SymPy

SymPy
Basisdaten
Hauptentwickler	Community-Projekt, initiiert durch Aaron Meurer
Entwickler	Aaron Meurer, Ondřej Čertík, Christopher P. Smith
Erscheinungsjahr	2007
Aktuelle Version	1.12 (10. Mai 2023)
Betriebssystem	Plattformunabhängigkeit
Programmier­sprache	Python
Kategorie	Computeralgebrasystem
Lizenz	BSD-Lizenz
sympy.org

SymPy ist eine Python-Bibliothek für symbolisch-mathematische Berechnungen. Die Computeralgebra-Funktionen werden angeboten als

• eigenständiges Programm
• Bibliothek für andere Anwendungen
• Webservice SymPy Live oder SymPy Gamma

SymPy ermöglicht Berechnungen und Darstellungen im Rahmen von einfacher symbolischer Arithmetik bis hin zu Differential- und Integralrechnung sowie Algebra, diskreter Mathematik und Quantenphysik. Die Ergebnisse werden auf Wunsch in der Textsatzsystemsprache TeX ausgegeben.

SymPy ist freie Software und steht unter der neuen BSD-Lizenz. Die führenden Entwickler sind Ondřej Čertík und Aaron Meurer.

Die SymPy-Bibliothek besteht aus einem Basissystem, das durch optionale Module erweitert werden kann. Das Basissystem, auch als Core oder Kern bezeichnet, umfasst rund 260.000 Zeilen Code. Davon sind mehr als 100.000 Zeilen für umfangreiche Selbsttests vorgesehen.

Fähigkeiten

SymPy umfasst zahlreiche mathematische Funktionen. Die nachfolgende Übersicht zeigt die grundlegende Fähigkeit des Basissystems sowie die Möglichkeit der modularen Erweiterungen.

Basissystem

• Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
• Vereinfachung
• Erweiterung
• Funktionen: u. a. Trigonometrie, Hyperbolische Geometrie, Exponentialfunktion, Wurzelberechnungen, Logarithmen, Absolute Werte, Kugelflächenfunktionen, Fakultäten und Gammafunktionen, Zeta-Funktionen, Polynome, Hypergeometrie
• Substitution Auswechslung
• ganze, rationale und Kommazahlen
• Hypergeometrie
• Mustererkennung

Polynome

• Grundrechenarten
• Faktorisierung
• Platzfreie Faktorisierung
• Gröbnerbasis
• Partialbruchzerlegung
• Resultante

Analytik

• Grenzen
• Differenzial- und Integralrechnung mit integriertem Risch-Algorithmus
• Taylorreihe

Lösen von Gleichungen

• Polynome
• Gleichungssysteme
• Algebraische Gleichungssysteme
• Differentialgleichung
• Differenzengleichung

Diskrete Mathematik

• Binomialkoeffizient
• Summe
• Produkt (Mathematik)
• Zahlentheorie: Generieren und Testen von Primzahlen, Primfaktorzerlegung
• logische Ausdrücke

Matrix

• Grundrechenarten wie z. B. Matrizenmultiplikation
• Eigenwertproblem
• Determinante
• Inverse Matrix
• Matrixen lösen

Geometrie

• Punkte, Linien, Strahlen, Segmente, Ellipsen, Kreise, Polygone, …
• Kreuzungen
• Tangentialität
• Ähnlichkeit

Grafische Darstellung (Plotten)

Zur grafischen Darstellung der Kurven und Diagramme ist die Installation der Bibliothek Matplotlib oder Pyglet erforderlich. Ansonsten erfolgt die Visualisierung textbasiert unter Nutzung der im System installierten Zeichensätze.

• Koordinatenmodelle
• Geometrische Entitäten
• zwei- und dreidimensionale Darstellung
• Interaktive Schnittstelle
• mehrfarbige Darstellungen

Physik

• Einheiten
• Klassische Mechanik
• Quantenmechanik
• Paraxiale Optik
• Pauli-Matrizen

Statistik

• Normalverteilung
• Stetige Gleichverteilung
• Wahrscheinlichkeit

Kombinatorik

• Permutation
• Kombination (Kombinatorik)
• Partition (Mengenlehre)
• Teilmenge
• Permutationsgruppe: Polyhedral, Rubik, Symmetric, …
• Prüfer-Code und Gray-Code

Ausgabeformate

• Quellcodeformate: ASCII/Unicode pretty-printing, TeX
• Programmcode: C, Fortran, Python

Performanceverbesserung

• Gmpy verwendet das SymPy-Polynom-Modul für schnellere Bodentypen, die zu einer deutlichen Leistungssteigerung bestimmter Berechnungen führen.

Beispiele

Diese Beispiele können interaktiv z. B. in IDLE ausgeführt werden.

PrettyPrint Formatierung

>>>from sympy import pprint, Symbol, sin, exp, sqrt, series

>>>x = Symbol("20")

>>>#PPrint benutzt standardmäßig Unicodezeichen
>>>pprint( 10**exp(x),use_unicode=True)

  ⎛ 20⎞
  ⎝ℯ  ⎠
10

>>>#Gleiche Darstellung ohne Unicodes
>>>pprint( 10**exp(x),use_unicode=False)
  / 20\
  \e  /
10

>>>#Reihenentwicklung
>>>pprint((1/sin(x)).series(x, 0, 4))
              3
1    20   7⋅20     ⎛  4⎞
── + ── + ───── + O⎝20 ⎠
20   6     360

>>>#Wurzel
>>>pprint(sqrt((10**x)))
   ______
  ╱   20
╲╱  10

Plotten

>>> from sympy import symbols, cos,sin
>>> from sympy.plotting import plot3d

>>> x,y = symbols('x y')
>>> plot3d(sin(3*x)*cos(5*y)+y, (x, -2, 2), (y, -2, 2))

Ausmultiplizieren von Termen

from sympy import init_printing, Symbol, expand, pprint
init_printing()

a = Symbol('a')
b = Symbol('b')
e = (a + b)**5

pprint(e)
print("=")
pprint(e.expand())

Lösen algebraischer Gleichungen

from sympy.solvers import solve
from sympy import Symbol
x = Symbol('x')

print("Lösung von: x**2 - 1 = 0 ")
print(solve(x**2 - 1, x))

print("Lösung von: x**2 - 6*x + 9 = 0 ")
print(solve(x**2 - 6*x + 9, x))

Integrieren

from sympy import *

init_printing()
x = Symbol('x')
pprint(integrate(x**2 + 7*x + 5, x))

Zahlentheorie

from sympy.ntheory import factorint
print("Primfaktorzerlegung der Zahl 2000 = (2**4) * (5**3) ")
print(factorint(2000))
print("65537 ist eine Primzahl")
print(factorint(65537))

print("Primzahlen im Bereich 60 bis 90 ausgeben")
from sympy import sieve
print(list(sieve.primerange(60, 90)))

Rechnen mit Matrizen

from sympy import *
M = Matrix(([1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]))

print("Addition von Matrizen")
pprint(M+M)

print("Multiplikation von Matrizen")
pprint(M*M)

print("Determinante")
pprint(M.det())

print("inverse")
pprint(M.inv(method="LU"))

Literatur

• Ronan Lamy: Instant SymPy Starter. mitp, ISBN 978-1-78216-362-6 (englisch). 

Weblinks

• Offizielle Website