Zeitgleichung

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Als Zeitgleichung wird die Differenz zwischen der Mittleren Sonnenzeit (Mittlere Ortszeit MOZ) und der Wahren Sonnenzeit (Wahre Ortszeit WOZ) eines Ortes (oder Orten auf denselbem Längengrad) bezeichnet. Sie wird verursacht

  1. durch die elliptische Form der Erdbahn mit einer Periodendauer von etwa einem Jahr und
  2. durch die Neigung der Erdachse auf ihrer Bahnebene mit einer Periodendauer von etwa einem halben Jahr.

Eine einfache (nicht um den Fehler der Zeitgleichung korrigierte) Sonnenuhr zeigt die WOZ an. Sie kann mehr als 16 Minuten (um den 3. November) gegenüber der MOZ vorgehen oder mehr als 14 Minuten nachgehen (um den 11. Februar). Einfache Sonnenuhren sind manchmal mit einem Zeitgleichungsdiagramm oder einer -Tabelle versehen, um dem Benutzer die Ermittlung der WOZ und damit der Zonen-Zeit (zum Beispiel der MEZ) zu ermöglichen.

Die Zeitgleichung ändert sich über lange Zeit geringfügig, sowohl in ihrer Kurven-Form, in ihrer Lage relativ zum Jahresdatum als auch in ihren Extremwerten.

Zeitgleichung in Minuten, abhängig vom Jahresdatum. Zusätzlich sind noch die (fiktiven) Teil-Zeitgleichungen zu sehen, wenn sich die Erde auf einer Kreisbahn bewegen würde, beziehungsweise wenn es keine Neigung der Erdachse gäbe.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Stern- und Sonnentag

heliozentrisches Schema:
Sterntag (von 1 nach 2) und Sonnentag (von 1 nach 3)

Der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen ist ein Sonnentag; er beträgt im Mittel 24 Stunden. Die Erde dreht sich bereits in 23 Stunden 56 Minuten und 4 Sekunden (einem Sterntag) einmal um sich selbst. Dies ist der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fix-Sternes. Der Unterschied zwischen der Länge des Sterntages und der Länge des Sonnentages resultiert aus der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Während einer Tages-Umdrehung (Rotation) läuft die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne fast ein Bogengrad weiter (360 Grad in 365 Tagen). Da beide Kreis-Bewegungen gleichen Drehsinn haben, muss sich die Erde um ebenfalls ein Grad über die volle Umdrehung hinaus weiterdrehen, bis die Sonne wieder exakt im Süden steht. Dies benötigt im Mittel etwa 4 Minuten.

[Bearbeiten] Die Mittlere Sonne

Die Eigendrehung der Erde ist sehr gleichmäßig, die Dauer des Sterntags kann als konstant angesehen werden. Ungleichmäßig lang ist allein die Zusatz-Zeit, die für die Zusatz-Drehung zum Ausgleich der täglichen Bahnfahrt der Erde benötigt wird. Sie kann bis etwa 30 Sekunden länger und bis etwa 20 Sekunden kürzer sein als ihr Mittelwert von knapp 4 Minuten. Weil die Wahre Sonnenzeit mit leicht variabler Geschwindigkeit vergeht, wurde auf den Gebrauch der Mittleren Sonnenzeit ausgewichen und damit ein gleichmäßiges Zeitmaß gewonnen. Die Mittlere Sonne ist vorstellbar als eine künstliche Sonne, die gleichmäßig auf dem Himmels-Äquator umläuft (geozentrisches Weltbild). Den Unterschied zwischen Wahrer und Mittlerer Sonnenzeit bezeichnet man als die Zeitgleichung. Da sich die Abweichungen des Wahren Sonnentages vom Mittleren Sonnentag jeweils über etwa drei Monate hinweg aufsummieren, bevor sie ihr Vorzeichen wechseln, kann die Zeitgleichung bis zu etwa einer Viertelstunde (15 Minuten) betragen.

Um die Zeitgleichungs-Ursachen zu erkennen, ist es vorteilhafter, das heliozentrische Weltbild anzuwenden, denn sie folgen aus den Bewegungen der Erde relativ zur ruhenden Sonne. Der Einfachheit halber wird weiterhin von Sonnenzeit gesprochen, auch wenn es sich um Bewegungen der Erde in Abhängigkeit von der Zeit handelt.

[Bearbeiten] Elliptizität der Erdbahn

Die Bahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Das zweite Keplersche Gesetz beschreibt die Veränderung der Bahngeschwindigkeit der Erde während eines Umlaufs. In der Umgebung des Perihels – dem sonnennächsten Punkt – bewegt sich die Erde schneller als im Mittel und legt während eines Tages eine größere Strecke zurück, so dass sie eine etwas größere Zusatz-Drehung machen muss, bis die Sonne wieder im Süden steht. Das dauert länger als im Durchschnitt. In der Umgebung des Aphels ist es umgekehrt.

Im Winter-Halbjahr beidseits des Perihels (etwa am 3. Januar) vergeht die Wahre Sonnenzeit wegen der größeren Erd-Geschwindigkeit (und der dadurch nötigen größeren Zusatz-Drehung) langsamer, im Sommer-Halbjahr beidseits des Aphels (etwa am 5. Juli) vergeht sie schneller als die gleichmäßige Mittlere Sonnenzeit. Die Schwankung der Wahren Tageslänge beträgt etwa ± 8 Sekunden. Die Summierung während je einem halben Jahr ergibt knapp ± 8 Minuten, die die Wahre Sonnenzeit wegen der Elliptizität schwankt.

[Bearbeiten] Neigung der Erdachse

Die Erdachse steht nicht senkrecht auf der Ebene ihrer Bahn um die Sonne (im heliozentrischen Schema nicht senkrecht auf der Bild-Ebene). Das ist die zweite Ursache der Zeitgleichung. Entscheidend ist dabei, dass die Richtung der Erdachse im Weltall nahezu konstant ist, sich in Bezug zur Sonne täglich ändert. Die Bahnebene schneidet die Erde nicht im Äquator sondern in einer dazu geneigten Ebene. Die Achse für die erforderliche tägliche Zusatz-Drehung ist eine Parallele zur Bahnachse. Die Tageszeit wird aber von der gleichmäßigen Drehung der Erde um die eigene Achse bestimmt.

An den Äquinioktial-Tagen schneiden sich die beiden Achsen maximal unter dem Ekliptik-Winkel ε. Der Winkel zwischen beiden Ebenen ist jetzt am größten (etwa 23,44°). Die Drehung der Erde um ihre Achse wirkt sich mit maximaler Verstärkung als Drehung um die Parallele zur Bahnachse aus. Folge ist, dass die erforderliche Zeit für die Zusatz-Drehung kleiner als im Mittel ist. Die Wahre Sonnenzeit geht gegenüber der Mittleren Sonnenzeit vor.

An den Tagen der Solstitien befinden sich beide Achsen in einer Ebene. Die Zusatz-Drehung bildet sich als Bogen auf einem der beiden Wendekreise ab. Der zugehörende Bogen auf dem Äquator ist größer. Die erforderliche Zusatz-Drehung der Erde um ihre Achse ist größer als im Mittel. Die Wahre Sonnenzeit geht gegenüber der Mittleren Sonnenzeit nach.

Diese zweite Zeitgleichungsursache bewirkt allein ein Schwankung des Wahren Tages von etwa ± 20 Sekunden. Die Summierung während je einem viertel Jahr (doppelte Frequenz gegen erste Ursache) ergibt knapp ± 10 Minuten, die die Wahre Sonnenzeit wegen der Neigung der Erdachse schwankt.

[Bearbeiten] Zeitgleichung

Die Elliptizität der Erdbahn bewirkt eine Schwankung der Wahren Zeit bezogen auf die Mittlere Zeit mit einer Periode von einem Jahr und mit einer Amplitude von knapp 8 Minuten. Als Startpunkt dieser Periode wird in der Regel das Perihel gewählt (blaue Linie im Zeitgleichungs-Diagramm). Hier und im Aphel ist der Ausschlag Null. Durch die Neigung der Erdachse entsteht eine Schwankung mit einer Periodenlänge von einem halben Jahr mit gewähltem Start am Frühlingspunkt und mit einer Amplitude von knapp 10 Minuten (magenta Linie). Im Frühlings- und im Herbstpunkt ist der Ausschlag Null.

Die Wirkungen dieser beiden Erscheinungen auf die Zeitgleichung überlagern sich (rote Linie). Da beide sinus-ähnliche Kurven zeitlich leicht gegeneinander verschoben sind, sind die Extremwerte im Ergebnis kleiner als die Summe beider Einzel-Extremwerte. Die Zeitgleichung hat gegenwärtig folgende Kennwerte:

  • 4 Nullpunkte: 15. April, 13. Juni, 1. September und 25. Dezember,
  • 2 Haupt-Extremwerte: um den 11. Februar (gegenwärtig − 14m/14s) und um den 3. November (gegenwärtig + 16m/26s),
  • 2 Neben-Extremwerte: um den 14. Mai (gegenwärtig + 3m/41s) und um den 25. Juli (gegenwärtig − 6m/32s).

Durch die Präzession der Erdachse verändert sich die Zeitgleichung über die Jahrtausende allmählich.

[Bearbeiten] Berechnung

Die folgende Darstellung nimmt ihren Ausgang von den Arbeiten Keplers, der sogenannten Kepler-Gleichung.[1]

[Bearbeiten] Geozentrisch: Differenz zweier Rektaszensionen

Definition: ZG = WOZ − MOZ [min].

Als „Macher“ der MOZ wurde die Mittlere Sonne eingeführt. Die Zeitgleichung ist proportional zur Differenz zwischen den Rektaszensionen der Mittleren (αM) und der Wahren Sonne (α):

ZG = 4·(αM − α) [min]

Der Faktor 4 ergibt sich daraus, dass zwei Himmels-Körper mit 1° Rektaszensions-Differenz die Meridian-Ebene 4 min nacheinander passieren. Die Reihenfolge der beiden Subtraktions-Terme hat sich umgekehrt, weil die Richtungen für Stundenwinkel τ (ihm entspricht die Tageszeit) und Rektaszension α gegensätzlich vereinbart sind.

Die Tageszeit, insbesondere die auf einem bestimmten Längengrad gültige WOZ oder MOZ kann außer Acht bleiben. In der folgenden Betrachtung erstreckt sich der Zeitraum mindestens über ein Jahr. Der gleichmäßige Ablauf der Zeit wird mit der Mittleren Anomalie dargestellt.

[Bearbeiten] Heliozentrisch: Wahre Anomalie (Wahre Erde auf elliptischer Bahn)

Während sich die Erde auf ihrer Bahn vorwärts bewegt, rotiert ein von der Sonne zur Erde zeigender Vektor um die Sonne. Sein mit der Geraden zwischen Sonne und Ort des Perihels gebildeter Winkel heißt Wahre Anomalie V(t). Analog dazu lässt sich eine Mittlere Anomalie M(t) angeben. Dabei handelt es sich um einen Vektor, der gleichmäßig um die Sonne rotiert. Er ist als Vektor vorstellbar, der zu einer fiktiven Erde zeigt, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf der Bahnellipse bewegt.

M(t) = M0 + (360°/Jan) · t.

Jan ist das anomalistische Jahr (Zeit für zwei aufeinander folgende Passagen des Perihels). Weil die Anomalien im Perihel Null sind, die Zeitgleichung aber mit t=0 am etwa 3 Tage früherem Jahresanfang aufgestellt wird, ist die Winkel-Differenz M0 zwischen Perihel und dem Ort der Erde am 1. Januar, 0 Uhr zu addieren (M0 ist negativ). M0 ist eine Jahres-Konstante mit deutlich vier verschiedenen Werten gemäß Schaltjahr-Zyklus.

Das Verhältnis der beiden Anomalien zueinander ist ein Mass für den Teil der Zeitgleichung, der aus der Elliptizität folgt. Die Beziehung zwischen beiden folgt aus dem Bewegungs-Gesetz der elliptischen Bahnfahrt, dem zweiten Keplerschen Gesetz. Kepler hat den Zusammenhang schon mit Hilfe der später sogenannten Kepler-Gleichung formuliert. Der Ort der Wahren Erde wird zunächst von der gemäß Kepler sogenannten Exzentrischen Anomalie E(t) repräsentiert. Sie ist wie die beiden anderen Anomalien ein auf das Perihel bezogenes Winkelmass. Der zugehörige Vektor geht nicht von der Sonne sondern vom Mittelpunkt der Ellipse aus. Er zeigt zu einem Hilfspunkt auf dem Umkreis zur Ellipse. Die Kepler-Gleichung lautet mit der relativen (numerischen) Exzentrizität e der Ellipse:

M(t) = E(t) – (180°/π)e · sin E(t).

Sie ist nach E(t) aufzulösen, was in geschlossener Form nicht möglich ist, aber zum Beispiel mit dem numerischen Verfahren gelingt, dass Newton anlässlich dieser Aufgabe entwickelte.

Mit dem Ergebnis E(t) = f(M(t)) lässt sich nun die Wahre Anomalie V(t) bei vorgegebener Mittleren Anomalie M(t) (beziehungsweise als Funktion der gleichmäßig ablaufenden Zeit) mit Hilfe rein geometrischer Betrachtung in der Ellipse und in ihrem Umkreis angeben:

tan(V(t)/2) = κ·tan(E(t)/2)     (= f(M(t)).

κ = ((1+e)/(1-e))1/2 ist eine Ellipsen-Konstante.

Die erste Ursache der Zeitgleichung ist hiermit erfasst.

[Bearbeiten] Übergang zum geozentrischen Weltbild

Die Anomalie V(t) der Wahren Erde ist in die Rektaszension α(t) der Wahren Sonne umzuwandeln. Der Weg dort hin führt über die ekliptikale Länge Λ der Wahren Sonne, denn die (kreisförmige) Ekliptik am geozentrischen Himmel entspricht der (elliptischen) Erdbahn. Die ekliptikale Länge ist in die in der Zeitgleichung gebrauchte auf dem Himmelsäquator gemessene Rektaszension umzurechnen. Denn die Tageszeit wird durch den täglichen scheinbaren Umlauf der Sonne bestimmt, der auf dem Himmelsäquator oder auf zu diesem parallelen Kreisen stattfindet.

Der Übergang zum geozentrisch üblichen Bezugspunkt, dem Frühlingspunkt kann bereits auf der Ellipse erfolgen. Die Differenz zwischen Perihel und Frühlingspunkt sei:

L(t) = L0 + (pf/Jtr)·t.

Der mit der Zeit veränderliche Summand ist sehr klein. Er berücksichtigt, dass sich Frühlingspunkt und Perihel sehr langsam mit etwa 0,017°/Jtr nähern. Jtr ist das tropische Jahr (Zeit für zwei aufeinander folgende Passagen des Frühlingspunkts). L0-Werte sind Jahres-Konstanten, die sich von Jahr zu Jahr gering durch die inzwischen erfolgte Näherung unterscheiden.

Aus V(t) = Λ(t) − L(t) wird:

Λ(t) = V(t) + L(t).     (L(t) ist negativ)

[Bearbeiten] Geozentrisch: Rektaszension der Wahren Sonne

Die Umrechnung zwischen ekliptikalen und äquatorialen Koordinaten ist z.B. mit den bekannten Transformations-Gleichungen oder mit folgender einfachen Beziehung im entsprechenden rechtwinkligen sphärischen Dreieck möglich:

α(t) = arctan ( tan Λ(t) · cos ε ).

ε ist der Winkel zwischen Ekliptik- und Äquatorkreis (die Schiefe der Ekliptik): ε = 23,44°.

Mit dem „Herunterholen“ der Wahren Sonne auf den Äquator ist außer der ersten auch die zweite Zeitgleichungs-Ursache berücksichtigt.

[Bearbeiten] Geozentrisch: Mittlere Rektaszension

In der Zeitgleichung wird der ungleichmäßige Rektaszensions-Zuwachs der Wahren Sonne mit dem gleichmäßigen der fiktiven Mittleren Sonne verglichen. Letzterer hat folgende Gleichung.

αM(t) = α0 + (360°/Jtr) · t.

αM(t) ist zu jeder Zeit gleich der ekliptikalen Länge der fiktiven Erde, weil die fiktive Mittlere Sonne gemäß Definition den Frühlingspunkt gleichzeitig mit der fiktiven Erde passiert.

Beide sich gleichmäßig bewegenden fiktiven Körper legen zwischen t=0 (Jahresanfang) und dem Zusammentreffen am Frühlingspunkt einen Bogen derselben Länge α0 zurück. Für die fiktive Erde beträgt dieser Bogen M0 + L(t). Dabei ist L(t) die ekliptikale Länge des Perihels im Moment t=0. Also ist α0 = M0 + L0, die Summe der beiden schon benutzten Jahreskonstanten. Damit folgt:

αM(t) = M0 + L0 + (360°/Jtr) · t.

Zur Erinnerung: M0 und L0 haben negative Werte.

[Bearbeiten] Rechen-Ergebnis

Mit den beiden Teilgleichungen α(t) und αM(t) werden mit der Zeitgleichung in der Form

ZG(t) = 4·(αM(t) − α(t)) [min]

Werte für beliebig viele Momente in der Zukunft (in der Regel von Tag zu Tag) ausgerechnet. Man kann auch jährlich neu beginnen, wobei zu beachten ist, dass die Jahres-Konstante M0 innerhalb eines Schaltjahr-Zyklus deutlich variiert. Nach vier Jahren kann man aber mit guter Näherung die für die vier Vorjahre errechneten Werte benutzen.

Die Jahres-Konstante M0 und genaue Werte für die sehr langsam veränderlichen Basis-Werte L0, e, ε, Jtr und Jan werden in Astronomischen Jahrbüchern angegeben.[2]

[Bearbeiten] Analemma

Analemma
Sonnenuhr in Kloten/CH (geogr. Länge 8,5°) mit Stunden-Schleifen (Analemmata),

Trägt man die Zeitgleichung über die Deklination der Sonne auf, entsteht eine Figur, die als Analemma bezeichnet wird. Die leichte Asymmetrie zwischen rechts und links rührt davon her, dass Perihel und Wintersonnenwende nicht auf denselben Tag fallen. Letzteres war im Jahre 1246 der Fall. Das damals gültige Analemma war zwischen rechts und links symmetrisch. Der Kreuzungspunkt war an den Tagen der Äquinoktien und war in der Mitte zwischen oben und unten.

Am häufigsten ist das Analemma als Stunden-Schleife auf Sonnenuhren zu sehen, die zur Anzeige der Mittleren Sonnenzeit ausgelegt sind. Oftmals wird es allerdings in zwei Teile (ein Teil ähnlich einem S, der andere ähnlich einem Fragezeichen) aufgeteilt, um Verwechslungen beim Ablesen zu verhindern (für einen Deklinations-Wert gibt es zwei Punkte auf der ganzen Figur). Jedes der beiden Teile gilt etwa ein halbes Jahr lang. Solche Uhren haben zwei auswechselbare Zifferblätter. Die Zifferblätter lassen sich leicht auf die am Aufstellort gültige Zonenzeit auslegen, zeigen also die „Normalzeit“ an.

Auch die jeden Tag zur gleichen Mittleren Zeit fotografierte Sonne ergibt in der Summe ein am Himmel stehendes Analemma.[3]

[Bearbeiten] Sonnenauf- und -untergang zur Wintersonnenwende

Verschiebung der Sonnenauf- und -untergangs-Zeiten zur Winter-Sonnenwende, schematisch

Zur Zeit der Sonnenwenden kehrt sich die Veränderung in der Mittags-Höhe der Sonne und in ihren täglichen Momenten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs um. Vor und nach der Umkehr sind die täglichen Veränderungen klein, dazwischen sind sie Null. In den Zeiten beider Sonnenwenden, besonders aber zur Zeit der Wintersonnenwende geht die Wahre Zeit gegenüber der Mittleren Zeit (Normalzeit) von Tag zu Tag deutlich nach. Im Winter sind es fast 30 Sekunden, mit denen sich zum Beispiel der in Normalzeit angegebene Sonnenaufgang täglich verspätet, obwohl er sich mit Wahrer Zeit gemessen kaum oder gar nicht verändert. Erst Anfang Januar beginnt der Wahre Sonnenaufgang täglich um mehr als 30 Sekunden früher statt zu finden. Die mit Normalzeit gemessene Umkehr des Sonnenaufgangs verschiebt sich auf Anfang Januar. Der Sonnenuntergang wird in Normalzeit auch bis fast 30 Sekunden später als der Wahre Sonnenuntergang angezeigt. Das bedeutet, dass seine mit Normalzeit gemessene Umkehr früher, bereits Mitte Dezember erfolgt. Auf den kürzesten Tag wirkt sich das nicht aus. Er bleibt der mittlere Tag zwischen den gegenseitig verschobenen Umkehr-Momenten am Morgen und am Abend, nämlich der 21. oder der 22. Dezember.

Im Sommer ist die tägliche Verspätung der Wahren Zeit nur etwa 10 Sekunden, also nicht so deutlich wie im Winter. Menschen, die engen Bezug zum Geschehen am Himmel haben, spüren die Verlängerung des Tages bereits ab Mitte Dezember. Dass sie sich in der Summe täuschen, liegt daran, dass der Sonnenaufgang weniger als der Untergang beobachtet wird.

[Bearbeiten] Historisches

Die Zeitgleichung war schon den antiken Astronomen bekannt. Geminus erwähnt sie.[4] Im Almagest des Ptolemäus wurde sie ziemlich genau und bündig angesprochen.[5]

In älteren Jahrbüchern findet sich die Zeitgleichung mit umgekehrtem Vorzeichen. Ihre Werte wurden damals zur beobachteten Wahren Sonnenzeit addiert, um die Mittlere Sonnenzeit zu erhalten. Heutzutage liest man die Mittlere Zeit von den (stets gleichmäßig laufenden) Uhren ab und addiert die Werte der Zeitgleichung, um die Wahre Sonnenzeit zu erhalten, die zum Beispiel eine einfache Sonnenuhr anzeigen muss. In den französischen Jahrbüchern ist die alte Konvention noch üblich.[6]

[Bearbeiten] Literatur

  • Hughes, D. W., Yallop, B. D., Hohenkerk, C. Y.: The Equation of Time, Mon. Not. R. astr. Soc. (1989), 238, 1529–1535 [2]
  • Bernd Loibl: Wann ist Mittag?. In: Sterne und Weltraum Sterne und Weltraum, Spektrum der Wissenschaft, 8–9/1996. S. 643–645
  • Robert Weber. Zeitsysteme. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102 (weblink, 15. Apr 2006)

[Bearbeiten] Weblinks

[Bearbeiten] Einzelnachweise

  1. ↑ Die Formel-Zeichen sind die gleichen wie im Sonnenuhren-Handbuch , Berechnung der Zeitgleichung, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Arbeitskreis Sonnenuhren, 2006, S. 43–49
  2. ↑ zum Beispiel bis zum Jahr 2025 im Sonnenuhren-Handbuch, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Arbeitskreis Sonnenuhren, 2006, S. 48
  3. ↑ Am Himmel in Griechenland fotografierte Analemmata [1]
  4. ↑ O. Neugebauer: A History of Ancient Mathematical Astronomy, Berlin 1975
  5. ↑ R. Wolf: Handbuch der Astronomie, Amsterdam 1973
  6. ↑ J. Meeus: Astronomical Algorithms, Richmond 2000, S. 184
Wiktionary Wiktionary: Zeitgleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitgleichung“
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