, so erkennt man sofort, dass für $d\geq 5$ maximal ein bzw. genau ein ($d\geq 6$) Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei $u=\infty$.

Literatur

• Tangherlini, F.R., „Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem“, Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)