Stiefel-Komplex

In der Mathematik ist der Stiefel-Komplex ein Hilfsmittel zur Berechnung der Homologie orthogonaler Gruppen.

Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und $V$ ein quadratischer $R$-Modul, d. h. ein freier R-Modul mit einer symmetrischen Bilinearform $q\colon V\times V\to R$.

Ein orthonormaler Rahmen $R$ in $V$ ist ein Tupel $(v_{1},\ldots ,v_{k})$ mit $q(v_{i},v_{j})=\delta _{ij}$ für $1\leq i,j\leq k$. Auf der Menge orthonormaler Rahmen hat man eine Teilordnung durch die Inklusion.

Der Stiefel-Komplex ist der Simplizialkomplex, dessen $k$-Simplizes die aufsteigenden Ketten orthonormaler Rahmen $R_{0}\subset \ldots \subset R_{k}$ sind. Die Randabbildung ist definiert durch

$\partial (R_{0}\subset \ldots \subset R_{k}):=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(R_{0}\subset \ldots {\widehat {R_{i}}}\ldots R_{k})$.

Anwendung

Vogtmann benutzt Stiefel-Komplexe, um die Stabilität der Homologie der orthogonalen Gruppe $O(n):=O(R^{n},\delta _{ij})$ für das Standard-Skalarprodukt zu zeigen: zu jedem $k$ gibt es ein $N$, so dass für alle $n\geq N$ die Inklusion $O(n)\subset O(n+1)$ einen Isomorphismus $H_{k}(O(n))=H_{k}(O(n+1))$ induziert.

Literatur

• K. Vogtmann: A Stiefel complex for the orthogonal group of a field. Comm. Math. Helv. 57, 11–21 (1982)