Benutzer:Hesmucet/Probeseite

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Fries unter der Dachtraufe von St. Martin in Landshut
Fries unter der Dachtraufe von St. Martin in Landshut
Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

ist Spezialfall von

In einer Kategorie heißt ein Objekt injektiv, wenn es zu jedem Monomorphismus und jedem ein gibt, so dass ist. Das nebenstehende Diagramm ist kommutativ. Also ist injektiv, wenn für alle Monomorphismen die induzierte Abbildung surjektiv ist.


Der Hom Funktor

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Sind Moduln, so ist die Menge der Hmomorphismen .

Moduleigenschaften von Hom

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  • Die Menge wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen die Summe folgendermaßen definiert ist: .
  • Ist ein Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring , so wird auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring , wenn man für und definiert: . Ist insbesondere der Endomorphismenring von , so ist auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring .
  • Ist ein Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring und auf der rechten Seite über dem Ring , so wird auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring , wenn man für und definiert: .

Der kovariante Funktor Hom

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Ist ein Modul, so ordnet man jedem Modul die abelsche Gruppe zu. Jedem Homomorphismus wird der Homomorphismus zugeordnet. Es gilt dann für alle : . Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet. ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist wie oben ein Bimodul, so ist ein Funktor von der Kategorie der Moduln über in die Kategorie der Moduln über .

Linksexaktheit von Hom

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Für einen Komplex sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • ist exakt.
  • Für alle Moduln ist exakt.
  • Es gibt einen Generator , so dass die Folge exakt ist.

Komplex bedeutet .

  • Ist eine Familie von Homomorphismen, so ist für alle Gruppen die Abbildung eine natürliche Transformation.
  • Es gilt: Die Familie ist ein funktorieller Isomorphismus genau dann, wenn ein Koprodukt der Familie ist.
  • Es gibt zu jeder Familie von Gruppen ein zugehöriges Koprodukt. Dies zeigt die folgende Konstruktion. Sei eine Familie von Gruppen.
das mengentheoretische Produkt der Familie . Wir bezeichnen durch oder einfach . Dabei steht für . Es ist die te Komponente von . Dies ist eine analoge Bezeichnung wie bei Folgen, Diese Folgen bilden durch die komponentenweise Addition eine abelsche Gruppe. .
  • Die Abbildung heißt te Projektion. Ist nur für endlich viele , so heißt endlichwertig.
  • Satz (Produkt von Gruppen): Es sei eine Familie von Homomorphismen . Dann ist die Abbildung:
der einzige Homomorphismus, so dass für alle gilt: . In der Kategorie der abelschen Gruppen ist ein Produkt der Familie .
  • Sei eine Familie von Moduln und ihr Produkt. Zu jedem gibt einen eindeutig bestimmten Homomorphismus mit
  • Für alle sind die Monomorphismen. Sei .
  • Satz: Es ist

Projektiver Modul

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Für eine Modul sind folgende Aussagen äquivalent.

  • ist projektiv.
  • Zu jedem Epimorphismus gibt es , so dass gilt. Das heißt jeder Epimorphimus mit Ziel ist eine Retraktion.
  • Jeder Epimorphismus zerfällt. Das heißt ist direkter Summand in .
  • ist isomorph zu einem direkten Summanden eines freien Moduls.
  • Der Funktor ist exakt.

Zur Selbstabbildung

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Eine Selbstabbildung heißt auch eine einstellige Verknüpfung auf .

  1. Die Identität einer Menge ist eine Selbstabbildung..
  2. Das wichtigste Beispiel einer Menge mit Selbstabbildung ist Zählen. Jeder natürlichen Zahl wird ihr Nachfolger zugeordnet. .
  3. Ist eine Zahl im Dezimalsystem dargestellt, so kann man ihr ihre Quersumme zuordnen. So ist etwa . Allgemein . Es ist genau dann durch drei teilbar, wenn durch drei teilbar ist.
  4. Es sei die Menge der positiven rationalen Zahlen und eine Selbstabbildung. Wendet man wiederholt an und geht zum Beispiel von aus, so erhält man die Folge . In der Folge dieser Brüche sind Zähler und Nenner aufeinander folgende Fibonacci Zahlen . In hat diese Folge den Grenzwert . Dies ist die Zahl des goldenen Schnittes.

Abelsche Gruppe

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Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von . Da es zu jedem einen eindeutig bestimmten Homomorphismus mit gibt, ist die Zuordnung eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen

hat die folgende Eigenschaft: Für alle und alle Homomorphismen ist . Außerdem ist für alle die Abbildung ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: . Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle und alle mit Isomorphismen .

Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)
Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)

Das heißt unter anderem ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn dies ist.

  • 1. Zu dem Wikipedia Artikel über Induktion <2024-02-05 Mo>

1. Zu dem Wikipedia Artikel über Induktion

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Im Artikel von Wikipedia Vollständige Induktion

In diesem Artikel wird ein ziemlicher Verhau über die vollständige Induktion erzählt

  1. Das Induktionsprinzip steckt latent bereits in der von Euklid überlieferten pythagoreischen Zahlendefinition: „Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.“[2] Es ist nicht einzusehen, wieso in dieser Auffassung das Induktionsprinzip stecken soll.
  2. Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen festgelegt: Um zu beweisen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen

genügt es zu zeigen, dass sie für

  1. gilt und
  2. dass aus der Gültigkeit der Aussage für eine Zahl

stets auch ihre Gültigkeit für den Nachfolger

  • Sei für zwei Untergruppen und die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:
  1. .
  2. Zu je zwei Homomorphismen gibt es genau einen Homomorphismus mit für .

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe

Produkt und Koprodukt abelscher Gruppen

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Sei eine Familie von Gruppen. sei das mengentheoretische direkte Produkt der Mengen . Für wählen wir die etwas eingängigere Schreibweise . Im Falle entspricht dies der Schreibweise für Folgen . Wie bei Folgen schreiben wir . Dabei ist . Es ist eine andere Darstellung der Funktion mit . Ist die endliche Menge , so entspricht jedem ein -Tupel . Die Funktion wird mit ihrer Wertetabelle identifiziert.

wird zu einer Gruppe aus indem man definiert . Es ist . Die Gruppenoperation ist komponentenweise definiert. Die Abbildungen

heißen Projektionen. ordnet jedem die -te Komponente zu. Es gilt der folgende
Satz: Es sei eine Familie von Homomorphismen . Dann ist die Abbildung: der einzige Homomorphismus, so dass für alle gilt: . Bezeichnen wir mit veranschaulicht das folgende Diagramm die Situation.
Universelle Eigenschaft des direkten Produktes

Primäre Gruppen

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Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei eine Primzahl. Die Gruppe heißt -primär genau dann, wenn es zu jedem ein gibt mit . Die Summe aller -primären Untergruppen einer Gruppe ist -primär. Es ist die größte -primäre Untergruppe von . Sie wird mit bezeichnet und heißt -Primärkomponente von . Es gilt:

Ist eine Torsionsgruppe, so ist . Es ist direkte Summe seiner Primärkomponenten.