Satz von Hadwiger (Integralgeometrie)

Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Integralgeometrie. Er wurde 1956 durch Hugo Hadwiger formuliert und bewiesen. Der Satz besagt, dass jede stetige und unter Isometrien invariante Bewertung kompakter, konvexer Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ eine Linearkombination von Quermaßintegralen ist.

Begriffe

Eine stetige Bewertung ist ein reellwertiges Funktional $v$ auf der Menge aller kompakten, konvexen Teilmengen $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit $v(\emptyset )=0$ und $v(S\cup T)+v(S\cap T)=v(S)+v(T)$ für alle $S,T$, welches stetig bezüglich der Hausdorff-Metrik ist.

Die Quermaßintegrale sind Funktionale $W_{0},\ldots ,W_{n}$, die als Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB^{n})=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}$

für die Einheitskugel $B^{n}$ und jeden kompakten, konvexen Körper $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ definiert sind.

Satz von Hadwiger

Jede stetige Bewertung $v$, die invariant unter allen Isometrien des $\mathbb {R} ^{n}$ ist, ist eine Linearkombination von Quermaßintegralen:

$v(K)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(K)$

mit von $K$ unabhängigen Koeffizienten $c_{j}$.

Literatur

• Hugo Hadwiger: Integralsätze im Konvexring. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Band 20, Nr. 3-4, März 1956, ISSN 0025-5858, S. 136–154, doi:10.1007/BF03374553 (springer.com [abgerufen am 30. Mai 2024]). 
• D.A. Klain, G.-C. Rota: Introduction to geometric probability. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-59362-X (englisch, archive.org). 
• B. Chen: A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem. In: Geom. Dedicata. 105. Jahrgang, 2004, S. 107–120, doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 (englisch).