Bewertung (Geometrie)

Eine Bewertung ist in der Geometrie eine modulare Mengenfunktion, die von einem Mengensystem $S$ über einer Grundmenge $X$ in eine abelsche Halbgruppe $H$ abbildet. Der Begriff sollte nicht mit der Bewertung im algebraischen Sinne verwechselt werden.

Definition

Sei $X$ eine Menge und $V$ ein Mengenverband über $X$. Weiter sei $H$ eine abelsche Halbgruppe. Eine Funktion $\varphi :V\to H$ wird Bewertung genannt, wenn

$$\varphi (A)+\varphi (B)=\varphi (A\cup B)+\varphi (A\cap B)$$

für alle $A,B\in V$ gilt.

Beispiele

• Das Lebesgue-Maß oder die Euler-Charakteristik über die Menge der konvexen Körper des $d$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{d}$ stellen Bewertungen dar.
• Die Dirac-Bewertung auf einem topologischem Raum.

Eigenschaften

• Eine Bewertung ist per definitionem immer submodular.
• Nach dem Satz von Hadwiger lässt sich eine stetige, isometrie-invariante Bewertung auf dem $d$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{d}$ als eine Linearkombination von Quermaßintegralen darstellen.
• Mithilfe von Bewertungen lässt sich das allgemeine kinematische Hauptsystem der Integralgeometrie formulieren.

Literatur

• Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. Birkhäuser Verlag, Basel 1955, ISBN 978-3-7643-0160-6, doi:10.1007/978-3-0348-6953-9 (springer.com [abgerufen am 30. Mai 2024]). 
• Rolf Schneider, Wolfgang Weil: Integralgeometrie (= Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik). Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1992, ISBN 978-3-519-02734-8, doi:10.1007/978-3-322-84824-6 (springer.com [abgerufen am 30. Mai 2024]).