Trapezzahl

Abb. 1: Plättchenmuster am Beispiel der Trapezzahl 18

Eine Trapezzahl ist eine natürliche Zahl n, die als Summe von mindestens zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen darstellbar ist, wobei der kleinste Summand größer als 1 ist. Die als Plättchenmuster veranschaulichten Summanden lassen sich trapezförmig anordnen.

Ist der kleinste Summand gleich 1, so ist n eine Dreieckszahl.

Haupteigenschaften

• Jede ungerade natürliche Zahl $n=2k+1$ ist wegen $2k+1=k+(k+1)$ eine Trapezzahl $(k,n\in \mathbb {N} )$.
• Eine natürliche Zahl $n$ lässt sich genau dann als Trapezzahl darstellen, wenn $n$ keine Zweierpotenz ist.

(Einen ausführlichen Beweis dieses Satzes liefert Daniel Grieser.)

Besondere Eigenschaften

Abb. 2: Plättchenmuster am Beispiel der Trapezzahl 22

Eine besondere Stellung nehmen diejenigen Trapezzahlen ein, bei denen der kleinste Summand mit der Gesamtanzahl der Summanden übereinstimmt. Als Plättchenmuster lässt sich jede von ihnen grafisch darstellen als Quadratzahl (grüne Umrandung) mit aufgesetzter Dreieckszahl. Hierbei wird der $n$-ten Quadratzahl $n^{2}$ die $(n-1)$te Dreieckszahl $D_{n-1}$ aufgesetzt (siehe Abb. 2).

Eigenschaft 1

Die so definierten besonderen Trapezzahlen bilden eine Teilfolge $\left(T_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der Folge aller Trapezzahlen. Diese Teilfolge hat das Bildungsgesetz

$T_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}$.

Beweis

$T_{n}=n^{2}+{\frac {1}{2}}(n-1)n={\frac {3n^{2}-n}{2}}$

Beispiel

In Abb. 2 ist $n=4$ und somit nach Einsetzen in die Bildungsgesetz-Formel $T_{4}=22$.

Eigenschaft 2

Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt: $T_{n}$ lässt bei Division durch $3$ denselben Rest wie $n$.

Beweis

$T_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}=3\cdot {\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n=3\cdot {\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {3}{2}}n+n=3\cdot {\frac {1}{2}}(n-1)n+n=3\cdot D_{n-1}+n$

Siehe auch

• Dreieckszahl

Weblinks

• Antje Beyer: Mathematisches Problemlösen und Beweisen, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg, Wintersemester 2020/2021, Vorlesung 8/9 vom 14. Dezember 2020 – Allgemeine Strategien Teil 2: Trapezzahlen, abgerufen am 26. Dezember 2022