Satz über die Ausbreitung der Singularitäten

Unter dem Satz über die Ausbreitung der Singularitäten (englisch propagation of singularities theorem), auch Satz von Duistermaat-Hörmander, versteht man ein mathematisches Resultat aus der mikrolokalen Analysis, welches die Wellenfrontmenge $WF(u)$ der distributionalen Lösung der partiellen (Pseudo-)Differentialgleichung

$Pu=f$

für einen Pseudodifferentialoperator $P$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit charakterisiert. Es sagt, dass die Ausbreitung der Singularitäten entlang des bicharakteristischen Flusses des Hauptsymboles von $P$ folgt.

Das Theorem erschien 1972 in einem Werk über Fourier-Integraloperatoren von Johannes Jisse Duistermaat und Lars Hörmander und seither gibt es viele Verallgemeinerungen, welche unter dem Namen Ausbreitung der Singularitäten oder Propagation der Singularitäten geläufig sind.

Grundbegriffe

Notation:

• $X$ eine $C^{\infty }$-differenzierbare Mannigfaltigkeit und $C_{0}^{\infty }(X)$ ist der Raum der glatten Funktionen $u$ mit einer kompakten Menge $K\subset X$, so dass $u\mid _{X\setminus K}=0$.
• $L_{\sigma ,\delta }^{m}(X)$ ist die Klasse der Pseudodifferentialoperatoren vom Typ $(\sigma ,\delta )$ mit Symbol $a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^{m}(X\times X\times \mathbb {R} ^{n})$
• $S_{\sigma ,\delta }^{m}$ ist die Symbolklasse.
• $L_{1}^{m}(X):=L_{1,0}^{m}(X)$
• $D'(X)=(C_{0}^{\infty }(X))^{*}$ ist der Raum der Distributionen, der Dualraum von $C_{0}^{\infty }(X)$.

Phasen-Funktion

Seien $X\in \mathbb {R} ^{n_{X}}$ und $Y\in \mathbb {R} ^{n_{Y}}$ offene Mengen. Eine Funktion $\phi (x,y,\theta ):(X\times Y\times \mathbb {R} ^{N})\to \mathbb {R}$ nennt man reelle, positiv-homogene Funktion vom Grad $k\in \mathbb {R}$ in $\theta$, falls $\phi (x,y,t\theta )=t^{k}\phi (x,y,\theta )$ für jedes $x\in X,y\in Y,\theta \in \mathbb {R} ^{N}$ und jedes $t>0.$

Falls $k=1$ und zusätzlich $\phi \in C^{\infty }(X\times Y\times \mathbb {R} ^{N}\setminus \{0\})$ (glatt, außer wenn $\theta =0$), dann nennt man $\phi$ eine Phasen-Funktion.

Fourier-Integraloperator

Sei $X,Y$ wie oben und $\phi$ eine Phasen-Funktion. Wir nennen den Operator

$Au(x)=\int \int e^{i\phi (x,y,\theta )}a(x,y,\theta )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \theta$

für $u\in C_{0}^{\infty }(Y)$ und $x\in X$ einen Fourier-Integraloperator (FIO) mit Phasenfunktion $\phi$ und Symbol $a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^{m}(X\times Y\times \mathbb {R} ^{N})$ mit $\sigma >0,\delta <1$.

Pseudodifferentialoperator

→ Hauptartikel: Pseudodifferentialoperator

Ein Fourier-Integraloperator heißt Pseudodifferentialoperator vom Typ $(\sigma ,\delta )$, falls $n_{X}=n_{y}=N:=n$ mit Phasenfunktion $\phi (x,y,\theta )=\langle x-y,\theta \rangle \in X\times X\times \mathbb {R} ^{n}$ und einem Symbol $a\in S_{\sigma ,\delta }^{m}(X\times X\times \mathbb {R} ^{n})$ ist. Mit $p_{m}(x,\xi )$ notieren wir sein Hauptsymbol.

Wellenfrontmenge

→ Hauptartikel: Wellenfrontmenge

Hamiltonisches System des Hauptsymbol

Sei $p_{m}(x(t),\xi (t))$ die Hamilton-Funktion, dann ist das hamiltonsche System auf $T^{*}X$ gegeben durch

${\begin{cases}{\dot {\xi }}(t)=-\nabla _{x}p_{m}(x(t),\xi (t))\\{\dot {x}}(t)=\nabla _{\xi }p_{m}(x(t),\xi (t)).\end{cases}}$

Eine Lösungs-Kurve des Systems nennt man Bicharakteristik von $p_{m}$ und den Fluss des hamiltonschen Vektorfeldes nennt man bicharakteristischer Fluss. Die Kurven mit $p_{m}(x(t),\xi (t))=0$ nennt man Null-Bicharakteristik und die Menge bezeichnen wir mit

$\operatorname {char} p_{m}:=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\setminus \{0\}:p_{m}(x(t),\xi (t))=0\}.$

Theorem

Sei $P$ ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Klasse $L_{1}^{m}(X)$ mit reellem Hauptsymbol $p_{m}(x,\xi )$, welches homogen und vom Grad $m$ in $\xi$ ist. Sei $u\in D'(X)$, das die Gleichung $Pu=f$ löst, dann folgt

$WF(u)\setminus WF(f)\subset \operatorname {char} p_{m}$.

Des Weiteren ist $WF(u)\setminus WF(f)$ invariant unter dem durch $p_{m}$ induzierten hamiltonischen Fluss.

Literatur

• Lars Hörmander: Fourier integral operators. I. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 79 - 183, doi:10.1007/BF02392052. 
• J. J. Duistermaat und L. Hörmander: Fourier integral operators. II. In: Institut Mittag-Leffler (Hrsg.): Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 183 - 269, doi:10.1007/BF02392165. 
• Mikhail A. Shubin: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-41195-6. 
• Michael E. Taylor: Propagation, reflection, and diffraction of singularities of solutions to wave equations. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society. Band 84, Nr. 4, 1978, S. 589 -- 611 (projecteuclid.org).