In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz eine von Michael Atiyah, Graeme Segal und Isadore Singer bewiesene Formel für die Superspur von Elementen einer mit einem Dirac-Operator kommutierenden Gruppenwirkung, die die Berechnung des äquivarianten Indexes von Dirac-Operatoren aus dem
-Geschlecht der Fixpunktmenge und dem äquivarianten Chern-Charakter ermöglicht. Als Spezialfall erhält man die Fixpunktformel von Atiyah–Bott.
Sei
ein Bündel von Clifford-Moduln mit
-Gradierung, und
eine kompakte Lie-Gruppe, die auf
und
wirkt, so dass
äquivariant ist. Auf
habe man einen mit der Clifford-Wirkung kompatiblen
-invarianten Zusammenhang. Sei
der assoziierte Dirac-Operator mit Einschränkungen
.
Dann kommutiert
mit der
-Wirkung und der Kern
ist eine endlich-dimensionale Darstellung von
. Der äquivariante Index von
ist dann definiert als der Charakter dieser Darstellung, also als die Superspur
![{\displaystyle Ind_{G}(g,D):=\operatorname {str} (g\mid \ker D)=\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{+})-\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{-}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06aa9c286dcb15f1dd655351ede894c7ba772b0f)
Für
erhält man den Fredholm-Index von
.
Als eine Anwendung der Atiyah-Bott-Fixpunktformel erhält man für ein
-gradiertes Hermitesches Vektorbündel
über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
: Wenn
ein Differentialoperator erster Ordnung auf den Schnitten
ist mit
und
ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator, und wenn die Wirkung von
auf
nur isolierte nicht-ausgeartete Fixpunkte hat und sich zu einer mit
kommutierenden Bündelabbildung von
heben lässt, dann ist
![{\displaystyle ind_{G}(g,D)=\sum _{x\in M^{g}}{\frac {Str(g_{x}^{E})}{\vert \det(1-g_{x}^{-1})\vert }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1838201b92a622a8ef1c8d647e978d6e73e537c0)
mit
.
Sei
der Integralkern des Operators
und
. Dann hat
für
eine asymptotische Entwicklung
![{\displaystyle k_{t}(g,.)\sim (4\pi t)^{-{\frac {1}{2}}dimM^{g}}\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\Phi _{i}(g,.)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcd5a97de87810c7ccda7cf30f32f89c119a529)
mit
. Das Symbol von
ist
,
wobei
das Normalenbündel der Fixpunktmenge bezeichnet.
Der äquivariante Index eines äquivarianten Dirac-Operators kann berechnet werden als
.
Hierbei bezeichnet
das Â-Geschlecht der Fixpunktmenge
,
den äquivarianten Chern-Charakter und
das Berezin-Integral.
- Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag