Der Zusammenhang ist in der Differentialgeometrie ein Konzept, mit dem der Paralleltransport zwischen den Fasern eines Prinzipalbündels erklärt werden kann. In der Physik werden solche Zusammenhänge zur Beschreibung von Feldern bei den Yang-Mills-Theorien verwendet.
Sei
ein Prinzipalbündel mit der Strukturgruppe
. Die Gruppe wirke durch
.
Ferner bezeichne
die Lie-Algebra der Lie-Gruppe
.
Ein Zusammenhang ist dann eine
-wertige 1-Form
, die
-äquivariant ist und deren Einschränkung auf die Fasern mit der Maurer-Cartan-Form übereinstimmt. Es sollen also die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein:
für alle ![{\displaystyle g\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62)
und
für alle
.
Hierbei ist
definiert durch
.
bezeichnet das Differential von
.
ist die adjungierte Wirkung und
ist das sogenannte fundamentale Vektorfeld. Es wird durch
für ![{\displaystyle p\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4dc1da33d78a2bdae06c9edff726feb126dae34)
auf
definiert.
Die Krümmung einer Zusammenhangsform ist definiert durch
![{\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ba3d5b842315fd1628a48c741683b169f505bc)
Hierbei ist der Kommutator Lie-Algebra-wertiger Differentialformen durch
![{\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ccefbf2bbbecdc5447b90197d94df75950cc86)
und die äußere Ableitung
durch
![{\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c3a22915a42e9a1a708716b6aa3ff84d40a7f2)
definiert.
Die Krümmungsform ist
-invariant und definiert deshalb eine 2-Form
auf
.
Zusammenhangs- und Krümmungsform genügen der Gleichung
.
Für eine Zusammenhangsform
auf einem
-Prinzipalbündel
sind die horizontalen Unterräume
definiert durch
.
Die horizontalen Unterräume sind transversal zu den Tangentialräumen der Fasern von
, und sie sind
-invariant, d. h.
für alle
.
Aus den horizontalen Unterräumen kann man die Zusammenhangsform zurückgewinnen (nach Identifikation des Tangentialraums der Faser mit
) durch Projektion von
entlang
auf den Tangentialraum der Faser.
Zu jedem Weg
und jedem
gibt es einen Weg
mit
und
. (Das folgt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen.)
Insbesondere hat man zu jedem Weg
eine durch
![{\displaystyle P_{\gamma }(x)={\tilde {\gamma }}_{x}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f89f7ab1fbb25581bd13c1d5ac99147eecc8f1)
definierte Abbildung
,
den sogenannten Paralleltransport entlang des Weges
.
Zu einem Punkt
definiert man die Holonomiegruppe als Untergruppe der Diffeomorphismen der Faser
wie folgt. Zu einem geschlossenen Weg
mit
und einem
gibt es eine eindeutige Hochhebung
mit
und wir definieren
. Die Gruppe der
für alle
ist die Holonomiegruppe.
Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit
ist das Rahmenbündel ein Prinzipalbündel mit der linearen Gruppe
.
Sei
die Matrix, die mit Hilfe einer lokalen Basis durch
![{\displaystyle A(v)=\nabla _{X}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1267bb9ef911460079b7a2d6709690c994df2010)
definiert wird, wobei
der Levi-Civita-Zusammenhang ist, so wird durch
![{\displaystyle \theta (X):=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e272eb9958ee12e66eabdfbef0ed44f254702ca)
die riemannsche Zusammenhangform definiert. Es gilt
.
Seien
lokale Koordinaten in einer Umgebung von
und
die kanonischen 1-Formen des Rahmenbündels, dann hängt die Krümmungsform des Levi-Civita-Zusammenhangs mit dem Riemannschen Krümmungstensor über die Gleichung
zusammen.